...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Sannolikhetslära

Sannolikhet

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Definitionen av sannolikheten för en händelse A är P(A) = Antalet gynnsamma utfall / Antalet möjliga utfall.

Sannolikhet

Begreppet gynnsamma utfall innebär detsamma som ”alla önskade resultat”, vilket är det vi vill beräkna sannolikheten för. 

Begreppet möjliga utfall innebär detsamma som ”alla möjliga resultat”, vilket är alla olika resultat som kan komma att inträffa vid slumpförsöket som vi ska beräkna sannolikheten för.

Sannolikhet

Sannolikheten $P\left(A\right)$P(A) är alltid ett värde i intervallet från och med noll till och med ett, med andra ord  $0\le P\left(A\right)\le1$0P(A)1

Som du kommer se i exemplen nedan kan man alltid,  när man beräknar en sannolikhet, välja mellan att svara i bråkform, decimalform eller i procent. 

Den klassiska definitionen för sannolikhetslära uttrycks enligt rutan nedan.

Definition för sannolikhet

Värdet för sannolikheten för att en händelse A inträffar, motsvaras av kvoten

 $P(A)=$P(A)= $\frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}$Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfall   

Sannolikhet betecknas med $P$ och kan jämföras med engelskans probability eller franskans probabilité. $A$ är den händelse vi vill beräkna sannolikheten för.

Detta sätt att beräkna sannolikheten gäller bara vid så kallad likformig sannolikhetsfördelning. Det vill säga att varje möjligt utfall har samma sannolikhet att inträffa. 

För att förtydliga definitionen av sannolikheter här ovan så kan vi tar vi ett exempel.

Exempel 1


a) Hur stor är sannolikheten att tärningen visar fyra när du kastar den?

b) Hur stor är sannolikheten att tärningen vid ett kast visar fyra eller fler prickar?

Lösning

a) Det finns bara ett resultat som du önskar. Nämligen att tärningen ska visa en fyra. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet.

De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta,  tvåa, trea, fyra, femma eller en sexa.

Sannolikheten blir då

 $P\left(\text{slå en fyra}\right)=$P(slå en fyra)= $\frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}=\frac{1}{6}$Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfall =16   

Sannolikheten att slå en fyra är alltså $\frac{1}{6}$16  

b) De gynnsamma utfallen för händelsen ”Visar fyra eller fler prickar” är fyra, fem eller sex prickar. 

 $P\left(\text{Visar fyra eller fler prickar}\right)=$P(Visar fyra eller fler prickar)= $\frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfall =36 =12   

Sannolikheten för händelsen ”Visar fyra eller fler prickar” är $\frac{1}{2}$12 

I vår introduktion om sannolikhet ställe vi oss frågan hur vi skulle agera för att öka sannolikheten för att vår vän tar en polkagris. Nu ska vi se hur vi kan resonera för att öka chansen för ett visst utfall.

Exempel 2

Din vän ber dig bjuda på en godis. Du har två påsar. I den ena påsen finns en lakrits och två polkagrisar. I den andra påsen finns två lakrits och sex polkagrisar.

Godis sannolikhet

Du helst vill ha kvar de tre lakritsbitarna själv och funderar just nu på tre olika strategier.

  1. Jag bjuder min vän på påse A.
  2. Jag bjuder min vän på påse B.
  3. Först lägger jag ihop alla godisbitarna i en påse, sen bjuder jag min vän.

Vilken av de tre strategierna ska du välja, då du vill att din vän helst ska ta en polkagris när den tar en slumpvis vald godisbit utan att titta i påsarna?

Lösning

Vi tecknar kvoten som ger sannolikheten att din vän tar en polkagris.

$P\left(\text{Polkagris}\right)=$P(Polkagris)=  $\frac{\text{Antal polkagrisar i påsen}}{\text{Totalt antal godisar i påsen}}$Antal polkagrisar i påsenTotalt antal godisar i påsen  

Vi behöver alltså ta hänsyn till hur många godisar och polkagrisar det finns i de olika alternativen.

