...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 3
 /   Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Vad är ett polynom?

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Ett polynom är ett särskilt matematiskt uttryck . Det kan innehålla koefficienter, variabler, exponenter och konstanter som alla andra matematiska uttryck. Men ändå är det lite speciellt.


För att ett matematiskt uttryck ska kallas för ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation

Polynom

Ett polynom är en summa av termer på formen $ax^n$axn , där $a$a är en konstant, $x$x motsvarar variabeln och $n$n polynomets exponenter som alla måste tillhöra de naturliga talen

Ett monom är den enklaste formen av polynom och består endast av en term $ax^n$axn.

Då exponenten ska tillhöra de naturliga talen och kan exponenten även vara lika med noll. Eftersom att $x^0=1$x0=1 får vi att $ax^0=a$ax0=a och termer där exponenten är lika med noll i ett polynom kommer visa sig som en konstant.

Lite längre ner i denna text presenterar vi en mer matematisk formulering av polynomet. Men först tittar på några matematiska uttryck för att avgöra om de är polynom eller ej. 

Exempel 1

Vilka av följande fyra uttryck är polynom?

A  $p\left(x\right)=2x^3+x-8$p(x)=2x3+x8
B   $p\left(x\right)=x^3+2x^{-5}$p(x)=x3+2x5 
C  $p\left(x\right)=\sqrt{x}$p(x)=x
D  $p\left(x\right)=$p(x)=  $\frac{1}{x^2}$1x2  

Lösning

Uttryck A innehåller endast positiva heltalsexponenter. Tänk på att $x=1\cdot x^1$x=1·x1 och att även denna variabel har en positiv heltalsexponent.

Uttryck B har en exponent som är $-5$5, alltså inte ett naturligt tal. Därför är detta uttryck inte ett polynom.

Uttryck C kan skrivas som  $p\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$p(x)=x=x12 . Därför har uttrycket en rationell exponent och är därmed inte ett polynom.

Uttryck D kan skrivas som  $p\left(x\right)=x^{-2}$p(x)=x2 . Därför har uttrycket en negativ exponent och är därmed inte ett polynom.

Polynomets grad

För att lättare kunna ange ett polynoms karaktär och egenskaper talar man om polynomets grad. Extra användbart är de när polynomet beskriver en funktion.

Polynomets grad

Polynomets grad anges av den högsta exponenten.

Eftersom att den största exponenten i polynomet $3x^2+5x-10$3x2+5x10 är en två säger man att polynomet har graden två. På liknade vis har polynomet  $4x^5+3x^2+14$4x5+3x2+14 graden fem.

Exempel 2

Vilken grad har följande polynom?

a)  $p\left(x\right)=x+50$p(x)=x+50

b)  $p\left(x\right)=x-89x^8-5$p(x)=x89x85

Lösning

a) Detta polynom har graden $1$1 därför att  $x=x^1$x=x1.

b) Detta polynoms största exponent är $8$8, därför har det graden åtta.

Beräkna polynomets värde

När du skall beräkna ett polynoms värde så sätter du in ett värde istället för variabeln i polynomet. Det fungerar på samma sätt som när du beräknar en funktions värde.

Exempel 3

Beräkna värdet av polynomet $p\left(x\right)=x^4+x-1$p(x)=x4+x1 för
a)  $x=0$x=0
b)  $x=2$x=2

Lösning

a) Vi sätter in $x=0$x=0 i polynomet och får

$p\left(0\right)=0^4+0-1=-1$p(0)=04+01=1

b) Vi sätter in $x=2$x=2 i polynomet och får

 $p\left(2\right)=2^4+2-1=16+2-1=17$p(2)=24+21=16+21=17 

Polynom med matematisk beskrivning

Ovan har vi försökt att förklara vad ett polynom är. Är kommer nu hur det definieras i matematiska termer för dig som vill lära dig mer och ska läsa vidare matematik på universitetet.

Ett polynom kan definieras på allmän form. Den kan se ut så här.

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0$anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  där $n$n är ett positivt heltal och $a_i$ai  är koefficienter till polynomet.

Om alla koefficienter är reella kallas polynomet reellt. Vi kommer enbart jobba med reella polynom i denna kurs.

Om $a_n=1$an=1 kommer polynomet endast omfatta en term och då kallas polynomet moniskt eller att det är ett monom.

Polynomet  $p\left(x\right)=0$p(x)=0 som är lika med noll för alla värden på $x$x kallas för ett nollpolynom och har, uppenbarligen, alla koefficienter lika med noll. Detta polynom har en särskild roll när vi ska definiera rationella uttryck.

Matematiskt kan man definiera polynomets grad på följande vis.

Polynom där $a_n\ne0$an0  sägs vara av grad $n$n, vilket betecknas deg  $f=n$ƒ =n. Ett polynom av grad noll kallas konstant.

Som vi tidigare nämnt är alltså graden av ett polynom den största exponenten bland alla termer med koefficienter skilda från noll.

Vidare definierar man graden av nollpolynomet som $-\infty$. Detta kan verka onaturligt och konstigt, men beror på att alla olika satser som gäller för polynom även ska gälla för nollpolynomet.

