Sannolikhet

Sannolikheten $P\left(A\right)$P(A) är alltid ett värde i intervallet från och med noll till och med ett, med andra ord $0\le P\left(A\right)\le1$0≤P(A)≤1.

Som vi kommer se i exemplen nedan kan vi alltid, när vi beräknar en sannolikhet, välja mellan att svara i bråkform, decimalform eller i procent.

Den klassiska definitionen för sannolikhetslära uttrycks enligt rutan nedan.

Sannolikhet betecknas med $P$ och kan jämföras med engelskans probability eller franskans probabilité. $A$ är den händelse vi vill beräkna sannolikheten för.

Detta sätt att beräkna sannolikheten gäller bara vid så kallad likformig sannolikhetsfördelning. Det vill säga att varje möjligt utfall har samma sannolikhet att inträffa.

Vid beräkningar av sannolikhet kan vi ibland ha hjälp av att göra en sammanställning av alla olika utfall, det så kallade utfallsrummet. Ett vanligt exempel i skolan är beräkningar av sannolikheten när vi kastar ett antal tärningar.

När vi löser uppgifter med sannolikhetsberäkningar efter att två tärningar kastas, blir vi hjälpta av att rita ut utfallsrummet. Det kan se ut till exempel så här.

Den första siffran i parentesen motsvarar utfallet på den ena tärningen. Vi kallar den tärning 1. Den andra siffran motsvarar utfallet på den andra tärningen, tärning 2.

Om vi har två identiska tärningar kommer vi inte kunna se skillnad på till exempel utfall $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3) och $\left(3,\text{ }2\right)$(3, 2). Men om vi har en blå och en röd tärning är det tydligare att det faktiskt är två olika utfall. Sammanlagt finns det alltid $36$36 olika utfall när vi kastar två tärningar.

För att förtydliga definitionen av sannolikheter här ovan tittar vi på ett exempel.

I vår introduktion om sannolikhet ställde vi oss frågan hur vi skulle agera för att öka sannolikheten för att vår vän tar en polkagris. Nu ska vi se hur vi kan resonera för att öka chansen för ett visst utfall.

Som vi redan nämnt är sannolikheten bara ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Inte en garanti för vad som faktiskt inträffar.

Då vår vän bara tar en enda godisbit kan det hända att vännen tar en lakrits! Däremot menar sannolikhetsläran att om en miljon personer hade denna kombination av godispåsar skulle sannolikt ca 750 000 av dessa ha kvar all lakritsen för sig själva.

Så det är i alla fall större chans om vi bjuder på påse B.

För att lättare kunna arbeta med sannolikheter är det bra att förstå följande begrepp. Försök att lära oss dem utantill.

Ett försök som kan upprepas flera gånger på samma vis och där resultatet av försöket inte går att förutse eller påverka, kallas för ett slumpförsök.

Ett typiskt slumpförsök är när vi kastar en tärning eller slumpvis drar ett kort ur en kortlek.

I en kortlek finns vad vi kallar fyra ”färger”. Dessa är hjärter, spader, klöver och ruter. Varje färg har tretton kort. Vi kan alltså tänka att det är en fjärdedels chans att få ett hjärter, då det motsvarar en av fyra möjliga färger.

Varje gång vi utför ett slumpförsök får vi ett resultat. Detta resultat kallas för ett utfall. Alla möjliga utfall vid ett slumpförsök bildar tillsammans ett utfallsrum. Med möjliga utfall menas alla olika resultat som kan inträffa vid försöket.

Läser vi vidare matematik efter gymnasiet kommer vi troligtvis stöta på skrivsättet där utfallsrummet betecknas med $Ω$Ω och händelsen med $H$H. Vi skulle då kunna skriva att $H=\left\{\text{Dra en godis ur påsen}\right\}$H={Dra en godis ur påsen} har utfallsrummet $Ω=\left\{\text{Lakrits, Polkagris}\right\}$Ω={Lakrits, Polkagris}

Ett utfall eller en samling av olika utfall efter ett slumpförsök motsvarar det vi kallar för en händelse. Sannolikheten för en händelse $A$A är ett tal i intervallet från och med noll till och med ett. Vi ska skriva detta med matematiska symboler på följande vis.

Sannolikheten för en händelse kan aldrig vara mindre än noll eller större än ett, utan måste alltså vara ett värde där emellan. Om händelsen omöjligt kan inträffa är sannolikheten $0$0 och om den garanterat inträffar lika med $1$1.

Vi kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Varje utfall vid en oberoende händelse påverkas inte av tidigare utfall. Vanliga exempel är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. Sannolikheten att få stjärnvisten på ett lyckohjul direkt efter att någon annan precis vunnit är varken större eller mindre — den är precis lika stor.

Sannolikheten för nästa händelse påverkas av vad som redan hänt — det kallar vi en beroende händelse. Om vi tar godis ur en påse beror chansen att få en viss sort på vilka godisar vi redan tagit. Vanliga exempel är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse.

I nästa lektion tittar vi på hur vi kan beräkna sannolikheten för sannolikheter i flera steg. Det kan till exempel handla om att kasta flera sexor i rad med en tärning, eller att bara få tikar om vi får fem hundvalpar. Vi behöver då ha koll på om händelsen är beroende eller inte.

Det finns tillfällen där vi på förhand inte kan veta hur stor sannolikheten är för ett utfall. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har.

Ett exempel på detta är om vi vill ange sannolikheten att en fotbollsspelare sätter en straff eller att antalet skruvar i en förpackning blir rätt vid produktion. För att bestämma utfallens sannolikhet tittar vi på ett stort antal tidigare resultat och beräknar sannolikheter utifrån dessa.

Kom ihåg att dessa tidigare resultat bara uppskattar sannolikheten. Ju fler experiment, desto säkrare värde.

• Vad är sannolikheten att vi får en krona när vi kastar mynt?
• I en skål ligger fyra blå, en röd, fem vita och fem gröna bollar.
  a) Vad är sannolikheten att dra en grön boll ur skålen med förbundna ögon?
  b) Den första bollen drogs, var grön, och läggs inte tillbaka. Vad är sannolikheten att vi nu får en vit boll vid nästa dragning.
  c) Vilken av de båda slumpförsöken är en beroende händelse?
• Vad är sannolikheten att få summan fem när en blå och en röd tärning kastas?