...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 1c
 /   Funktioner

Potensfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 800+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
99 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Funktioner där variabeln återfinns i basen kallas för potensfunktioner.

Potensfunktioner kan vara till hjälp när vi exempelvis ska beskriva samband mellan ett värde och en okänd förändring som upprepats ett antal gånger. 

Potensfunktioner

Vi börjar med ett exempel för att få lite koll på hur vi kan använda protesfunktioner i vardagen.

Exempel 1

Din vän har mätt hur bromssträckan påverkas av bilens hastighet vid inbromsningen på ett underlag med friktionstalet  $0,8$0,8. Med dessa mätningar har man kommit fram till att bromssträckan i meter är lika med $0,004$0,004 multiplicerat med hastigheten i kilometer per timme i kvadrat.

a) Teckna en matematisk modell som beskriver hur bromssträckan $B$B påverkas med avseende på hastigheten $v$v.

b) Rita funktionen $B\left(v\right)$B(v) i ett koordinatsystem.

c) Beräkna hur lång bromssträckan på detta underlag blir om hastigheten är $110$110 km/h

d) Bestäm den maximala hastigheten för att bromssträckan inte ska bli längre än max $2$2 meter.

Lösning

a) Vi får att bromssträckan $B$B förändras av hastigheten $v$v enligt följande modell.

$B=0,004\cdot v^2$B=0,004·v2

b) Vi ritar grafen med hjälp av GeoGebra. Du kan självklart göra det förhand med en värdetabell och plotta ut punkter som du sammanbinder med en graf. Men det är effektivare med ett digitalt verktyg. Du bör dock veta hur du gör det manuellt.

c) Vi beräknar bromssträckan genom att sätta in hastigheten $110$110 km/h i funktionsuttrycket.

$B\left(110\right)=0,004\cdot110^2=48,4$B(110)=0,004·1102=48,4

Vi kan även använda GeoGebra för att beräkna värdet.

Bromssträckan för hastigheten $110$110 km/h blir strax under $50$50 meter.

d) Vi beräknar den maximala hastigheten genom att sätta bromssträckan $B=2$B=2 och lösa ekvationen.

$2=0,004\cdot v^2$2=0,004·v2

$500=v^2$500=v2

$v\approx\pm22$v±22

Då vi söker en hastighet framåt, och inte hur snabbt man backar, använder vi den positiva lösningen.

Vi kan även välja att lösa ekvationen grafiskt, här med hjälp av GeoGebras verktyg för beräkning av skärningspunkten.

Man få köra maximalt $22$22 km/h för att inte överstiga en bromssträcka på $2$2 meter.

Återvänd till tidigare lektioner om du vill du vill se hur du kan använda GeoGebra som verktyg för grafiska ekvationslösningar och konstruktion och beräkningar med funktioner.

Definitionen av Potensfunktioner

Vi delar in funktioner i olika undergrupper där de som ingår i en grupp har liknade egenskaper. Detta gör vi för att underlätta arbetet och förståelsen av funktioner. Samlingsnamnet för funktioner där variabel är i basen är Potensfunktioner. 

Definition

En potensfunktion skrivs på formen

 $y=C\cdot x^a$y=C·xa 

där  $C$C och $n$$a$a är konstanter.

Till denna term kan vi addera och subtrahera flera andra. Men den term som har högst exponent kommer vara dominerande och ange vilken slags potensfunktion det är vi har att göra med.

Exempel 2

Ange vilka av följande funktioner som är potensfunktioner.

A.    $f\left(x\right)=x^2+3x+1$ƒ (x)=x2+3x+1

B.    $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2x

C.   $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x

D.   $f\left(x\right)=2x^{1,5}$ƒ (x)=2x1,5

E.   $f\left(x\right)=3x^{50}-20$ƒ (x)=3x5020

Lösning

A. Funktionen  $f\left(x\right)=x^2+3x+1$ƒ (x)=x2+3x+1 är en potensfunktion av graden två, en så kallad andragradsfunktion. Då exponenten är ett icke-negativt heltal (ett naturligt tal) tillhör denna funktionen en mindre grupp inom potensfunktioner som kallas polynomfunktioner. Deras egenskaper kommer vi att studera djupare i Matematik 2 och 3.

