Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 1b
/ Funktioner
Parallella och Vinkelräta linjer
Innehåll
I den här lektionen går vi igenom egenskaperna hos parallella och vinkelräta linjer. Framförallt lär du dig hur lutningen, det vi även kallar linjens $k$k-värde fungerar när linjer är parallella eller vinkelräta.
Definition av parallella och vinkelräta linjer
Två linjer $L_1=k_1x+m_1$L1=k1x+m1 och $L_2=k_2x+m_2$L2=k2x+m2 är
parallella då $k_1=k_2$k1=k2 och vinkelräta då $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=−1
Två parallella linjer har samma lutning, dvs de har samma riktningskoefficient. Två vinkelräta linjer har en vinkel mellan dem som är $90^{\circ}$90∘. Om två vinkelräta linjers $k$k -värden, $k_1$k1 och $k_2$k2, multipliceras med varandra så får du $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=−1.
Parallella linjer
När två linjer på formen $y=kx+m$y=kx+m är parallella innebär detta att de har exakt samma lutning. Att de har samma lutning brukar ibland kallas för att de har samma riktningskoefficient, förkortat $k$k-värde. Konsekvensen av detta är att linjerna inte skär varandra i någon punkt. De har därför inte några gemensamma $x$ eller $y$ värden.
Definition av parallella linjer
Två parallella linjer $L_1=k_1x+m_1$L1=k1x+m1 och $L_2=k_2x+m_2$L2=k2x+m2
har samma lutning då
$k_1=k_2$k1=k2
Räkneexempel på parallella linjer
Exempel 1
En rät linje är parallell med $y=-x+2$y=−x+2 och går genom punkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3) . Bestäm linjens ekvation på formen $y=kx+m$y=kx+m.
Lösning
Linjen $y=-x+2$y=−x+2 har lutningen $k=-1$k=−1.
Då linjerna är parallella så har de samma k-värde. Därför gäller att de har samma k-värde $-1$−1.
Vi använder det samt att vi vet att linjen går genom punkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3) för att ställa upp ekvationen
$3=\left(-1\right)\cdot2+m$3=(−1)·2+m
$3=-2+m$3=−2+m
$5=m$5=m
$m=5$m=5
Nu har vi både linjens lutning och m-värde, den har ekvationen
$y=-x+5$y=−x+5
Ritar vi ut de bägge linjerna så ser det ut på följande vis.
Vinkelräta linjer
När två linjer är vinkelräta innebär detta att vinkeln mellan linjerna är $90$90 grader. Sambandet mellan dessa bägge linjer blir då att när deras $k$-värden multipliceras med varandra ges produkten $-1$.
Definition av vinkelräta linjer
Två vinkelräta linjer $L_1=k_1x+m_1$L1=k1x+m1 och $L_2=k_2x+m_2$L2=k2x+m2 har en vinkel mellan dem som är $90^{\circ}$90∘. Förhållandet mellan riktningskoefficienterna är
$k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=−1
Räkneexempel på vinkelräta linjer
Exempel 2
I figuren är en rät linje utritad. Bestäm på formen $y=kx+m$y=kx+m den linje som är vinkelrät mot denna linje och som går genom punkten $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1).
Lösning
Den utritade blåa linjen skär y-axeln där $y=3$y=3. Den har därmed m-värdet 3.
Vi ser även att den går genom punkterna $\left(0,\text{ }3\right)$(0, 3) och $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Dess k-värde är därför
$k=\frac{3-1}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2$k=3−10−1 =2−1 =−2.
Den linje som är utritad är alltså $y=-2x+3$y=−2x+3.
Vi skall nu ta reda på den vinkelräta linje som går genom $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1).
Vi använder sambandet $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=−1 och får
$-2\cdot k_2=-1$−2·k2=−1
$k_2=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$k2=−1−2 =12
Vi har nu dess k-värde och vill ta reda på m-värdet. Då linjen går genom punkten $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1) så vet vi dess m-värde. Där $x=0$x=0 så skär linjen y-axeln och då är $y=1$y=1. Därför är $m=1$m=1.
