...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Statistisk

Lägesmått och spridningsmått

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen fördjupar vår förståelse av lägesmått och spridningsmått samt några diagram.

Lägesmått är värden som sammanfattar alla mätvärden i en datamängd med ett enda representativt värde.

Spridningsmått anger hur observationerna i datamängden varierar kring lägesmåttens värden.

Spridningsmått och lägesmått presenteras ofta tillsammans för att beskriva en undersökningsresultat så bra som möjligt.

Lägesmått

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I högstadiets kurser går vi mer ingående igenom lägesmåtten medelvärde, median och typvärde. Genom att känna till hur datamängdens observationer är fördelade kan man lättare avgöra vilket lägesmått som lämpar sig bäst.

Medianen eller typvärdet kan vara ett mer rättvisande lägesmått än medelvärdet om materialet är snedfördelat. Med andra ord får man vara observant på vilket mått som ger det tydligaste och mest sanningsenliga informationen. 

Återvänd till lektionen medelvärde, median och typvärde om du känner att du behöver repetera.

Definitioner lägesmått

Medelvärde

 $\text{Medelvärde}=$Medelvärde=   $\frac{\text{Summan av alla observationsvärden}}{\text{Antal observationer}}$Summan av alla observationsvärdenAntal observationer  

 
Median

Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden motsvarar medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

Spridningsmått

I en datamängd där observationerna har en liten spridning är de flesta värden nära varandra. Däremot säger man om en datamängd där värdena skiljer sig mycket från varandra, att spridningen är stor. 

Definitioner spridningsmått

Typvärde

Typvärdet är det vanligast förekommande observationsvärdet i en datamängd.

 
Variationsbredd

Skillnaden mellan det största och det minsta värdet.

I lektionen variationsbredd bekantar vi oss mer med spridningsmåttet, medan du hittar typvärdet i lektioner om medelvärde, median och typvärde.

Här följer nu ett exempel på hur man beräknar de olika lägesmåtten medelvärde, median, typvärde och variationsbredd.

Exempel 1

Stolpdiagrammet visar hur många mål ett lag gjorde under en säsong.

Stolpdiagram

a) Beräkna medelvärdet av hur många mål laget gjorde per match.

b) Bestäm medianen.

c) Bestäm typvärdet.

d) Bestäm variationsbredden.

Lösning

a) Diagrammet visat att laget spelat fem matcher utan att göra något mål. Vid fyra matcher gjorde de ett mål, två matcher två mål, fyra matcher tre mål och en match gjorde det ett mål. Totalt har alltså laget spelat  $16$16  matcher under säsongen.

Vi beräknar medelvärdet genom att summera det totala antalet gjorda mål med antalet matcher. För att få fram det totala antalet mål, multiplicerar vi antalet mål för var stolpe med frekvensen för den stolpen.

 $\text{Medelvärdet }=$Medelvärdet = $\frac{0\cdot5+1\cdot4+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot1}{16}$0·5+1·4+2·2+3·4+4·116  $=1,5$=1,5 

Medelvärdet är alltså $1,5$1,5 mål per match.

b) Vi bestämmer medianen genom att ställa alla resultat i storleksordning och markera det i mitten. 
 $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }3,\text{ }4$0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 

Denna värdemängd har ett jämnt antal värden, $16$16 stycken, och vi får då fram medianen med hjälp av medelvärdet av de två mittersta värdena. Det är värdena $1$1 och $1$1 vilket ger medelvärdet $\frac{1+1}{2}=$1+12 =$1$1 .

Medianen är $1$1 mål.

c) Vi bestämmer typvärdet genom att se vilket poängresultat som har högst frekvens, alltså det resultat som förekommer mest, och ser att det är resultatet noll mål, som laget fått fem gånger.

d) Variationsbredden får vi genom att subtrahera det största värden med det minsta.

 $4-0=4$40=4 

Variationsbredden är $4$4 mål.

Diagram

I lektionen Diagram och tabeller går vi igenom linjediagram, stapeldiagram, stoldiagram och cirkeldiagram mer ingående.

Du behöver kunna läsa av och konstruera beräkningar på följande diagram. Om du känner att du behöver repetera dem mer ingående kan du gå till lektionen Diagram och tabeller.

Olika diagram

Histogram

Då antalet observationer i datamängden är väldigt många kan det vara lämpligt att dela in observationerna i olika intervall. Med hjälp av ett histogram kan man på så vis redovisa ett resultat som har resultat med många olika observationsvärden.

Ett histogram kan beskrivas som ett stapeldiagram där alla staplar placerar precis intill varandra. Varje stapel kommer dessutom att representera ett intervall i stället för ett specifikt värde.

De indelade observationernas intervall kallas för klasser. Följden av ett klassindelat material blir att alla resultat i ett visst intervall hamnar i samma stapel.