B.  Funktionen  $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2x är en exponentialfunktion. Det ser vi eftersom att variabeln är i exponenten.

C.  Funktionen $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x är en potensfunktion. Vi vet det eftersom att variabeln är i basen. Vi kan se det tydligare genom att skriva om den med potensregler till  $f\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{0,5}$ƒ (x)=x=x0,5.

D.  Funktionen $f\left(x\right)=2x^{1,5}$ƒ (x)=2x1,5  är en potensfunktion, variabeln är i basen. Exponenten är inget heltal och vi har därför inget särskilt namn för den. Bra att veta dock är att vi med potensreglerna kan skriva om den som  $f\left(x\right)=2x^{1,5}=2x^{1+0,5}=2x\cdot x^{0,5}=2x\sqrt{x}$ƒ (x)=2x1,5=2x1+0,5=2x·x0,5=2xx

E.  Funktionen $f\left(x\right)=3x^{50}-20$ƒ (x)=3x5020  är en potensfunktion, variabeln är även här i basen. Den har största exponent $50$50 vilket ger den graden $50$50 och kallas därför för en femtiogradsfunktion. Även här är exponenten ett icke-negativt heltal och funktionen tillhör också undergruppen polynomfunktioner.

Grafen till en Potensfunktion

Potensfunktionerna har många olika utseende och det beror på värdet av koefficienten och exponenten. Här ritar vi graferna till funktionerna i exempel 1.

Det finns ännu fler olika utseenden på potensfunktionerna men de kollar vi på i kommande lektioner.

Polynomfunktioner

I exempel 1 såg vi att om exponenten $n$n är ett icke-negativt heltal anger den graden för funktionen och alla dessa potensfunktioner går under samlingsnamnet polynomfunktioner.

I matematik 1 är den framför allt egenskaperna hos den linjära funktionen $y=kx+m$y=kx+m vi kommer att fördjupa oss i, medan vi i de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.

De linjära funktionerna är potensfunktioner där $n=1$n=1, men vi skriver inte ut ettan, eftersom att $x^1=x$x1=x. De kan därför benämnas som förstagradsfunktioner, men vanligare är namnet ”linjära funktioner”.

Men vi kommer redan i Ma1 stöta på potensfunktioner med andra exponenter än ett. Men det handlar än så länge i första hand om att kunna beräkna olika funktionsvärden och teckna modeller med dem.

Vid tillämpning är det vanlig att variabeln i potensfunktionen motsvarar följande.

$y$y  motsvarar funktionsvärdet
$C$C motsvarar startvärdet, funktionens värde när  $x=0$x=0

$x$x  motsvarar förändringsfaktorn 
$a$a motsvarar ofta antalet förändringar

Vi vill igen påpeka att denna funktion har en snarlik beteckningen med exponentialfunktioner. Men med en stor skillnad: variabelns placering! Här är det basen som utgörs av en variabel, och konstanten $a$a är antalet förändringar. Vilket är det motsatta i  exponentialfunktionen.

Repetition potensekvationer

I lektionen potensekvationer tittar vi på hur vi löser ut variabeln ut ekvationer med exponenter som inte är lika med ett. Vi repeterar med tre exempel här.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\sqrt{x}=9$x=9 

Lösning

Vi kvadrerar båda led för att få $x$x-termen med exponenten  $1$1

 $\sqrt{x}=9$x=9 

 $x=81$x=81 

Vi det nämligen att  $\sqrt{x}=x^{0,5}$x=x0,5  och vi får då vid kvadrering att

 $\left(x^{0,5}\right)^{^2}=x^{0,5\cdot2}=x^1=x$(x0,5)2=x0,5·2=x1=x 

Exempel 4

Lös ekvationen   $x^5=7$x5=7

Lösning

Vi behöver ”bli av med exponenten $5$5 i VL. Det blir vi genom att dra femteroten ur eller upphöja till $\frac{1}{5}$15  båda led. 