Linjens ekvation är alltså $y=\frac{1}{2}x+1$y=12 x+1.
Ritar vi ut linjen så ser det ut på följande vis.
Några av exemplen som vi går igenom i videon
- En linje är parallell med $y = 2x – 1$ och går genom $(2, 5)$. Bestäm linjens ekvation.
- En linje är vinkelrät med $y = -3x + 2$ och går genom origo. Bestäm linjens ekvation.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (11)
-
1. Premium
En linje är parallell med linjen $2y-10x=8$2y−10x=8.
Vilken är linjens lutning?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Är linjen $y=3x+2$y=3x+2 vinkelrät mot linjen $y=-3x+2$y=−3x+2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: koordinatsystem Linjära funktioner Matematik 2 Parallella och Vinkelräta linjer vinkelräta linjerRättar...3. Premium
Är linjen $y=$y=$-\frac{3}{2}$−32 $x$x$+\frac{1}{3}$+13 vinkelrät mot linjen $y=$y=$\frac{2}{3}$23 $x+2$x+2?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: koordinatsystem Linjära funktioner Matematik 2 Parallella och Vinkelräta linjer vinkelräta linjerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Dra punkt A och B så att linjen är parallell med $y=2x-2$y=2x−2.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde Linjära funktioner Matematik 2 parallella linjer Parallella och Vinkelräta linjerRättar...5. Premium
Dra punkt A och B så att du får en linje som är vinkelrät mot linjen $y=$y= $-\frac{x}{4}$−x4 $+2$+2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde Linjära funktioner lutning Matematik 2 Parallella och Vinkelräta linjer vinkelräta linjerRättar...6. Premium
En linje är vinkelrät mot $y=$y=$-\frac{x}{3}$−x3 $-11$−11. Vilken är linjens lutning?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Linjen A är parallell till $y=-2x+12$y=−2x+12 och går genom punkten $(1,1)$(1,1).
Bestäm linje A:s ekvation på formen $y=kx+m$y=kx+m.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
En linje går genom punkterna $(0,\text{ }0)$(0, 0) och $(3;\text{ }6,45)$(3; 6,45). En annan linje har ekvationen $y=2,15x+3$y=2,15x+3.
Är linjerna är parallella?
Motivera ditt svar. NpMa2c vt2015
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde Linjära funktioner linjens lutning parallella linjer Räta linjens ekvationRättar...9. Premium
Linjen $L_1$L1 har ekvationen $y=$y=$\frac{a}{b}$ab $x$x och är vinkelrät mot linjen $L_2$L2.
Hur kan ekvationen för $L_2$L2 se ut?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
I figuren är tre räta linjer A, B och C ritade. Ekvationen för linje A är $y=1,5x+3$y=1,5x+3
Linjerna A och B är parallella.
a) Ange ekvationen för linje B.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde Linjära funktioner linjens lutning m-värde parallell Räta linjens ekvationRättar...11. Premium
I figuren är tre räta linjer A, B och C ritade. Ekvationen för linje A är $y=1,5x+3$y=1,5x+3
Linje C är parallell med $x$x-axeln.
b) Ange ekvationen för linje C.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: k-värde Linjära funktioner linjens lutning m-värde parallell Räta linjens ekvationRättar...c-uppgifter (1)
-
12. Premium
En linje är parallell med linjen $y=3x+1$y=3x+1 och går genom punkterna $A\left(0,\text{ }3\right)$A(0, 3) och $B\left(a,\text{ }0\right)$B(a, 0).
Bestäm $a$a.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Funktioner k-värdet Linjära funktioner linjens lutning parallella linjer räta linjen ekvationRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Tommy L.
Hej,
Nu skriver jag i frustration här, men ska försöka behärska mig.
Jag förstår inte alls dom två första uppgifterna, 1 och 2.
Har gjort om dom och tittat i ”förklaringsdelen” över 10 – 15 gånger för att försöka förstå. I uppgift 2 står det vinkelrät, men i facit blir det parallellt, vad har jag missat? Varför börja med en sådan svår uppgift (min upplevelse) och dessutom i bråkform?