Histogram

I histogrammet ovan gäller att staplarna från vänster till höger motsvarar värdena i intervallen

 $50\le x$50x $<55$<55 
 $55\le x$55x $<60$<60 
 $60\le x$60x $<65$<65 
 $65\le x$65x $<70$<70  
 $70\le x$70x $<75$<75  

Den slutna olikheten innan  $x$x  ger att stapelns undre intervallgräns ingår i stapeln medan den övre ingår i efterföljande stapel. Med andra ord innebär det att värden på gränsen mellan två staplar alltid tillhör stapeln till höger om gränsen. Exempelvis kommer längden $70$70 cm hamna i stapeln längst till höger.

För att beräkna medelvärdet i ett histogram använder man klassmitten, vilket motsvarar mittvärdet i varje intervall.

Exempel 2

Beräkna medelvärdet för histogrammet.

Histogram

Lösning

Vi får fram medelvärdet genom att multiplicera varje stapels klassmitt med stapelns frekvens, summera produkterna för att sedan dividera med frekvensen. Klassmitten motsvarar mittvärdet i respektive stapel.

Klassmitten i första stapel är därmed  $52,5$52,5, i andra  $57,5$57,5  och så vidare.

 $\text{Medelvärde}$Medelvärde$\frac{52,5\cdot5+57,5\cdot3+62,5\cdot2+67,5\cdot4+72,5\cdot3}{17}$52,5·5+57,5·3+62,5·2+67,5·4+72,5·317  $\approx61,6$61,6  

Histogrammets medelvärde är ca $61,6$61,6 cm. 

Histogrammen kan till en början verka lite trixiga, men med lite övning brukar det lösa sig! Det viktiga är bara att hålla i minnet att histogrammet inte anger exakta värden utan bara frekvensen i ett intervall. Så man kan vet hur många observationer som finns i ett intervall, men inte hur observationerna är fördelade i intervallet.

De kan slumpa sig att alla finns i den övre eller under gränsen för intervallet, jämt fördelat eller snedfördelat. Det krävs ett anat diagram än histogram för att svara på varje exakt observationsvärde.

Exempel i videon

  • Bestäm medelvärde, typvärde, median, variationsbredd, kvartiler, kvartilavstånd och rita ett lådagram till datamängden  $5,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }9,\text{ }9,\text{ }10,\text{ }12$5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 12 
  • Bestämning av typvärde och medelvärde vid resultat som presenteras i datatabeller.
  • Man gör en undersökning på hur många år $100$100 personer i åldrarna $17-19$1719 år har kvar sina mobiltelefoner. Datan samlas i en tabell (se video). Vilket är typvärdet? Vilken är medianen i åldern $18$18 år? Vilket är det totala medelvärdet?
  • Vid en undersökning har man fått data på $5$5 heltal $>0$>0 med medelvärdet $8$8 och medianen $5$5. Vilka möjliga värden kan det största värdet ha? 

Kommentarer

Brian Johnson

Jag förstår inte vad jag tittar på, fråga 19-20

    David Admin (Moderator)

    Titta i den fördjupande texten där vi förklara det. Uppgifterna är endast aktuella om du läser MA2c.

Simon Strömbäck

det här e skumt, typvärdet är ju det tal som dyker upp mest ändå så får man fel när man tar det talet.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Elliot,

    frågan undrar vilket värde som är stört. Typvärdet är 2 i denna uppgift. Även om det finns åtta stycken som hade två poäng , så är typvärdet det värde som flest hade.

    Och jämfört med medelvärdet och medianen så motsvarade det inte det högsta värdet.

    Hoppas det gav klarhet.

Marcus

Uppgift 8, förklaringen beskriver två gånger ”mellan 10 och 22 poäng”, då jag antar att det bör vara 24 istället för 22.

Clara Svedberg

Hej! Jag blir fundersam över uppgift 7. Borde inte det rätta svaret vara lådagram E (intervallet 10-24 i C motsvarar väl 75 %)?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Clara.

    12 elever av 24 st utgör 50% av datamängden. Det motsvarar också ”lådan” av låddiagrammet. Lådan i diagram C är i intervallet 10 till 24. Observera att varje gradering på tallinjen motsvarar värdet två.

David Ygge

På uppgift 7 visar inte lådagram c:s övre kvartil 22, utan 24.

Simon Rybrand (Moderator)

I datamängden 5, 6, 8, 12, 16, 20, 26, 30, 31, 46, 52 så är det ju ett ojämnt antal tal (11 stycken) så vi kommer att ha ett värde som är median vilket i det här fallet bli talet 20. Talen ovanför medianen är
26, 30, 31, 46, 52
Här är det mittersta talet 31. Dvs du tar i det här fallet endast de övre värdena.

Johanna Olofsson

Hej!
När du räknar ut det totala medelvärdet i uppgift två så ändras tecknen från plus till minus när du förenklar uttrycket! Men du säger plus i videon. vilket stämmer?

