Prioriteringsreglerna

En av sakerna som är så fascinerande med aritmetiken, alltså den gren inom matematiken som behandlar själva räknandet är, att när man väl lärt sig dess lagar så finns det inga undantag som skapar osäkerhet kring vilket resultat som efterfrågas. Reglerna är universella och absoluta och fungerar likadant varje gång. Det finns bara exakt ett sätt att tolka och därmed beräkna uttryckets värde! Utmaningen är att följa reglerna och inte göra några slarvfel längs vägen.

Beräkningar måste göras enligt vissa regler och i rätt ordning. För att göra det används prioriteringsreglerna. Prioriteringsreglerna talar om vilken ordningen de fyra räknesätten ska utföras och hur man ska prioritera parenteser och potenser i uttryck.

För dig som redan kan prioriteringsreglerna kommer här ett exempel som innehåller alla de olika prioriteringsreglerna. Vi kommer efter att gå igenom regel för regel. Men här kan du se hur det ska gå till när man lärt sig att behärska reglerna.

Man behöver inte redovisa varje steg alltid kanske. Det får du bestämma med din lärare. Men det är ett tips att göra några mellansteg, då det är lätt att missa någon prioritet om man gör allt i huvudet meddetsamma.

Nu kommer vi gå igenom reglerna en efter en. Vi börjar med det med svagast prioritet.

När du gör beräkningar av uttryck i denna kursen är det följande fyra regler som du behöver ta hänsyn till och använda i rätt ordning.

Vi kommer nu gå igenom prioriteringsreglerna bakifrån. Vi börjar alltså med prioriteringsregel 4. Detta gör vi för att stegvis bygga på kunskapen hur beräkningen av ett svårare matematiskt uttryck ska genomföras. När vi gått igenom all fyra visar vi sedan hur man beräknar ett uttryck med samtliga fyra regler.

Dessa två operationer har samma prioritet. Det innebär att det kommer ge samma värde på uttrycket oavsett om man först adderar eller subtraherar. Men stämmer detta verkligen alltid? Prova själv att beräkna värdet av uttrycket $7-5+3$7−5+3 med att beräkna talet två gånger, en där du först summerar och en där du först subtraherar. Får du samma värde?

Nu beräknar vi uttryckets värde en gång till, fast börjar denna gång med additionen i stället.

Det vi här vill göra dig uppmärksam på för att få rätt värde på uttrycket alltid är, att det kan underlätta att tänka att vi aldrig subtraherar, utan att vi i stället ser det som att vi adderar ett negativt tal. I stället för att subtrahera fem kan vi se det som att vi adderar minus fem.

Här blir det ännu tydligare att prioriteringen är den samma mellan addition och subtraktion då vi kan välja att se det endas som addition. Bara att det tillkommer negativa tal emellan åt.

Läs detta noga så att du slipper bli en av alla dem som råkar göra följande fel!

Dessa beräkningar underlättar om du behärskar och förstår de negativa talen. Fördjupa dig med hjälp av lektionen om negativa tal.

Dessa båda operationer har exakt samma prioritet. Det spelar alltså ingen roll om du först dividerar eller multiplicerar, du kommer få samma värde på uttrycket i vilket fall.

Sedan beräknar vi det en gång till, fast börjar nu med multiplikationen.

Vi får alltså samma resultat oavsett vilken av de två operationerna vi börjar med.

Prioriteringsreglerna prioriteras i fallande ordning. Man ska alltså ta hänsyn till multiplikation och division före addition och subtraktion, om ett uttryck innehåller alla fyra räknesätten.

Här ett exempel som bara omfattar två av operationerna, subtraktion och multiplikation. Det prioriteringsreglerna säger att att multiplikationen alltid ska beräknas före subtraktionen.

På andra plats i prioriteringsreglerna har vi potenserna. Man kan tänka sig att ”kraften” mellan exponenten och basen är ”starkare” än de fyra räknesätten, men ”svagare” än parentesen.

Samma prioritering gäller i detta exempel.

Nu har vi kommit till den första prioriteringsregeln. Den måste alltid tas hänsyn till först. Man kan tänka sig som att prioriteringen säger att parentesen är ”starkast” i uttrycken. De kommer att hålla ihop faktorer och termer så starkt att parentesens värde måste beräknas först.

Vi tar ett exempel till.

Vi vill även påpeka att den första prioriteringsregeln, ”Parenteser”, även gäller för täljaren och nämnaren i bråktal i de fall då täljaren och/eller nämnaren innehåller flera termer. Man kan tänka sig en osynlig parentes runt varje täljare och nämnare i ett bråktal, även om inte parentesen är utskriven. Så här.

$\frac{3+5}{3-1}=\frac{\left(3+5\right)}{\left(3-1\right)}$3+53−1 =(3+5)(3−1) 

Man börjar alltså först förenkla täljaren och nämnaren så att de bara innehåller faktorer, gärna bara en faktor, innan man beräknar kvotens värde med division.

$\frac{3+5}{3-1}=\frac{\left(3+5\right)}{\left(3-1\right)}=\frac{8}{2}=$3+53−1 =(3+5)(3−1) =82 = $4$4

Även i algebraiska uttryck, när uttrycken även innehåller variabler, måste vi ta hänsyn till prioriteringsreglerna vid förenkling och utveckling av uttrycken. Men mer om det i senare lektioner.

Ofta kan prioriteringsreglerna behöva användas tillsammans med reglerna för att räkna med negativa tal. Dvs uttryck som innehåller addition och subtraktion med negativa tal på formen ”minus plus” eller ”minus minus”. Här gäller följande:

• lika tecken i följd ger en addition
• olika tecken i följd ger en subtraktion

Ett sista exempel.

Men mer om negativa tal i en kommande lektion.