Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Vad är ett polynom?
Innehåll
Ett polynom är ett särskilt matematiskt uttryck . Det kan innehålla koefficienter, variabler, exponenter och konstanter som alla andra matematiska uttryck. Men ändå är det lite speciellt.
För att ett matematiskt uttryck ska kallas för ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation.
Polynom
Ett polynom är en summa av termer på formen $ax^n$axn , där $a$a är en konstant, $x$x motsvarar variabeln och $n$n polynomets exponenter som alla måste tillhöra de naturliga talen.
Ett monom är den enklaste formen av polynom och består endast av en term $ax^n$axn.
Då exponenten ska tillhöra de naturliga talen och kan exponenten även vara lika med noll. Eftersom att $x^0=1$x0=1 får vi att $ax^0=a$ax0=a och termer där exponenten är lika med noll i ett polynom kommer visa sig som en konstant.
Lite längre ner i denna text presenterar vi en mer matematisk formulering av polynomet. Men först tittar på några matematiska uttryck för att avgöra om de är polynom eller ej.
Exempel 1
Vilka av följande fyra uttryck är polynom?
A $p\left(x\right)=2x^3+x-8$p(x)=2x3+x−8
B $p\left(x\right)=x^3+2x^{-5}$p(x)=x3+2x−5
C $p\left(x\right)=\sqrt{x}$p(x)=√x
D $p\left(x\right)=$p(x)= $\frac{1}{x^2}$1x2
Lösning
Uttryck A innehåller endast positiva heltalsexponenter. Tänk på att $x=1\cdot x^1$x=1·x1 och att även denna variabel har en positiv heltalsexponent.
Uttryck B har en exponent som är $-5$−5, alltså inte ett naturligt tal. Därför är detta uttryck inte ett polynom.
Uttryck C kan skrivas som $p\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$p(x)=√x=x12 . Därför har uttrycket en rationell exponent och är därmed inte ett polynom.
Uttryck D kan skrivas som $p\left(x\right)=x^{-2}$p(x)=x−2 . Därför har uttrycket en negativ exponent och är därmed inte ett polynom.
Polynomets grad
För att lättare kunna ange ett polynoms karaktär och egenskaper talar man om polynomets grad. Extra användbart är de när polynomet beskriver en funktion.
Polynomets grad
Polynomets grad anges av den högsta exponenten.
Eftersom att den största exponenten i polynomet $3x^2+5x-10$3x2+5x−10 är en två säger man att polynomet har graden två. På liknade vis har polynomet $4x^5+3x^2+14$4x5+3x2+14 graden fem.
Exempel 2
Vilken grad har följande polynom?
a) $p\left(x\right)=x+50$p(x)=x+50
b) $p\left(x\right)=x-89x^8-5$p(x)=x−89x8−5
Lösning
a) Detta polynom har graden $1$1 därför att $x=x^1$x=x1.
b) Detta polynoms största exponent är $8$8, därför har det graden åtta.
Beräkna polynomets värde
När du skall beräkna ett polynoms värde så sätter du in ett värde istället för variabeln i polynomet. Det fungerar på samma sätt som när du beräknar en funktions värde.
Exempel 3
Beräkna värdet av polynomet $p\left(x\right)=x^4+x-1$p(x)=x4+x−1 för
a) $x=0$x=0
b) $x=2$x=2
Lösning
a) Vi sätter in $x=0$x=0 i polynomet och får
$p\left(0\right)=0^4+0-1=-1$p(0)=04+0−1=−1
b) Vi sätter in $x=2$x=2 i polynomet och får
$p\left(2\right)=2^4+2-1=16+2-1=17$p(2)=24+2−1=16+2−1=17
Polynom med matematisk beskrivning
Ovan har vi försökt att förklara vad ett polynom är. Är kommer nu hur det definieras i matematiska termer för dig som vill lära dig mer och ska läsa vidare matematik på universitetet.
Ett polynom kan definieras på allmän form. Den kan se ut så här.
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0$anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0 där $n$n är ett positivt heltal och $a_i$ai är koefficienter till polynomet.
Om alla koefficienter är reella kallas polynomet reellt. Vi kommer enbart jobba med reella polynom i denna kurs.
Om $a_n=1$an=1 kommer polynomet endast omfatta en term och då kallas polynomet moniskt eller att det är ett monom.
Polynomet $p\left(x\right)=0$p(x)=0 som är lika med noll för alla värden på $x$x kallas för ett nollpolynom och har, uppenbarligen, alla koefficienter lika med noll. Detta polynom har en särskild roll när vi ska definiera rationella uttryck.
Matematiskt kan man definiera polynomets grad på följande vis.
Polynom där $a_n\ne0$an≠0 sägs vara av grad $n$n, vilket betecknas deg $f=n$ƒ =n. Ett polynom av grad noll kallas konstant.
Som vi tidigare nämnt är alltså graden av ett polynom den största exponenten bland alla termer med koefficienter skilda från noll.
Vidare definierar man graden av nollpolynomet som $-\infty$−∞. Detta kan verka onaturligt och konstigt, men beror på att alla olika satser som gäller för polynom även ska gälla för nollpolynomet.
Räkneregler för polynom
Polynomen följer våra vanlig räkneregler, vilket innebär att vi kan kan addera, subtrahera och multiplicera polynom enligt de prioriteringsregler som vi redan känner till. När polynom divideras kommer vi få en kvot som kallas för ett rationellt uttryck. Mer om det i kommande lektioner.
Polynomfunktionens graf
Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skissen är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.
En grundläggande minnesregel kan vara att
För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.
