00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
/  Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Rationella uttryck

Vad är ett polynom?

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Ett polynom är ett särskilt matematiskt uttryck . Det kan innehålla koefficienter, variabler, exponenter och konstanter som alla andra matematiska uttryck. Men ändå är det lite speciellt.


För att ett matematiskt uttryck ska kallas för ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation. 

Polynom

Ett polynom är en summa av termer på formen $ax^n$axn , där $a$a är en konstant, $x$x motsvarar variabeln och $n$n polynomets exponenter som alla måste tillhöra de naturliga talen. 

Ett monom är den enklaste formen av polynom och består endast av en term $ax^n$axn.

Då exponenten ska tillhöra de naturliga talen och kan exponenten även vara lika med noll. Eftersom att $x^0=1$x0=1 får vi att $ax^0=a$ax0=a och termer där exponenten är lika med noll i ett polynom kommer visa sig som en konstant.

Lite längre ner i denna text presenterar vi en mer matematisk formulering av polynomet. Men först tittar på några matematiska uttryck för att avgöra om de är polynom eller ej. 

Exempel 1

Vilka av följande fyra uttryck är polynom?

A  $p\left(x\right)=2x^3+x-8$p(x)=2x3+x−8
B   $p\left(x\right)=x^3+2x^{-5}$p(x)=x3+2x−5 
C  $p\left(x\right)=\sqrt{x}$p(x)=√x
D  $p\left(x\right)=$p(x)=  $\frac{1}{x^2}$1x2  

Lösning

Uttryck A innehåller endast positiva heltalsexponenter. Tänk på att $x=1\cdot x^1$x=1·x1 och att även denna variabel har en positiv heltalsexponent.

Uttryck B har en exponent som är $-5$−5, alltså inte ett naturligt tal. Därför är detta uttryck inte ett polynom.

Uttryck C kan skrivas som  $p\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$p(x)=√x=x12 . Därför har uttrycket en rationell exponent och är därmed inte ett polynom.

Uttryck D kan skrivas som  $p\left(x\right)=x^{-2}$p(x)=x−2 . Därför har uttrycket en negativ exponent och är därmed inte ett polynom.

Polynomets grad

För att lättare kunna ange ett polynoms karaktär och egenskaper talar man om polynomets grad. Extra användbart är de när polynomet beskriver en funktion.

Polynomets grad

Polynomets grad anges av den högsta exponenten.

Eftersom att den största exponenten i polynomet 3x2+5x−103x^2+5x-103x2+5x−10 är en två säger man att polynomet har graden två. På liknade vis har polynomet  4x5+3x2+144x^5+3x^2+144x5+3x2+14 graden fem.

Exempel 2

Vilken grad har följande polynom?

a)  p(x)=x+50p\left(x\right)=x+50p(x)=x+50

b)  p(x)=x−89x8−5p\left(x\right)=x-89x^8-5p(x)=x−89x8−5

Lösning

a) Detta polynom har graden 111 därför att  x=x1x=x^1x=x1.

b) Detta polynoms största exponent är 888, därför har det graden åtta.

Beräkna polynomets värde

När du skall beräkna ett polynoms värde så sätter du in ett värde istället för variabeln i polynomet. Det fungerar på samma sätt som när du beräknar en funktions värde.

Exempel 3

Beräkna värdet av polynomet p(x)=x4+x−1p\left(x\right)=x^4+x-1p(x)=x4+x−1 för
a)  x=0x=0x=0
b)  x=2x=2x=2

Lösning

a) Vi sätter in x=0x=0x=0 i polynomet och får

p(0)=04+0−1=−1p\left(0\right)=0^4+0-1=-1p(0)=04+0−1=−1

b) Vi sätter in x=2x=2x=2 i polynomet och får

 p(2)=24+2−1=16+2−1=17p\left(2\right)=2^4+2-1=16+2-1=17p(2)=24+2−1=16+2−1=17 

Polynom med matematisk beskrivning

Ovan har vi försökt att förklara vad ett polynom är. Är kommer nu hur det definieras i matematiska termer för dig som vill lära dig mer och ska läsa vidare matematik på universitetet.

Ett polynom kan definieras på allmän form. Den kan se ut så här.

anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0  där nnn är ett positivt heltal och aia_iai  är koefficienter till polynomet.

Om alla koefficienter är reella kallas polynomet reellt. Vi kommer enbart jobba med reella polynom i denna kurs.

Om an=1a_n=1an=1 kommer polynomet endast omfatta en term och då kallas polynomet moniskt eller att det är ett monom.

Polynomet  p(x)=0p\left(x\right)=0p(x)=0 som är lika med noll för alla värden på xxx kallas för ett nollpolynom och har, uppenbarligen, alla koefficienter lika med noll. Detta polynom har en särskild roll när vi ska definiera rationella uttryck.

Matematiskt kan man definiera polynomets grad på följande vis.

Polynom där an≠0a_n\ne0an≠0  sägs vara av grad nnn, vilket betecknas deg  f=nf=nƒ =n. Ett polynom av grad noll kallas konstant.

Som vi tidigare nämnt är alltså graden av ett polynom den största exponenten bland alla termer med koefficienter skilda från noll.

Vidare definierar man graden av nollpolynomet som −∞-\infty−∞. Detta kan verka onaturligt och konstigt, men beror på att alla olika satser som gäller för polynom även ska gälla för nollpolynomet.

Räkneregler för polynom

Polynomen följer våra vanlig räkneregler, vilket innebär att vi kan kan addera, subtrahera och multiplicera polynom enligt de prioriteringsregler som vi redan känner till. När polynom divideras kommer vi få en kvot som kallas för ett rationellt uttryck. Mer om det i kommande lektioner.

Polynomfunktionens graf

Utifrån polynomfunktionens grad kan vi skissera grafens utseende. Skissen är grovt generaliserade, så tänk på att grafen till funktionerna varierar beroende på koefficienternas värden. Om exempelvis grafens derivata har sammanfallande rötter kan extrempunkter sammanfalla, vilket leder till att grafens utseende förändras.

Polynomfunktioner - samanfattning

En grundläggande minnesregel kan vara att

För udda gradtal börjar och slutar grafen åt olika riktning.
För jämna gradtal börjar och slutar grafen åt samma riktning.

Exempel i videon

  • Är uttrycket ett polynom?  p(x)=3x+2p(x)=3x+2
  • Är uttrycket ett polynom?  p(x)=−10x−2+2x23p(x)=-10x^-2+2x^\frac{2}{3}
  • Är uttrycket ett polynom?  p(x)=2x+x2p(x)=\frac{2}{x}+x^2
Nästa lektion: Polynomfaktorisering

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server