Räkneregler för polynom

Polynomen följer våra vanlig räkneregler, vilket innebär att vi kan kan addera, subtrahera och multiplicera polynom enligt de prioriteringsregler som vi redan känner till. När polynom divideras kommer vi få en kvot som kallas för ett rationellt uttryck. Mer om det i kommande lektioner.

Polynomfunktionens graf

Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skissen är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

Polynomfunktioner - samanfattning

En grundläggande minnesregel kan vara att

För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.

Exempel i videon

  • Är uttrycket ett polynom?  $p(x)=3x+2$
  • Är uttrycket ett polynom?  $p(x)=-10x^-2+2x^\frac{2}{3}$
  • Är uttrycket ett polynom?  $p(x)=\frac{2}{x}+x^2$

Kommentarer

Robina David

Hej! På fråga 4: hade man inte också kunnat svar: p(3)=24 ?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Jo!

    Jag lägger till det svarsalternativet! Tack för tips.

Danijel Milic

på fråga 3 så säger ni att C också är en polynom men 3,5 är väll ändå inte ett heltal?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Nej, men det är bara exponenterna som behöver tillhöra de hela talen. Koefficienter och konstanter kan vara decimaltal.

Tiffany Vu

På den 7:e frågan, varför står det K(160)/160, varför blir det ett bråktal? varför ska det inte bara stå K(160)= osv.. ?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Tiffany,

    jag har utvecklat förklaringen något. Hoppas det hjälper dig.

    $\frac{ K(160)}{160}$ motsvarar kostnaden för hela sträcka dividerat med hur långt man kört.

Nadja Fondberg

jag fick fel när jag svarade 1,5 men i facit står det att det är rätt

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Nadja,

    kan det vara så att du inte angav x= i ditt svar?

    När du löser en ekvation måste det alltid finnas med.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (10)

  • På Eddler kan upphöjt till  skrivas genom att hålla nere shift och samtidigt trycka på knappen med symbolen ^. Ofta hittar du den på knappen precis till höger om Å. På vissa datorer behöver du klicka två gånger på tangenten för att ^ ska bli synlig.

    Tex skriver du svaret  $3x^4$3x4 som   3x^4

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket gradtal har polynomet  $p\left(x\right)=3x^2+10x+5$p(x)=3x2+10x+5 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: polynom polynom grad polynomets grad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange koefficienten till andragradstermen i uttrycket

     $f\left(x\right)=5x^4+6x^3-3x^2-7$ƒ (x)=5x4+6x33x27 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilka av följande uttryck är ett polynom?

    A.  $\sqrt{x}+2$x+2           D.   $x^5+x^{-4}$x5+x4   

    B.   $x^2+3x$x2+3x          E.   $x^3+$x3+ $\frac{2}{x^4}$2x4   

    C.  $3,5x+4$3,5x+4         F.  $2x^{2,5}+7x$2x2,5+7x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: begrepp polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm värdet av polynomet  $p\left(x\right)=x^3-x$p(x)=x3x för $x=3$x=3.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm värdet av polynomet  $p\left(x\right)=4x^2-3x$p(x)=4x23x  för $x=-2$x=2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: p(x) polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Låt  $p\left(x\right)=4x-2$p(x)=4x2 . Bestäm det värde på $x$x som ger polynomet värdet $6$6

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: funktionsvärde p(x)
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Polynom som beskriver kostnad

    Kostnaden $K\left(x\right)$K(x) kr för att åka med ett piratskepp på en semesterort beskrivs med polynomfunktionen

    $K\left(x\right)=1200+50x$K(x)=1200+50x där  $x$x är antalet timmar man åker med.

    Vad kostar det om man åker med på piratskeppet i $4$4 timmar?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: polynom polynom värde
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    För polynomen  $p\left(x\right)$p(x) och  $q\left(x\right)$q(x) gäller att  $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och  $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3x+2.

    Beräkna  $p\left(x\right)+q\left(x\right)$p(x)+q(x) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Algebra polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    För polynomen  $p\left(x\right)$p(x) och  $q\left(x\right)$q(x) gäller att  $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och  $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3x+2.

    Beräkna  $p\left(x\right)-q\left(x\right)$p(x)q(x) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Algebra polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    För polynomen  $p\left(x\right)$p(x) och  $q\left(x\right)$q(x) gäller att  $p\left(x\right)=2x^3+3x$p(x)=2x3+3x och  $q\left(x\right)=4x^3-x+2$q(x)=4x3x+2.

    Beräkna  $p\left(x\right)\cdot q\left(x\right)$p(x)·q(x) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Algebra polynom
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 11. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken av följande likheter är en polynomfunktion?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: polynom vad är ett polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

     $p\left(x\right)=3x^2+2x$p(x)=3x2+2x och $g\left(x\right)=3x^2+3$g(x)=3x2+3 är två polynomfunktioner.

    Bestäm $x$x så att  $p\left(x\right)=g\left(x\right)$p(x)=g(x) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Kostnaden $K\left(x\right)$K(x) kronor för att hyra en bil i $x$x kilometer kan beskrivas med polynomfunktionen

     $K\left(x\right)=890+1,4x$K(x)=890+1,4x 

    Vilken är den genomsnittliga kostnaden per km för att köra bilen i $16$16 mil?

    Svara med enheten kr/km och avrunda svaret till heltal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Funktioner polynom
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se