00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Funktioner där variabeln återfinns i basen kallas för potensfunktioner.

Potensfunktioner kan vara till hjälp när vi exempelvis ska beskriva samband mellan ett värde och en okänd förändring som upprepats ett antal gånger. 

Potensfunktioner

Vi börjar med ett exempel för att få lite koll på hur vi kan använda protesfunktioner i vardagen.

Exempel 1

Din vän har mätt hur bromssträckan påverkas av bilens hastighet vid inbromsningen på ett underlag med friktionstalet  0,80,80,8. Med dessa mätningar har man kommit fram till att bromssträckan i meter är lika med 0,0040,0040,004 multiplicerat med hastigheten i kilometer per timme i kvadrat.

a) Teckna en matematisk modell som beskriver hur bromssträckan BBB påverkas med avseende på hastigheten vvv.

b) Rita funktionen B(v)B\left(v\right)B(v) i ett koordinatsystem.

c) Beräkna hur lång bromssträckan på detta underlag blir om hastigheten är 110110110 km/h

d) Bestäm den maximala hastigheten för att bromssträckan inte ska bli längre än max 222 meter.

Lösning

a) Vi får att bromssträckan BBB förändras av hastigheten vvv enligt följande modell.

B=0,004v2B=0,004\cdot v^2B=0,004·v2

b) Vi ritar grafen med hjälp av GeoGebra. Du kan självklart göra det förhand med en värdetabell och plotta ut punkter som du sammanbinder med en graf. Men det är effektivare med ett digitalt verktyg. Du bör dock veta hur du gör det manuellt.

c) Vi beräknar bromssträckan genom att sätta in hastigheten 110110110 km/h i funktionsuttrycket.

B(110)=0,0041102=48,4B\left(110\right)=0,004\cdot110^2=48,4B(110)=0,004·1102=48,4

Vi kan även använda GeoGebra för att beräkna värdet.

Bromssträckan för hastigheten 110110110 km/h blir strax under 505050 meter.

d) Vi beräknar den maximala hastigheten genom att sätta bromssträckan B=2B=2B=2 och lösa ekvationen.

2=0,004v22=0,004\cdot v^22=0,004·v2

500=v2500=v^2500=v2

v±22v\approx\pm22v±22

Då vi söker en hastighet framåt, och inte hur snabbt man backar, använder vi den positiva lösningen.

Vi kan även välja att lösa ekvationen grafiskt, här med hjälp av GeoGebras verktyg för beräkning av skärningspunkten.

Man få köra maximalt 222222 km/h för att inte överstiga en bromssträcka på 222 meter.

Återvänd till tidigare lektioner om du vill du vill se hur du kan använda GeoGebra som verktyg för grafiska ekvationslösningar och konstruktion och beräkningar med funktioner.

Definitionen av Potensfunktioner

Vi delar in funktioner i olika undergrupper där de som ingår i en grupp har liknade egenskaper. Detta gör vi för att underlätta arbetet och förståelsen av funktioner. Samlingsnamnet för funktioner där variabel är i basen är Potensfunktioner. 

Definition

En potensfunktion skrivs på formen

 y=Cxay=C\cdot x^ay=C·xa 

där  CCC och nnaaa är konstanter.

Till denna term kan vi addera och subtrahera flera andra. Men den term som har högst exponent kommer vara dominerande och ange vilken slags potensfunktion det är vi har att göra med.

Exempel 2

Ange vilka av följande funktioner som är potensfunktioner.

A.    f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=x^2+3x+1ƒ (x)=x2+3x+1

B.    f(x)=2xf\left(x\right)=2^xƒ (x)=2x

C.   f(x)=xf\left(x\right)=\sqrt{x}ƒ (x)=x

D.   f(x)=2x1,5f\left(x\right)=2x^{1,5}ƒ (x)=2x1,5

E.   f(x)=3x5020f\left(x\right)=3x^{50}-20ƒ (x)=3x5020

Lösning

A. Funktionen  f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=x^2+3x+1ƒ (x)=x2+3x+1 är en potensfunktion av graden två, en så kallad andragradsfunktion. Då exponenten är ett icke-negativt heltal (ett naturligt tal) tillhör denna funktionen en mindre grupp inom potensfunktioner som kallas polynomfunktioner. Deras egenskaper kommer vi att studera djupare i Matematik 2 och 3.

B.  Funktionen  f(x)=2xf\left(x\right)=2^xƒ (x)=2x är en exponentialfunktion. Det ser vi eftersom att variabeln är i exponenten.

C.  Funktionen f(x)=xf\left(x\right)=\sqrt{x}ƒ (x)=x är en potensfunktion. Vi vet det eftersom att variabeln är i basen. Vi kan se det tydligare genom att skriva om den med potensregler till  f(x)=x=x0,5f\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{0,5}ƒ (x)=x=x0,5.