 $x^5=32$x5=32 

 $x=\sqrt[5]{32}$x=532    eller    $x=32^{\frac{1}{5}}$x=3215  

 $x=2$x=2  

Exempel 5

Lös ekvationen  $1000x^3=27\text{ }000$1000x3=27 000 

Lösning

Börja att dividera båda sidor med $1000$1000 för att få potensen i VL själv.

 $1000x^3=27\text{ }000$1000x3=27 000     

 $x^3=27$x3=27 

Nu får vi svaret genom att dra tredjeroten ur eller upphöja till $\frac{1}{3}$13  båda led. 

 $x=\sqrt[3]{27}$x=327   eller   $x=27^{\frac{1}{3}}$x=2713  

 $x=3$x=3 

De två sätten att lösa potensekvationer är likvärdiga. För vi vet att följande gäller.

 $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$nx=x1n  

I Matematik 2 och Matematik 3 börjar vi fördjupa oss i potensfunktionernas egenskaper och grafers utseende. 

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Låt  $f\left(x\right)=2x^3$ƒ (x)=2x3. Bestäm  $f\left(2\right)$ƒ (2) utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Låt  $f\left(x\right)=2x^3$ƒ (x)=2x3. Lös ekvationen  $f\left(x\right)=54$ƒ (x)=54 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Figuren visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x

    Potensfunktion

    Använd figuren för att bestämma $f\left(4\right)$ƒ (4).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Figuren visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x

    Potensfunktion

    Använd figuren för att lösa ekvationen $f\left(x\right)=2$ƒ (x)=2  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    M NP

    Du planerar sätta in $5\text{ }000$5 000  kronor på ett bankkonto och vill med en funktion kunna visualisera hur olika räntesatser påverkar kapitalet på kontot om du inte sätter in eller tar ut några pengar under de tio följande åren.

    Teckna en potensfunktion som beskriver hur kapitalet $y$y förändras på tio år om du får en ränta som motsvarar förändringsfaktorn $x$x kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Vilken av följande matematiska modeller är inte en potensfunktion, då $x$x är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/2/1)
    E C A
    B 1 1
    P 1 1 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    På ett äppelträd växer det ett år $30$30 äpplen. Ett år senare växer det $35$35 stycken.

    a) Hur många äpplen kommer det att växa på äppelträdet efter ytterligare $9$9 år om antalet äpplen ökar med lika många varje år?

    b) Om antalet äpplen i stället varje år skulle öka med lika många procent som under det första året, hur många äpplen kommer det då att växa efter de ytterligare $9$9 åren?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $x^{\frac{1}{2}}=9$x12 =9 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP

    Låt $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x2 och  $g\left(x\right)=x^3$g(x)=x3

    Ange för vilket värde på $x$x som $f\left(x\right)<$ƒ (x)< $g\left(x\right)$g(x).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    År 1750 var världens befolkning $750$750 miljoner.
    År 1870 var världens befolkning dubbelt så stor.

    Med hur många procent ökade befolkningen i genomsnitt per år?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Du planerar sätta in $5\text{ }000$5 000  kronor på ett bankkonto och vill med en funktion kunna visualisera hur olika räntesatser påverkar kapitalet på kontot om du inte sätter in eller tar ut några pengar under de tio följande åren.

    Vilken är den lägsta årsräntan du behöver få på kontot för att kapitalet ska ha dubblerats på tio år?

    Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (3)

  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/1)
    E C A
    B 1
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP


    Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är $37$37 % under tvåårsperioden.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Låt $f\left(x\right)=Cx^a$ƒ (x)=Cxa . Bestäm konstanterna $C$C och $a$a då  $f\left(1\right)=3$ƒ (1)=3  och  $f\left(2\right)=12$ƒ (2)=12.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP

    Genom att dra i glidarna till konstanterna $a$a och $C$C kan du se hur grafen till funktionen $y=Cx^a$y=Cxa  påverkas av konstanterna.

    Ange definitionsmängden och värdemängden för  $y=Cx^a$y=Cxa  då  $C>0$C>0 och $a$a ett heltal större än ett.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se