Författare:
Simon Rybrand
Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Funktioner där variabeln återfinns i basen kallas för potensfunktioner.
Potensfunktioner kan vara till hjälp när vi exempelvis ska beskriva samband mellan ett värde och en okänd förändring som upprepats ett antal gånger.
Potensfunktioner
Vi börjar med ett exempel för att få lite koll på hur vi kan använda protesfunktioner i vardagen.
Exempel 1

Din vän har mätt hur bromssträckan påverkas av bilens hastighet vid inbromsningen på ett underlag med friktionstalet 0,80,8. Med dessa mätningar har man kommit fram till att bromssträckan i meter är lika med 0,0040,004 multiplicerat med hastigheten i kilometer per timme i kvadrat.
a) Teckna en matematisk modell som beskriver hur bromssträckan BB påverkas med avseende på hastigheten vv.
b) Rita funktionen B(v)B(v) i ett koordinatsystem.
c) Beräkna hur lång bromssträckan på detta underlag blir om hastigheten är 110110 km/h
d) Bestäm den maximala hastigheten för att bromssträckan inte ska bli längre än max 22 meter.
Lösning
a) Vi får att bromssträckan BB förändras av hastigheten vv enligt följande modell.
B=0,004⋅v2B=0,004·v2
b) Vi ritar grafen med hjälp av GeoGebra. Du kan självklart göra det förhand med en värdetabell och plotta ut punkter som du sammanbinder med en graf. Men det är effektivare med ett digitalt verktyg. Du bör dock veta hur du gör det manuellt.
c) Vi beräknar bromssträckan genom att sätta in hastigheten 110110 km/h i funktionsuttrycket.
B(110)=0,004⋅1102=48,4B(110)=0,004·1102=48,4
Vi kan även använda GeoGebra för att beräkna värdet.
Bromssträckan för hastigheten 110110 km/h blir strax under 5050 meter.
d) Vi beräknar den maximala hastigheten genom att sätta bromssträckan B=2B=2 och lösa ekvationen.
2=0,004⋅v22=0,004·v2
500=v2500=v2
v≈±22v≈±22
Då vi söker en hastighet framåt, och inte hur snabbt man backar, använder vi den positiva lösningen.
Vi kan även välja att lösa ekvationen grafiskt, här med hjälp av GeoGebras verktyg för beräkning av skärningspunkten.
Man få köra maximalt 2222 km/h för att inte överstiga en bromssträcka på 22 meter.
Återvänd till tidigare lektioner om du vill du vill se hur du kan använda GeoGebra som verktyg för grafiska ekvationslösningar och konstruktion och beräkningar med funktioner.
Definitionen av Potensfunktioner
Vi delar in funktioner i olika undergrupper där de som ingår i en grupp har liknade egenskaper. Detta gör vi för att underlätta arbetet och förståelsen av funktioner. Samlingsnamnet för funktioner där variabel är i basen är Potensfunktioner.
Definition
En potensfunktion skrivs på formen
y=C⋅xay=C·xa
där CC och naa är konstanter.
Till denna term kan vi addera och subtrahera flera andra. Men den term som har högst exponent kommer vara dominerande och ange vilken slags potensfunktion det är vi har att göra med.
Exempel 2
Ange vilka av följande funktioner som är potensfunktioner.
A. f(x)=x2+3x+1ƒ (x)=x2+3x+1
B. f(x)=2xƒ (x)=2x
C. f(x)=xƒ (x)=√x
D. f(x)=2x1,5ƒ (x)=2x1,5
E. f(x)=3x50−20ƒ (x)=3x50−20
Lösning
A. Funktionen f(x)=x2+3x+1ƒ (x)=x2+3x+1 är en potensfunktion av graden två, en så kallad andragradsfunktion. Då exponenten är ett icke-negativt heltal (ett naturligt tal) tillhör denna funktionen en mindre grupp inom potensfunktioner som kallas polynomfunktioner. Deras egenskaper kommer vi att studera djupare i Matematik 2 och 3.
