Potensfunktioner

Exempel 1

Vår vän har mätt hur bromssträckan påverkas av bilens hastighet vid inbromsningen på ett underlag med friktionstalet $0,8$0,8. Med dessa mätningar har vi kommit fram till att bromssträckan i meter är lika med $0,004$0,004 multiplicerat med hastigheten i kilometer per timme i kvadrat.

a) Teckna en matematisk modell som beskriver hur bromssträckan $B$B påverkas med avseende på hastigheten $v$v.

b) Rita funktionen $B\left(v\right)$B(v) i ett koordinatsystem.

c) Beräkna hur lång bromssträckan på detta underlag blir om hastigheten är $110$110 km/h

d) Bestäm den maximala hastigheten för att bromssträckan inte ska bli längre än max $2$2 meter.

Lösning

a) Vi får att bromssträckan $B$B förändras av hastigheten $v$v enligt följande modell.

$B=0,004\cdot v^2$B=0,004·v²

b) Vi ritar grafen med hjälp av GeoGebra. Vi kan självklart göra det förhand med en värdetabell och plotta ut punkter som vi sammanbinder med en graf. Men det är effektivare med ett digitalt verktyg. Vi bör dock veta hur vi gör det manuellt.

c) Vi beräknar bromssträckan genom att sätta in hastigheten $110$110 km/h i funktionsuttrycket.

$B\left(110\right)=0,004\cdot110^2=48,4$B(110)=0,004·110²=48,4

Vi kan även använda GeoGebra för att beräkna värdet.

Bromssträckan för hastigheten $110$110 km/h blir strax under $50$50 meter.

d) Vi beräknar den maximala hastigheten genom att sätta bromssträckan $B=2$B=2 och lösa ekvationen.

$2=0,004\cdot v^2$2=0,004·v²

$500=v^2$500=v²

$v\approx\pm22$v≈±22

Då vi söker en hastighet framåt, och inte hur snabbt vi backar, använder vi den positiva lösningen.

Vi kan även välja att lösa ekvationen grafiskt, här med hjälp av GeoGebras verktyg för beräkning av skärningspunkten.

Vi får köra maximalt $22$22 km/h för att inte överstiga en bromssträcka på $2$2 meter.

Exempel 2

Ange vilka av följande funktioner som är potensfunktioner.

A. $f\left(x\right)=x^2+3x+1$ƒ (x)=x²+3x+1

B. $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2^x

C. $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=√x

D. $f\left(x\right)=2x^{1,5}$ƒ (x)=2x^1,5

E. $f\left(x\right)=3x^{50}-20$ƒ (x)=3x⁵⁰−20

Lösning

A. Funktionen $f\left(x\right)=x^2+3x+1$ƒ (x)=x²+3x+1 är en potensfunktion av graden två, en så kallad andragradsfunktion. Då exponenten är ett icke-negativt heltal (ett naturligt tal) tillhör denna funktionen en mindre grupp inom potensfunktioner som kallas polynomfunktioner. Deras egenskaper kommer vi att studera djupare i Matematik 2 och 3.

B. Funktionen $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2^x är en exponentialfunktion. Det ser vi eftersom variabeln är i exponenten.

C. Funktionen $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=√x är en potensfunktion. Vi vet det eftersom variabeln är i basen. Vi kan se det tydligare genom att skriva om den med potensregler till $f\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{0,5}$ƒ (x)=√x=x^0,5.

D. Funktionen $f\left(x\right)=2x^{1,5}$ƒ (x)=2x^1,5 är en potensfunktion, variabeln är i basen. Exponenten är inget heltal och vi har därför inget särskilt namn för den. Bra att veta dock är att vi med potensreglerna kan skriva om den som $f\left(x\right)=2x^{1,5}=2x^{1+0,5}=2x\cdot x^{0,5}=2x\sqrt{x}$ƒ (x)=2x^1,5=2x^1+0,5=2x·x^0,5=2x√x

E. Funktionen $f\left(x\right)=3x^{50}-20$ƒ (x)=3x⁵⁰−20 är en potensfunktion, variabeln är även här i basen. Den har största exponent $50$50 vilket ger den graden $50$50 och kallas därför för en femtiogradsfunktion. Även här är exponenten ett icke-negativt heltal och funktionen tillhör också undergruppen polynomfunktioner.

Exempel 3

Lös ekvationen $\sqrt{x}=9$√x=9

Lösning

Vi kvadrerar båda led för att få $x$x-termen med exponenten $1$1.

$\sqrt{x}=9$√x=9

$x=81$x=81

Vi vet nämligen att $\sqrt{x}=x^{0,5}$√x=x^0,5 och vi får då vid kvadrering att

$\left(x^{0,5}\right)^{^2}=x^{0,5\cdot2}=x^1=x$(x^0,5)²=x^0,5·2=x¹=x

Exempel 4

Lös ekvationen $x^5=32$x⁵=32

Lösning

Vi behöver "bli av med exponenten $5$5 i VL. Det blir vi genom att dra femteroten ur eller upphöja till $\frac{1}{5}$15 båda led.

$x^5=32$x⁵=32

$x=\sqrt[5]{32}$x=⁵√32 eller $x=32^{\frac{1}{5}}$x=32¹⁵

$x=2$x=2

Exempel 5

Lös ekvationen $1000x^3=27\text{ }000$1000x³=27 000

Lösning

Börja att dividera båda sidor med $1000$1000 för att få potensen i VL själv.

$1000x^3=27\text{ }000$1000x³=27 000

$x^3=27$x³=27

Nu får vi svaret genom att dra tredjeroten ur eller upphöja till $\frac{1}{3}$13 båda led.

$x=\sqrt[3]{27}$x=³√27 eller $x=27^{\frac{1}{3}}$x=27¹³

$x=3$x=3