Exempel i videon
- Är uttrycket ett polynom? $p(x)=3x+2$
- Är uttrycket ett polynom? $p(x)=-10x^-2+2x^\frac{2}{3}$
- Är uttrycket ett polynom? $p(x)=\frac{2}{x}+x^2$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (10)
På Eddler kan upphöjt till skrivas genom att hålla nere shift och samtidigt trycka på knappen med symbolen ^. Ofta hittar du den på knappen precis till höger om Å. På vissa datorer behöver du klicka två gånger på tangenten för att ^ ska bli synlig.
Tex skriver du svaret $3x^4$3x4 som 3x^4
-
1. Premium
Vilket gradtal har polynomet $p\left(x\right)=3x^2+10x+5$p(x)=3x2+10x+5 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: polynom polynom grad polynomets gradRättar... -
-
2. Premium
Ange koefficienten till andragradstermen i uttrycket
$f\left(x\right)=5x^4+6x^3-3x^2-7$ƒ (x)=5x4+6x3−3x2−7
Rättar... -
3. Premium
Vilka av följande uttryck är ett polynom?
A. $\sqrt{x}+2$√x+2 D. $x^5+x^{-4}$x5+x−4
B. $x^2+3x$x2+3x E. $x^3+$x3+ $\frac{2}{x^4}$2x4
C. $3,5x+4$3,5x+4 F. $2x^{2,5}+7x$2x2,5+7x
Rättar... -
4. Premium
Bestäm värdet av polynomet $p\left(x\right)=x^3-x$p(x)=x3−x för $x=3$x=3.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: beräkna värdet funktionsvärde polynomRättar... -
-
5. Premium
Bestäm värdet av polynomet $p\left(x\right)=4x^2-3x$p(x)=4x2−3x för $x=-2$x=−2
Rättar... -
6. Premium
Låt $p\left(x\right)=4x-2$p(x)=4x−2 . Bestäm det värde på $x$x som ger polynomet värdet $6$6.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: funktionsvärde p(x)Rättar... -
-
7. Premium
Kostnaden $K\left(x\right)$K(x) kr för att åka med ett piratskepp på en semesterort beskrivs med polynomfunktionen
$K\left(x\right)=1200+50x$K(x)=1200+50x där $x$x är antalet timmar man åker med.
Vad kostar det om man åker med på piratskeppet i $4$4 timmar?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: polynom polynom värdeRättar... -
-
8. Premium
För polynomen $p\left(x\right)$p(x) och $q\left(x\right)$q(x) gäller att $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3−x+2.
Beräkna $p\left(x\right)+q\left(x\right)$p(x)+q(x)
Rättar... -
9. Premium
För polynomen $p\left(x\right)$p(x) och $q\left(x\right)$q(x) gäller att $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3−x+2.
Beräkna $p\left(x\right)-q\left(x\right)$p(x)−q(x)
Rättar... -
10. Premium
För polynomen $p\left(x\right)$p(x) och $q\left(x\right)$q(x) gäller att $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3−x+2.
Beräkna $p\left(x\right)\cdot q\left(x\right)$p(x)·q(x)
Rättar...
c-uppgifter (3)
-
11. Premium
Vilken av följande likheter är en polynomfunktion?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: polynom vad är ett polynomRättar... -
12. Premium
$p\left(x\right)=3x^2+2x$p(x)=3x2+2x och $g\left(x\right)=3x^2+3$g(x)=3x2+3 är två polynomfunktioner.
Bestäm $x$x så att $p\left(x\right)=g\left(x\right)$p(x)=g(x)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: polynomRättar... -
-
13. Premium
Kostnaden $K\left(x\right)$K(x) kronor för att hyra en bil i $x$x kilometer kan beskrivas med polynomfunktionen
$K\left(x\right)=890+1,4x$K(x)=890+1,4x
Vilken är den genomsnittliga kostnaden per km för att köra bilen i $16$16 mil?
Svara med enheten kr/km och avrunda svaret till heltal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Funktioner polynomRättar... -
Fengyan Dong Vuxenutbildningen ELEVRUM 2409 & 2411
Kan man säga att f(x) =5 är ett polynom?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Det är lite luddigt. Man kan säga att det är ett polynom men även att det är en polynomfunktion.
Polynom ska uppfylla villkoren:
Ett polynom är en summa av termer på formen $ax^n$, där $a$ är en konstant, $x$ motsvarar variabeln och $n$ polynomets exponenter som alla måste tillhöra de naturliga talen.
Man kan därför säga att 5 är ett polynom, där $n=0$
Robina David
Hej! På fråga 4: hade man inte också kunnat svar: p(3)=24 ?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Jo!
Jag lägger till det svarsalternativet! Tack för tips.
Danijel Milic
på fråga 3 så säger ni att C också är en polynom men 3,5 är väll ändå inte ett heltal?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Nej, men det är bara exponenterna som behöver tillhöra de hela talen. Koefficienter och konstanter kan vara decimaltal.
Tiffany Vu
På den 7:e frågan, varför står det K(160)/160, varför blir det ett bråktal? varför ska det inte bara stå K(160)= osv.. ?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Tiffany,
jag har utvecklat förklaringen något. Hoppas det hjälper dig.
$\frac{ K(160)}{160}$ motsvarar kostnaden för hela sträcka dividerat med hur långt man kört.
Nadja Fondberg
jag fick fel när jag svarade 1,5 men i facit står det att det är rätt
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Nadja,
kan det vara så att du inte angav x= i ditt svar?
När du löser en ekvation måste det alltid finnas med.
Endast Premium-användare kan kommentera.