B. Funktionen f(x)=2xƒ (x)=2x är en exponentialfunktion. Det ser vi eftersom att variabeln är i exponenten.
C. Funktionen f(x)=xƒ (x)=√x är en potensfunktion. Vi vet det eftersom att variabeln är i basen. Vi kan se det tydligare genom att skriva om den med potensregler till f(x)=x=x0,5ƒ (x)=√x=x0,5.
D. Funktionen f(x)=2x1,5ƒ (x)=2x1,5 är en potensfunktion, variabeln är i basen. Exponenten är inget heltal och vi har därför inget särskilt namn för den. Bra att veta dock är att vi med potensreglerna kan skriva om den som f(x)=2x1,5=2x1+0,5=2x⋅x0,5=2xxƒ (x)=2x1,5=2x1+0,5=2x·x0,5=2x√x
E. Funktionen f(x)=3x50−20ƒ (x)=3x50−20 är en potensfunktion, variabeln är även här i basen. Den har största exponent 5050 vilket ger den graden 5050 och kallas därför för en femtiogradsfunktion. Även här är exponenten ett icke-negativt heltal och funktionen tillhör också undergruppen polynomfunktioner.
Grafen till en Potensfunktion
Potensfunktionerna har många olika utseende och det beror på värdet av koefficienten och exponenten. Här ritar vi graferna till funktionerna i exempel 1.
Det finns ännu fler olika utseenden på potensfunktionerna men de kollar vi på i kommande lektioner.
Polynomfunktioner
I exempel 1 såg vi att om exponenten nn är ett icke-negativt heltal anger den graden för funktionen och alla dessa potensfunktioner går under samlingsnamnet polynomfunktioner.
I matematik 1 är den framför allt egenskaperna hos den linjära funktionen y=kx+my=kx+m vi kommer att fördjupa oss i, medan vi i de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.
De linjära funktionerna är potensfunktioner där n=1n=1, men vi skriver inte ut ettan, eftersom att x1=xx1=x. De kan därför benämnas som förstagradsfunktioner, men vanligare är namnet ”linjära funktioner”.
Men vi kommer redan i Ma1 stöta på potensfunktioner med andra exponenter än ett. Men det handlar än så länge i första hand om att kunna beräkna olika funktionsvärden och teckna modeller med dem.
Vid tillämpning är det vanlig att variabeln i potensfunktionen motsvarar följande.
yy motsvarar funktionsvärdet
CC motsvarar startvärdet, funktionens värde när x=0x=0
xx motsvarar förändringsfaktorn
aa motsvarar ofta antalet förändringar
Vi vill igen påpeka att denna funktion har en snarlik beteckningen med exponentialfunktioner. Men med en stor skillnad: variabelns placering! Här är det basen som utgörs av en variabel, och konstanten aa är antalet förändringar. Vilket är det motsatta i exponentialfunktionen.
Repetition potensekvationer
I lektionen potensekvationer tittar vi på hur vi löser ut variabeln ut ekvationer med exponenter som inte är lika med ett. Vi repeterar med tre exempel här.
Exempel 3
Lös ekvationen x=9√x=9
Lösning
Vi kvadrerar båda led för att få xx-termen med exponenten 11.
x=9√x=9
x=81x=81
Vi det nämligen att x=x0,5√x=x0,5 och vi får då vid kvadrering att
(x0,5)2=x0,5⋅2=x1=x(x0,5)2=x0,5·2=x1=x
Exempel 4
Lös ekvationen x5=32x5=32
Lösning
Vi behöver ”bli av med exponenten 55 i VL. Det blir vi genom att dra femteroten ur eller upphöja till 5115 båda led.
x5=32x5=32
x=532x=5√32 eller x=3251x=3215
x=2x=2
Exempel 5
Lös ekvationen 1000x3=27 0001000x3=27 000
Lösning
Börja att dividera båda sidor med 10001000 för att få potensen i VL själv.