  1. I påse A är sannolikheten att ta en polkagris $P\left(\text{Polkagris}\right)=$P(Polkagris)=$\frac{2}{3}$23 $\approx67\%$67% 
  2. I påse B är sannolikheten $P\left(\text{Polkagris}\right)=$P(Polkagris)=$\frac{6}{8}$68 $=75\%$=75%
  3. Om vi först häller ihop påsarna får vi att $P\left(\text{Polkagris}\right)=$P(Polkagris)= $\frac{2+6}{3+8}=\frac{8}{11}$2+63+8 =811  $\approx72\%$72% 

Så störst chans att din vän tar en polkagris och du får behålla all lakrits själv har du om du bjuder din vän på påse B.

Men som vi redan nämnt så är sannolikheten bara ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Inte en garanti för vad som faktiskt  inträffar.

Då din vän bara tar en enda godisbit, så kan det hända att vännen tar en lakrits! Däremot menar sannolikhetsläran att om ni var en miljon personer som hade denna kombination av godispåsar så skulle sannolikt ca 750 000 av dessa personer ha kvar all lakritsen för sig självt.

Så det är i alla fall större chans om du bjuder på påse B.

Begrepp inom sannolikhetsläran

För att lättare kunna arbeta med sannolikheter är det bra att förstå följande begrepp. Försök att lära dig dem utantill.

Slumpförsök

Ett försök som kan upprepas flera gånger på samma vis och där resultatet av försöket inte går att förutse eller påverka, kallas för ett slumpförsök.  

Ett typiskt slupförsök är när man kastar en tärning eller slumpvis drar ett kort ur en kortlek.

Exempel 3

Beräkna sannolikheten att få ett hjärter när man drar ett kort slumpmässigt ur en kortlek med $52$52 kort.

Lösning

I en kortlek finns sammanlagt $52$52 kort och $13$13 av dessa är hjärter. Då det är lika stor chans att du drar vilket kort som helst i kortleken, om du inte tittar, är sannolikheten

$ P(\text{Dra ett hjärter})=$ $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$1352 =14  

I en kortlek finns vad man kallar fyra ”färger”. Dessa är hjärter, spader, klöver och ruter. Och varje färg har tretton kort. Så vi skulle lika gärna kunna kunna tänka att de är en fjärdedels chans att få ett hjärter, då det motsvarar en av fyra möjliga färger.

Utfall

Varje gång vi utför ett slumpförsök får vi ett resultat. Detta resultat kallas för att utfall. Alla möjliga utfall, alltså alla olika resultat som kan inträffa vid försöket, vid ett slumpförsök bildar tillsammans det som kallas för ett utfallsrum.

Exempel 4

Godispåse

Vilka olika utfall är möjliga när man drar en slumpvis godis ur påsen?

Lösning

I påsen finns tvåolika godisar, lakrits och polkagris. Därför har händelsen ”Dra en godis ut påsen” två olika utfall: ”lakrits” eller ”polkagris”.

Läser du vidare matematik efter gymnasiet kommer du troligtvis stöta på skrivsättet där utfallsrummet betecknas med $Ω$Ω och händelsen med $H$H. Vi skulle då kunna skriva att $H=\left\{\text{Dra en godis ur påsen}\right\}$H={Dra en godis ur påsen} har utfallsrummet  $Ω=\left\{\text{Lakrits, Polkagris}\right\}$Ω={Lakrits, Polkagris} 

Händelse

Ett utfall eller en samling av olika utfall efter ett slumpförsök motsvarar det man kallar för en händelse. Sannolikheten för en händelse $A$A är ett tal i intervallet från och med noll till och med ett. Vi ska skriva detta med matematiska symboler på följande vis.