Den där ”osynliga ettan” som endast dyker upp i förklaringsdelar oavsett forum behöver ni börja visa mera. Det kostade mig 45 minuter av mitt liv att förstå hur den kom fram.
Videoexemplet var bra och den teoretiska delen med. Därefter kändes det som om man satt på ett nationellt prov och svettades. Ni behöver fler enklare uppgifter som får eleven att känna att man är på rätt väg. Gärna ingående videoförklaringar till respektive uppgift hade också varit uppskattat.
Det hade också varit bra om dom första uppgifterna redan hade en utsatt linje från början så att man kunde experimentera fram den linje som efterfrågades . Jag förstod inte alls ”Dra punkt A och B så att linjen är parallell y=2x−2.”
Även med hjälp av verktyget GeoGebra så lyckades jag inte lösa denna uppgift på grund av den totala missuppfattningen av vad som efterfrågades.
Jag har mer att skriva men orkar inte längre då jag nästan suttit 4 timmar med dom här två uppgifterna.
Tack på förhand!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Förstår din frustration, vi flyttar uppgifterna lite så att man inte möter dessa direkt. Vi brukar alltid försöka mjuka upp i de första uppgifterna. Här är det nog lite svårt i början.
Tack för din feedback!
Emil Nordlund
I videon där du ska sätta ut punkten (a,4) så sätter du ut den på (a,3) är det fel eller har jag missat något?
Simon Rybrand (Moderator)
Du har inte missat, fel i grafiken där. Vi lägger in att detta skall korrigeras!
Louise Segerman
Hej!
En fråga, som jag verkligen inte hänger med på. )har precis börjat plugga matte b2.
Hur skriver jag en ekvation som är parallell men linjen y=3x*1,5 ?
Och hur ska jag tänka?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tänk att linjerna skall ha samma lutning (k-värde) men olika m-värde (så att det inte är exakt samma linje). Om du är osäker på vad dessa saker innebär så kika gärna vidare på tidigare videos i detta kapitel.
Michel Tosu
Jag måste säga att jag gillade det andra exemplet i filmen. Det kändes krångligt att komma fram till A från början, men det är häftigt hur man kan lösa ut information som känns väldigt dold från början genom att ställa upp det i en ekvation! =)
Axel
Hej, har lite funderingar på sista exemplet i din video. Vid 06:41 i videon så har du beräknat K men därefter sätter du inte ett nytt K-värde (det som stod i början) varför gör man så?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Där beräknar vi inte ett nytt k-värde utan vi har två sätt att uttrycka samma lutning k på. Dvs att
$ k=\frac{4}{a} $ och $ k=\frac{2}{a-1} $
Då kan vi ta reda på konstanten $a$ genom att lösa den ekvation som löses i videon.
Axel
Jaha okej, tack!
Sandra Sahlsten
Hej! Har lite hjärnsläpp på en uppgift; skriv en ekvation där k=2 (3,1) med hjälp av enpunktsformeln.. Tack på förhand!
Simon Rybrand (Moderator)
Du har punkten $ (x_1,y_1)=(3,1) $ och lutningen $k=2$ och ställer du upp denna information med hjälp av enpunktsformeln får du
$ y-y_1=k(x-x_1) $
Sätt in punktens koordinater och k-värdet
$ y-1=2(x-3) ⇔$
Multiplicera in 2 i parentesen
$ y-1=2x-6 ⇔$
Addera bägge leden med 1
$ y=2x-5$
Här har du räta linjens ekvation
Sandra Sahlsten
Okej tack,den ekvations formeln har jag sett i boken med men i detta talet då så undrar jag då varför det inte blir + när man tagit bort parentesen och hur blir det -6 & sen -5.. Tacksam för svar…
Simon Rybrand (Moderator)
Uppdaterar och skriver lite mer förklaringar kring varje steg
Karl
Hej,
Jag har två frågor jag inte riktigt hänger med på.
1) Fråga 7 (Lösningen)
2y – 10x = 8
2y = 10x + 8
Hur kommer det säg att om man flyttar = tecknet blir det 10x + 8?