1000x3=27 0001000x3=27 000
x3=27x3=27
Nu får vi svaret genom att dra tredjeroten ur eller upphöja till 3113 båda led.
x=327x=3√27 eller x=2731x=2713
x=3x=3
De två sätten att lösa potensekvationer är likvärdiga. För vi vet att följande gäller.
nx=xn1n√x=x1n
I Matematik 2 och Matematik 3 börjar vi fördjupa oss i potensfunktionernas egenskaper och grafers utseende.
Kommentarer
e-uppgifter (7)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Låt f(x)=2x3ƒ (x)=2x3. Bestäm f(2)ƒ (2) utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f(2)=16(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Låt f(x)=2x3ƒ (x)=2x3. Lös ekvationen f(x)=54ƒ (x)=54 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Figuren visar grafen till funktionen f(x)=xƒ (x)=√x
Använd figuren för att bestämma f(4)ƒ (4).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f(4)=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Figuren visar grafen till funktionen f(x)=xƒ (x)=√x
Använd figuren för att lösa ekvationen f(x)=2ƒ (x)=2
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=4(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Du planerar sätta in 5 0005 000 kronor på ett bankkonto och vill med en funktion kunna visualisera hur olika räntesatser påverkar kapitalet på kontot om du inte sätter in eller tar ut några pengar under de tio följande åren.
Teckna en potensfunktion som beskriver hur kapitalet yy förändras på tio år om du får en ränta som motsvarar förändringsfaktorn xx kronor.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=5 000 x10(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken av följande matematiska modeller är inte en potensfunktion, då xx är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (4)
8. Premium
(0/1/0)NPE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x21=9x12 =9
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=81(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: PotensekvationerRättar...9. Premium
(0/1/0)E C A B P PL M R 1 K Låt f(x)=x2ƒ (x)=x2 och g(x)=x3g(x)=x3
Ange för vilket värde på xx som f(x)<ƒ (x)< g(x)g(x).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x>1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/2/0)NPE C A B P 1 PL 1 M R K År 1750 var världens befolkning 750750 miljoner.
År 1870 var världens befolkning dubbelt så stor.Med hur många procent ökade befolkningen i genomsnitt per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0,58 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: PotensfunktionerRättar...11. Premium
(0/2/0)E C A B P PL 2 M R K Du planerar sätta in 5 0005 000 kronor på ett bankkonto och vill med en funktion kunna visualisera hur olika räntesatser påverkar kapitalet på kontot om du inte sätter in eller tar ut några pengar under de tio följande åren.
Vilken är den lägsta årsräntan du behöver få på kontot för att kapitalet ska ha dubblerats på tio år?
Ange svaret med två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 7,18 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: PotensekvationerRättar...
a-uppgifter (4)
12. Premium
(1/1/1)NPE C A B 1 P 1 1 PL M R K
Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är 3737 % under tvåårsperioden.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 17%(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(0/0/2)E C A B P PL 2 M R K Låt f(x)=Cxaƒ (x)=Cxa . Bestäm konstanterna CC och aa då f(1)=3ƒ (1)=3 och f(2)=12ƒ (2)=12.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: C=3 och a=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(1/0/1)M NPE C A B P 1 PL M 1 R K På ett äppelträd växer det ett år 3535 äpplen.
Anta att antalet äpplen varje år ökar med lika många procent och det efter nio år är 160160 äpplet på trädet.
Hur stor är då den procentuella ökningen per år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 18,4 %(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(0/0/2)ME C A B 1 P PL M R 1 K Genom att dra i glidarna till konstanterna aa och CC kan du se hur grafen till funktionen y=Cxay=Cxa påverkas av konstanterna.
Ange definitionsmängden och värdemängden för y=Cxay=Cxa då C>0C>0 och aa ett heltal större än ett.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Rätt svarDefintionsmängden är alla x. Värdemängden för alla jämna heltal a är y≥0. För alla udda heltal a är funktionen definierad för alla y-värden.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Definitionsmängd och VärdemängdRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Endast Premium-användare kan kommentera.