Sannolikheten $P$ för händelse $A$ motsvarar alltid ett värde

 $0\le P\left(A\right)\le1$0P(A)1 

Sannolikheten för en händelse kan aldrig vara mindre än noll eller större än ett, utan måste alltså vara ett värde där emellan. Om händelsen omöjligt kan inträffa är sannolikheten $0$0 och om den garanterat inträffar lika med $1$1

Exempel 5

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det $19$19 stycken sockor varav $10$10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor. Vilken är sannolikheten att man får upp en blå socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

Här har vi sammanlagt $19$19 sockor varav tio är vita vilket innebär att antalet blåa och antalet röda tillsammans är nio stycken.

Eftersom att det finns dubbelt så många röda som blå gäller att det finns $3$3 blå och $6$6 röda.

Alltså gäller att

$ P(\text{Ta upp en blå socka})=$ $\frac{3}{19}$319  $ ≈ 0,16 = 16 \% $

Oberoende händelser

Man kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Och precis som det låter så är varje utfall till en oberoende händelser inte beroende av tidigare utfall. Vanliga exempel på detta är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. Dessa händelser är oberoende. Sannolikheten att få stjärnvisten på ett lyckohjul direkt efter att någon annan precis vunnit är varken större eller mindre, utan precis lika liten. Eller stor.

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse där utfallens sannolikhet påverkas av en annan händelser. Vanlig exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Utfallet på nästa händelse, ex ta en godis ur påsen, kommer att påverkas av vilka godisar du redan tagit från påsen och därmed påverka sannolikheten att du får just den bit du hoppats på.

I nästa lektion tittar vi på hur man kan beräkna sannolikheten för sannolikheter i flera steg. Alltså att du tillexempel kastar flera sexor i rad med en tärning eller bara får tikar om du får fem hundvalpar. Man behöver då ha lite extra koll på om händelsen är beroende eller inte.

Experimentella sannolikheter

Det finns tillfällen där vi på förhand inte kan veta hur stor sannolikheten är för ett utfall. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har.

Ett exempel på detta är om vi vill ange sannolikheten att en fotbollsspelare sätter en straff eller att antalet skruvar i en förpackning blir rätt vid produktion. För att bestämma utfallens sannolikhet tittar man på ett stort antal tidigare resultat och beräknar sannolikheter utifrån dessa. 

Exempel 6

Tabellen visar födelsestatistik i Sverige år 2020.

Tabell

Hur stor var sannolikheten att man fick en flicka om man fick ett barn år 2020 enligt statistiken?

Lösning

För att bestämma sannolikheten beräknar vi den relativa frekvensen för att få en flicka 2020.

$ P(\text{Flicka})=$ $\frac{54\text{ }822}{113\text{ }077}\approx$54 822113 077 $0,485$0,485 

vilket motsvarar ca  $48,5\text{ }\%$48,5 % chans att man fick en flicka. 

Men kom ihåg att dessa tidigare resultat eller experiment endast kommer att uppskatta sannolikheten. Men som vanligt gäller att ju fler experiment eller utfall, desto säkrare blir värdet på utfallets sannolikhet.

Exempel i videon

  • Vad är sannolikheten att vi får en krona när vi kastar mynt?
  • I en skål ligger fyra blå, en röd, fem vita och fem gröna bollar.
    a) Vad är sannolikheten att dra en grön boll ur skålen med förbundna ögon?
    b) Den första bollen drogs, var grön, och läggs inte tillbaka. Vad är sannolikheten att vi nu får en vit boll vid nästa dragning.
    c) Vilken av de båda slumpförsöken är en beroende händelse?
  • Vad är sannolikheten att få summan fem när en blå och en röd tärning kastas?

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (13)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att du får en trea när du kastar en tärning?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Tabellen visar födelsestatistik i Sverige år 2020 enligt SCB.

    Tabell

    Hur stor var sannolikheten att man fick en pojke om man fick ett barn år 2020 enligt statistiken?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Tärning

    Vad är sannolikheten att du får par i tvåor när du kastar två tärningar?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att du får en blå boll när du slumpmässigt drar en boll ur en påse med fyra blå, tre vita och en röd boll?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    En stor godispåse innehåller röda, gula, gröna och svarta godisfiskar. 