—————————————————————————–
2) fråga 8.
a/b ⋅ k2= −1
Min fråga: Om man vill ha ett bråk med okända variabler t.ex a/b att bli 1 så multiplicerar man det med det ”spegelvända” bråket= a/b ⋅ b/a = 1
och i det här fallet a/b ⋅ -a/b = -1?
Karl
Skrev fel på det sista. ska vara:
a/b ⋅ -b/a = -1?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Man flyttar egentligen inte likhetstecknet utan man skriver om funktionsuttrycket på samma vis som man jobbar med en ekvation. Tankegången der ut på följande vis:
$2y – 10x = 8$
Addera med $10x$ i bägge leden
$2y = 10x+ 8$
Dela med $2$ i bägge leden
$y=5x+4$
———
På din andra frågan så verkar det som att du tänker helt rätt då
$ \frac{a}{a}=1 $ och $\frac{b}{b}=1$
Sandra Grantelius
Felskrivning i uppgift 6?
I frågan står det att lutningen är x/3 men i svaret står det 1/3.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej det är ingen felskrivning, utan lutningen är 1/3 då
$ \frac{x}{3}=\frac13 x $
Har uppdaterat förklaringen till uppgiften där vi nu resonerar kort om just detta.
RedEagle
Hej,
Jag förstår inte hur man kommer fram till svaret i uppgift 8. Varför blir svaret -b/a och inte
-a/b?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Om två linjer är vinkelräta så gäller att om vi multiplicerar deras k-värden (lutningar) med varandra så får vi $-1$.
För att få detta så skall den andra lutningen vara $-b/a$. Det kanske blir tydligare varför om vi sätter in tal istället för a och b.
Låt säga att $a=2$ och $b=3$ och vi söker ett $k$ så att
$ \frac{2}{3}·k=-1 $.
Om $ k=\frac{-2}{3} $ så får vi $\frac{2}{3}·\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}$
Om $ k=\frac{-3}{2} $ så får vi $\frac{2}{3}·\frac{-3}{2}=-1$
Det är alltså viktigt att vi har $-b/a$
RedEagle
Tack nu förstår jag 🙂
Jerry Andersson
Hur räknar du ut:
Bestäm ekvationen för den linje som går igenom origo och är vinkelrät mot:
a)
x-y+1=0
b)
3x+2y+2=0
Simon Rybrand (Moderator)
Om du vet att linjen skall gå genom origo så vet du att denna linjes m-värde är 0. För att ta reda på k-värdet så kan du först skriva om linjen så att den står på k form:
$x-y+1=0⇔$ (flytta över y till andra sidan likhetstecknet)
$y=x+1$
Om linjerna skall vara vinkelrät så skall du få $(-1)$ när deras k-värden multipliceras med varandra.
Därför har linjen du söker k-värdet $(-1)$ då $ (-1)⋅1=(-1) $
Alltså gäller att linjens ekvation är
$ y=(-1)x $
Hoppas att detta hjälper dig vidare!
Sebastian Törnqvist
Uppgift 2, är inte ett positivt k-värde en indikator på att det ska vara en ”uppåtlutning” (från vänster till höger). Det står att svaret är k=4 men ni vill att man ska dra linjen så att svaret är k=-4
Kan vara jag som är förvirrad.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Jag kikade på uppgiften och det skall vara rätt i denna, dvs det är endast k = 4 som ger rätt svar. Uppgiftens rätta svar är utritad som en blå linje, den linje man själv har ritat ut visas i grå färg, finns dessa med?
Säg till om det fortfarande inte fungerar, då får vi kika på om det är något annat som gör att rättningen inte fungerar, tex i en viss webbläsare.
Jenrom
En till fråga här, på uppgift 4, i svaret står det:
-1/3 cdotk2 = -1
Vad menas med bokstäverna??
Mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det har blivit ett fel i latexkoden som skriver ut matematiken här på sajten. \cdot betyder multiplikation så det skall stå $ \frac{-1}{3} \cdot k_2 = -1 $. Tack för att du påpekade detta, det är korrigerat.
Jenrom
Hej, jag tror jag har lite hjärnsläpp här nu..