D.  Funktionen f(x)=2x1,5f\left(x\right)=2x^{1,5}ƒ (x)=2x1,5  är en potensfunktion, variabeln är i basen. Exponenten är inget heltal och vi har därför inget särskilt namn för den. Bra att veta dock är att vi med potensreglerna kan skriva om den som  f(x)=2x1,5=2x1+0,5=2xx0,5=2xxf\left(x\right)=2x^{1,5}=2x^{1+0,5}=2x\cdot x^{0,5}=2x\sqrt{x}ƒ (x)=2x1,5=2x1+0,5=2x·x0,5=2xx

E.  Funktionen f(x)=3x5020f\left(x\right)=3x^{50}-20ƒ (x)=3x5020  är en potensfunktion, variabeln är även här i basen. Den har största exponent 505050 vilket ger den graden 505050 och kallas därför för en femtiogradsfunktion. Även här är exponenten ett icke-negativt heltal och funktionen tillhör också undergruppen polynomfunktioner.

Grafen till en Potensfunktion

Potensfunktionerna har många olika utseende och det beror på värdet av koefficienten och exponenten. Här ritar vi graferna till funktionerna i exempel 1.

Det finns ännu fler olika utseenden på potensfunktionerna men de kollar vi på i kommande lektioner.

Polynomfunktioner

I exempel 1 såg vi att om exponenten nnn är ett icke-negativt heltal anger den graden för funktionen och alla dessa potensfunktioner går under samlingsnamnet polynomfunktioner.

I matematik 1 är den framför allt egenskaperna hos den linjära funktionen y=kx+my=kx+my=kx+m vi kommer att fördjupa oss i, medan vi i de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.

De linjära funktionerna är potensfunktioner där n=1n=1n=1, men vi skriver inte ut ettan, eftersom att x1=xx^1=xx1=x. De kan därför benämnas som förstagradsfunktioner, men vanligare är namnet ”linjära funktioner”.

Men vi kommer redan i Ma1 stöta på potensfunktioner med andra exponenter än ett. Men det handlar än så länge i första hand om att kunna beräkna olika funktionsvärden och teckna modeller med dem.

Vid tillämpning är det vanlig att variabeln i potensfunktionen motsvarar följande.

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0

xxx  motsvarar förändringsfaktorn 
aaa motsvarar ofta antalet förändringar

Vi vill igen påpeka att denna funktion har en snarlik beteckningen med exponentialfunktioner. Men med en stor skillnad: variabelns placering! Här är det basen som utgörs av en variabel, och konstanten aaa är antalet förändringar. Vilket är det motsatta i  exponentialfunktionen.

Repetition potensekvationer

I lektionen potensekvationer tittar vi på hur vi löser ut variabeln ut ekvationer med exponenter som inte är lika med ett. Vi repeterar med tre exempel här.

Exempel 3

Lös ekvationen  x=9\sqrt{x}=9x=9 

Lösning

Vi kvadrerar båda led för att få xxx-termen med exponenten  111

 x=9\sqrt{x}=9x=9 

 x=81x=81x=81 

Vi det nämligen att  x=x0,5\sqrt{x}=x^{0,5}x=x0,5  och vi får då vid kvadrering att

 (x0,5)2=x0,52=x1=x\left(x^{0,5}\right)^{^2}=x^{0,5\cdot2}=x^1=x(x0,5)2=x0,5·2=x1=x 

Exempel 4

Lös ekvationen   x5=32x^5=32x5=32 

Lösning

Vi behöver ”bli av med exponenten 555 i VL. Det blir vi genom att dra femteroten ur eller upphöja till 15\frac{1}{5}15  båda led. 

 x5=32x^5=32x5=32 

 x=325x=\sqrt[5]{32}x=532    eller    x=3215x=32^{\frac{1}{5}}x=3215  

 x=2x=2x=2  

Exempel 5

Lös ekvationen  1000x3=27 0001000x^3=27\text{ }0001000x3=27 000 

Lösning

Börja att dividera båda sidor med 100010001000 för att få potensen i VL själv.

 1000x3=27 0001000x^3=27\text{ }0001000x3=27 000     

 x3=27x^3=27x3=27 

Nu får vi svaret genom att dra tredjeroten ur eller upphöja till 13\frac{1}{3}13  båda led. 

 x=273x=\sqrt[3]{27}x=327   eller   x=2713x=27^{\frac{1}{3}}x=2713  

 x=3x=3x=3 

De två sätten att lösa potensekvationer är likvärdiga. För vi vet att följande gäller.

 xn=x1n\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}nx=x1n  

I Matematik 2 och Matematik 3 börjar vi fördjupa oss i potensfunktionernas egenskaper och grafers utseende.