    Sannolikheten att få en röd fisk är $30\%$30%.
    Sannolikheten att få en gul fisk är $\frac{1}{5}$15  .
    Sannolikheten att få en grön fisk är en tiondel.

    Hur stor är sannolikheten att få en svart fisk?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Sid har en spargris full med tvåkronor, femkronor och tior.
    Sannolikheten att hon får en femma om hon tar ett slumpmässigt mynt är $\frac{21}{37}$2137  och att hon får en tvåkrona  $\frac{11}{37}$1137 .

    Vilken myntsort är vanligast i spargrisen? (lös med resonemang och utan att göra någon beräkning).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Uno har två sexsidiga tärningar och undrar hur stor chansen är att få två sexor på ett slag. Beräkna sannolikheten.

    Svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Om du frågar en slumpmässigt vald person vilken månad hen fyller år, hur stor är sannolikheten att personen fyller år i december?

    Vi antar att det i snitt föds lika många personer varje dag på året.  Ange svaret i procentform med en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Du kastar en tärning och ett mynt.

    Vad är sannolikheten att du får klave samtidigt som du får ett udda tal på tärningen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    På en julbasar kan man snurra på ett lyckohjul, med tolv fält som visas i bilden nedan.

    Sannolikhet

    Ange en händelse $H$H som har sannolikheten $P(H)=0,25$P(H)=0,25 .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Olle står utanför ett hyreshus och har tappat bort portkoden på fyra siffror. Han kommer ihåg att första siffran var en tvåa och den andra en trea samt att ingen av de två sista siffrorna var en två eller trea. Hur många kombinationer finns det att pröva ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL11
    M
    R
    K

    Du har följande fem kort på handen och ska dra ett sjätte kort ur en kortlek. Se bild.

    a) Hur stor är sannolikheten att det sjätte kortet du drar är ett hjärter?

    b) Hur stor är sannolikheten att du istället får två par när du drar ditt sjätte kort?

    Skriv svaren i bråkform med ett komma emellan i svarsrutan.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K

    På ett tivoli finns ett lyckohjul. Under en dag snurrar hjulet  $255$255 ggr.

    Hur många gånger blev det vinst om varje blått fält ger vinst?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    På ett lotteri finns det $100$100 lotter som är numrerade från $1$1 till $100$100. Vinst ges till de lotter som har minst en etta i lottnummret.

    Vad är sannolikheten att du får en vinstlott om du köper den första lotten?  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att minst en av dina tärningar visar en trea om du slår två tärningar?

    Svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Åsa har en låda med t-shirts, där ligger $5$5 svarta, $4$4 vita och  $2$2 st flerfärgade t-shirts. Åsa sticker ner handen i sin låda och drar en svart t-shirt. 

    Med hur många procentenheter har sannolikheten att hon får en svart t-shirt minskat när hon ska ta en ny tröja nästa dag utan att ha lagt tillbaka den förra?

    Svara i hela procentenheter

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Lotter

    På en marknad finns ett lotteristånd där man frestar med att man har $150$150 fina vinster.

    Lotterna kostar bara $10\text{ }\text{kr}$10 kr  men sannolikheten att man vinner är bara $0,03$0,03. Hur mycket pengar har lotteriförsäljaren i kassan när dagen är slut om han sålt alla lotter?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 18. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Hur stor är sannolikheten att när du kastat två tärningar med en siffersumma som är minst $8$8 samtidigt fått en differensen mellan tärningarnas utfall som är större än $2$2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 19. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En lotteriring har $100$100 lotter med numren $100-199$100199.

    Man vinner $10\text{kr}$10kr  om man får en lott som innehåller minst två siffror med samma nummer. Lotterna kostar $5\text{ }\text{kr}$5 kr/styck. 

    Hur mycket förlorar man i genomsnitt om man köper lotter för $100\text{ }\text{kr}$100 kr 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se