Men när man ska räkna ut m-värdet i uppgift 3.
Jag är med på beräkningen: 1=-2*1+m
Men hur kommer det sig att svaret bli 3=m?
Jag tänker att uträkningen bör bli: (-2)*1+1=-3
Är det så att det bli 3=m för att de bägge ettorna är positiva och att (-2) då ändra till 2?
Mvh Jenny
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du har här ekvationen $ 1=-2⋅1+m $ där du vill få m ensamt. För att få m ensamt så behöver vi addera med 2 i bägge leden (kika gärna på metoden för ekvationslösning). Det ser då metodmässigt ut på följande vis:
$ 1=-2⋅1+m ⇔ $
$ 1=-2+m ⇔ $ (+2 i bägge leden)
$ 1+2=-2+2+m ⇔ $ (-2+2=0)
$ 3=m ⇔ $
$ m=3 $
Hoppas att detta hjälper dig att förstå!
Jenrom
Åh! Såklart! Nu fattar jag! Tack så jättemycket
Nathalie Larsson
Hej, använder Chrome. HAr igår och idag gjort testen, men när jag är klar så snurrar den bara, kan aldrig välja att jag vill spara eller rensa.
Känns dumt när man ändå lagt ner tid på att göra testen.
Är det något fel på sidan? För har både försökt hemma och på skolans datorer, men alltid samma sak
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Det låg ett tekniskt problem i rättningen av uppgiften som vi nu har åtgärdat. Säg till om du fortfarande har problem.
Nu skall det också gå bra att se förklaringarna till varje uppgift.
Nathalie Larsson
menar man at kx värdet alltid skall vara detsamma som x-värdet i kordinat x??
Jane_Ch
Jag fattar inte hur kan K=-1/-3= 1/3 på den andra ekvation
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, om du delar ett negativt tal med ett annat negativt tal så får du ett positivt svar. Därför är
$ \frac{-1}{-3}=\frac{1}{3} $
Jane_Ch
jaha tack!
nti_ma2
Tack för väldigt bra videogenomgångar!
Fr.o.m. 05:40 är punkten (a,4) felplacerad. Du säger och skriver att y = 4 men punkten är placerad på y = 3 i rutnätet.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för att du uppmärksammade oss på detta. Det skall vi korrigera så fort som möjligt.
Shahad
Hej!
Jag har en fråga som jag har svårt att lösa. Undrar om du kan hjälpa mig med det?
Frågan: Punkten (2,2) speglas i linjen y= -0,5x + 2
Finn koordinaterna för spegelbilden.
Mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan, vi kan anta att spegelbilden befinner sig i punkten S(a, b) och vi kallar punkten (2, 2) för P. Då gäller att linjen PS är vinkelrät mot y = -0,5x + 2 och skärningspunkten mellan linjerna befinner sig i mittpunkten. (rita gärna ut en figur).
Eftersom linjerna är vinkelräta gäller att
$ -0,5 \cdot k_2 = -1 \Leftrightarrow $
$ k_2 = 2 $
Vi har k – värde och punkten P på linjen PS vilket ger att
$ 2 = 2 \cdot 2 + m \Leftrightarrow $
$ m = -2 $
Linjen PS har alltså ekvationen
$ y = 2x – 2 $
För att ta reda på mittpunkten, och kunna använda mittpunktsformeln för att räkna ut spegelbildens koordinater, använder vi ekvationssystemet
$ y = 2x – 2 $
$ y = -0,5x + 2 $
——–
$ 2x – 2 = -0,5x + 2 \Leftrightarrow $
$ 2,5x = 4 \Leftrightarrow $
$ x = 1,6 $
och
$ y = 1,2 $
Nu används mittpunktsformeln för att ta reda på koordinaterna, vi får
1,6 = (a + 2)/2
a = 1,2
1,2 = (b + 2)/2
b = 0,4
Nu har vi S(a, b) och denna har koordinaterna
(1,2; 0,4)
Det är ganska många olika steg här och jag kan förstå om det är mycket på en gång.
Endast Premium-användare kan kommentera.