    Simon Rybrand (Moderator)

    När vi räknar ut medelvärde så är det ju oftast addition som gäller så det bör nog stämma. Jag hittar inte där det finns ett minustecken i uppgift 2, vid vilken tidpunkt i videon finns detta?

      Pelle

      Hej!
      I uppgift 1 på testa dina kunskaper står det att rätt svar för den övre kvartilen blir 31. men om jag tar talen som ingår får jag det till 6 st tal vilket gör att jag får, (30+31)/2=30,5.
      men om jag hoppar över den ”totala” medianen och bara tar de övre värderna (alltså 5st) så får jag 31 som övre kvartil. vilket ska det vara?
      Med vänlig hälsning Pelle

      Alecsander Franzén

      Tjenare Simon.
      Kikade igenom kommentarerna lite och såg det här inlägget.
      Kollar du på videon vid 07:56 så bör du se att efter att uträkningen blivit förenklad står det som – istället för +.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej! Skall kika på detta, tack för att du påminde om detta.

Janne

E jag ute och seglar helt men borde inte inte medianen ligga mellan värde 50 och 51 om det är 100 undersökta elever?1-50 är ju 50 personer och 51-100 är väl också 50????

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du är inte ute och cyklar, så skall det vara. Vi korrigerar denna del i videon så fort som möjligt, tack för att du tog dig tid och kommenterade detta.

abfvuxgot

facebook vanorna, 15 + 20 / 2 = 17.5 undre kvartile
60+ 80 / 2 = 70 övre kvartile
???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Vi skall kika igenom detta och ordna i videon, tack för din kommentar om detta.

abfvuxgot

undre och överkvartil stämmer ej i videon


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Stapeldiagrammet visar hur många poäng de olika deltagarna fick vid en tävling.

    Stapeldiagram frekvens poäng

    Vilket är typvärdet?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Flera i Sverige har hög utbildning än tidigare. 1990 hade var tionde person studerat i tre år eller mer efter gymnasiet. Nu har var tredje person över 25 år studerat så länge. De flesta som studerar på universitet och högskolor är kvinnor.

    Linjediagram

    Hur stor är skillnaden i procentenheter mellan hur stor andel som studerat mer än tre år efter gymnasiet och inte år 2015? 

    Uppgifter hämtat från SCB

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Tabellen nedan visar stickprovsvärden för två olika statistiska material.

    Tabell stickprov

    Vilket stickprov har störst variationsbredd?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    På en kennel som föder upp schäfrar och taxar undersöker man hundarnas medellivslängd. Resultatet redovisas tabellen i figuren. Var kolumn motsvarar en ålder och antalet hundar som lever just så många år skrivs in i rutan för den åldern.

    Tabell ålder hundar

    Bortse från att de är två olika raser och bestäm medellivslängden för hundarna på kenneln.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange histogrammets klassbredd.

    Histogram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många observationer ingår i historammet?

    Histogram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur  stor andel av observationerna är mellan  $60$60 och  $70$70 cm?

    Histogram

    Ange svaret i hela procent.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange histogrammets klassbredd.

    Histogram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna medelåldern för datamängden i histogrammet.

    Histogram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Histogrammet visar ålder på medlemmarna i en frimärksklubb.

    Hur många personer kan som högst vara exakt $40$40 år?

    Histogram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Två klasser skrev samma prov.

    Den ena klassen är $32$32 elever och skrev medelvärdet $32$32 poäng.
    Den andra klassen är $28$28 elever och fick medelvärdet $36$36 poäng.

    Vad blir medelvärdet om klassernas provresultat slås samman?

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ett sätt att visa statistik är med en befolkningspyramid. Den visar hur många personer i befolkningen som är i olika åldrar, till exempel hur många tusen män som är 40 år och hur
    många tusen kvinnor som är 70 år.

    Statistiken visar att det blir fler äldre personer i Sverige. År 2018 var nästan var femte person över 65 år. 2070 säger prognosen att var fjärde invånare i Sverige att vara över 65 år.

    Befolkningspyramid

    Med hur många kvinnor förväntas befolkningen öka i åldersgruppen 20 år mellan åren 2018 och 2070?

    Ange svaret med en värdesiffra.

    Uppgifter hämtat från SCB

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Max är fyra år äldre än sin yngsta lillebror. Där emellan finns ytterligare tre bröder. Medianen och medelvärdet av deras åldrar är nio.

    Hur gammal är Max om alla bröderna är olika gamla?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Hur det går med länders ekonomi brukar mätas med bruttonationalprodukten, BNP. 

    Diagrammet visar hur Sveriges BNP har förändrats från år till år sedan 1951. 

    Stapeldiagram

    År 1968 var Sveriges BNP ca $1\text{ }600$1 600 miljarder kronor. Hur stor var BNP i Sverige 1972?

    Ange svaret med två värdesiffror.

    Uppgifter hämtat från SCB

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se