...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Vad är ett polynom?

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Ett polynom är ett särskilt matematiskt uttryck . Det kan innehålla koefficienter, variabler och exponenter som alla andra matematiska uttryck. Men ändå är det lite speciellt.

polynom
För att ett matematiskt uttryck ska kallas för ett polynom måste variablerna utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de positiva heltalen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation. 

Polynom

Ett polynom är en summa av monom, där variabeln är i basen och samtliga exponenter tillhör de positiva heltalen. 

Ett monom är den enklaste formen av polynom och består endast av en term på formen  $x^n$xn där $x$x är en variabel och $n$n ett positiv heltal.

I vissa beskrivningar av polynom säger man att exponenten ska tillhöra de naturliga talen och menar då att exponenten även får vara lika med noll. Och eftersom att  $x^0=1$x0=1  och ett polynom även kan innehålla en konstant uppstår här inga problem. Lite längre ner i denna text presenterar vi en mer matematisk formulering av polynomet. Men först tittar på några matematiska uttryck för att avgöra om de är polynom eller ej. 

Exempel 1

Vilka av följande fyra uttryck är polynom?

A  $p\left(x\right)=2x^3+x-8$p(x)=2x3+x8
B   $p\left(x\right)=x^3+2x^{-5}$p(x)=x3+2x5 
C  $p\left(x\right)=\sqrt{x}$p(x)=x
D  $p\left(x\right)=$p(x)=  $\frac{1}{x^2}$1x2  

Lösning

Uttryck A innehåller endast positiva heltalsexponenter. Tänk på att $x=1\cdot x^1$x=1·x1 och att även denna variabel har en positiv heltalsexponent.

Uttryck B har en exponent som är $-5$5, alltså inte ett naturligt tal. Därför är detta uttryck inte ett polynom.

Uttryck C kan skrivas som  $p\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$p(x)=x=x12 . Därför har uttrycket en rationell exponent och är därmed inte ett polynom.

Uttryck D kan skrivas som  $p\left(x\right)=x^{-2}$p(x)=x2 . Därför har uttrycket en negativ exponent och är därmed inte ett polynom.

Polynomets grad

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För att lättare kunna ange ett polynoms karaktär och egenskaper talar man om polynomets grad. Extra användbart är de när polynomet beskriver en funktion.

Polynomets grad

Polynomets grad anges av den högsta exponenten.

Eftersom att den största exponenten i polynomet $3x^2+5x-10$3x2+5x10 är en två säger man att polynomet har graden två. På liknade vis har polynomet  $4x^5+3x^2+14$4x5+3x2+14 graden fem.

Exempel 2

Vilken grad har följande polynom?

a)  $p\left(x\right)=x+50$p(x)=x+50

b)  $p\left(x\right)=x-89x^8-5$p(x)=x89x85

Lösning

a) Detta polynom har graden $1$1 därför att  $x=x^1$x=x1.

b) Detta polynoms största exponent är $8$8, därför har det graden åtta.

Beräkna polynomets värde

När du skall beräkna ett polynoms värde så sätter du in ett värde istället för variabeln i polynomet. Det fungerar på samma sätt som när du beräknar en funktions värde.

Exempel 3

Beräkna värdet av polynomet $p\left(x\right)=x^4+x-1$p(x)=x4+x1 för
a)  $x=0$x=0
b)  $x=2$x=2

Lösning

a) Vi sätter in $x=0$x=0 i polynomet och får

$p\left(0\right)=0^4+0-1=-1$p(0)=04+01=1

b) Vi sätter in $x=2$x=2 i polynomet och får

$p\left(2\right)=2^4+2-1=16+1-1=16$p(2)=24+21=16+11=16

Polynom med matematisk beskrivning

Ovan har vi försökt att förklara vad ett polynom är. Är kommer nu hur det definieras i matematiska termer för dig som vill lära dig mer och ska läsa vidare matematik på universitetet.

Ett polynom kan definieras på allmän form. Den kan se ut så här.

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0$anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  där $n$n är ett positivt heltal och $a_i$ai  är koefficienter till polynomet.

Om alla koefficienter är reella kallas polynomet reellt. Vi kommer enbart jobba med  reella polynom i denna kurs.

Om $a_n=1$an=1 kommer polynomet endast omfatta en term och då kallas polynomet moniskt.

Polynomet  $p\left(x\right)=0$p(x)=0 som är lika med noll för alla värden på $x$x kallas för ett nollpolynom och har, uppenbarligen, alla koefficienter lika med noll. Detta polynom har en särskild roll när vi ska definiera rationella uttryck.

Matematiskt kan man definiera polynomets grad på följande vis.

Polynom där $a_n\ne0$an0  sägs vara av grad $n$n, vilket betecknas deg  $f=n$ƒ =n. Ett polynom av grad noll kallas konstant.

Som vi tidigare nämnt är alltså graden av ett polynom den största exponenten bland alla termer med koefficienter skilda från noll.

Vidare definierar man graden av nollpolynomet som $-\infty$. Detta kan verka onaturligt och konstigt, men beror på att alla olika satser som gäller för polynom även ska gälla för nollpolynomet.

Räkneregler för polynom

Polynomen följer våra vanlig räkneregler, vilket innebär att vi kan kan addera, subtrahera och multiplicera polynom enligt de prioriteringsregler som vi redan känner till. När polynom divideras kommer vi få en kvot som kallas för ett rationellt uttryck. Mer om det i kommande lektioner.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken grad har polynomet $p\left(x\right)=2x^2+10x+5$p(x)=2x2+10x+5 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande uttryck är ett polynom?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm värdet av polynomet  $p\left(x\right)=x^3-x$p(x)=x3x för $x=3$x=3.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Polynom som beskriver kostnad

    Kostnaden  $K\left(x\right)$K(x) kr för att åka med ett piratskepp på en semesterort beskrivs med polynomfunktionen

    $K\left(x\right)=1200+50x$K(x)=1200+50x där  $x$x är antalet timmar man åker med.

    Vad kostar det om man åker med $4$4 timmar?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av följande likheter är en polynomfunktion?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $p\left(x\right)=3x^2+2x$p(x)=3x2+2x och $g\left(x\right)=3x^2+3$g(x)=3x2+3 är två polynomfunktioner.

    Bestäm $x$x så att  $p\left(x\right)=g\left(x\right)$p(x)=g(x) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Kostnaden $K\left(x\right)$K(x) kronor för att hyra en bil i $x$x kilometer kan beskrivas med polynomfunktionen

     $K\left(x\right)=890+1,4x$K(x)=890+1,4x 

    Vilken är den genomsnittliga kostnaden per km för att köra bilen i $16$16 mil?

    Svara med enheten kr/km och avrunda svaret till heltal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se