Name: Polynomfunktioner - Funktioner (Ma3bc) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 5 (2 reviews)

Matematik 3c

Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Derivata och deriveringsregler
Derivatan och grafen
Primitiva funktioner och integraler
Trigonometri
Sammanfattning Ma3c
- Sammanfattning Matematik 3c
Genomgångar nationella prov
Nationellt prov Ma3c VT 2022
- NP Ma3c vt 2022 Delprov B och C
- NP Ma3c vt 2022 Delprov D
Nationellt prov Ma3c HT 2015
- Nationellt prov Matematik 3c ht 2015 del B och C
- Nationellt prov Matematik 3c ht 2015 del D
Nationellt prov Ma3c VT 2016
- NP Ma3c vt 2016 Delprov D
- NP Ma3b vt 2016 Delprov D
Nationellt prov Ma3c VT 2015
Nationellt prov Ma3c HT 2014
Nationellt prov Ma3c VT 2014
Nationellt prov Ma3c HT 2013
Nationellt prov Ma3c VT 2013
Nationellt prov Ma3c HT 2012
- NP Ma3c ht 2012 Delprov B och C
- NP Ma3c ht 2012 Delprov D

Mina Kursgrupper
MV Kurser

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Andragradsfunktionen
Generell formel för andragradsfunktionen
Undersök parabelns utseende
Vertex
Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner
Exempel i videon
Kommentarer

Polynomfunktioner, deras egenskaper och karaktär, utgör en viktig byggsten i funktionsläran. I denna lektion sammanfattar vi det vi lärt oss om polynomfunktioner i tidigare kurser och drar generella slutsatser för polynomfunktioner av högre grad.

[Lektionen är under utveckling]

Andragradsfunktionen

En polynomfunktion av grad två kallas en andragradsfunktion. Själva funktionsuttrycket utgörs alltså av ett andragradspolynom. Uttrycket måste då innehålla en variabelterm av sorten $ax^2$ och inga variabeltermer med ett högre gradtal, en större exponent, än två.

Generell formel för andragradsfunktionen

Det allmänna funktionsuttrycket för andragradsfunktionen är följande.

Den generella andragradsfunktionen

$f(x) = ax^2 + bx + c$

där $a,b$ och $c$ är konstanter och där $a≠0$

Viktigt är att koefficienten framför andragradstermen, $a$ a, måste vara frånskild från noll. Annars får vi ingen andragradsfunktion, eftersom att andragradstermen ”försvinner” om $a=0$ a=0.

Återvänd till lektionen Vad är en andragradsfunktion? om du vill veta mer.

Undersök parabelns utseende

Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$ a, b och $c$ c i andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ ƒ (x)=ax²+bx+c påverkar parabeln utseende.

Visualisera Andragradsfunktioner

Ändra koefficienterna a och b och konstanten c

a = 1

b = 0

c = 0

Andragradsfunktionens formel

f(x) = ax²+bx+c = 1·x²+0·x+0

Konstanten $a$ a påverkar parabelns utseende på det sätt att den går från att för stora negativa värden på $a$ a resultera i en smal och negativ graf, till att bli bredare och bredare ju närmre värdet noll $a$ a kommer. Får små positiva värden är parabeln bred men positiv, för att sedan bli smalare och smalare igen desto större värdet på $a$ a blir.

Konstanten $b$ b förflyttar grafen i både sid och höjdled samtidigt.

Konstanten $c$ c förflyttar endast grafen i höjdled. Notera att värdet på $c$ c alltid går att läsa av i skärningspunkten mellan grafen och $y$ y-axeln.

Vertex

Vid tillämpning av matematiken är det vanligt att man vill beräkna största och minsta möjliga funktionsvärdet. Därför har de punkter som anger vart grafen vänder fått ett eget namn. Nämligen vertex.

Vertex motsvarar den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största eller minsta värde.

I grafen kan vi läsa av dessa vändpunkter.

Maximipunkt

En parabel där $a<0$ a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, har alltid en maximipunkt.

[/mvformulas]

Minsta värdet på parabeln återfinns i minimipunkten, eller minpunkten som den också kallas.

Miminipunkt

En parabel där $a>0$ a>0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, har alltid en minimipunkt.

Så genom att läsa av koefficienten framför andragradstermen kan du enkelt avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt.

I samlingsnamnet extrempunkter ingår alla vertexpunkter, då extrempunkter motsvarar just max- och minpunkter.

Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner

Andragradsekvation

$ax^2+bx+c=0$

där $a,b,c$ är konstanter och $a≠0$

Löses med pq och med nollproduktmetoden om $c=0$ c=0 och kvadratrotsmetoden om $b=0$ b=0.

Symmetrilinjens ekvation

Symmetrilinjen, den linje som går mittemellan två lika y-värden, kan beräknas på två sätt.

$x_{sym}=$ x_sym= $\frac{x_1+x_2}{2}$ x₁+x₂2 , där $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ƒ (x₁)=ƒ (x₂)

eller

$x_{sym}=$ x_sym= $-\frac{p}{2}$ −p2 där $p$ p hänvisar till pq-fomeln

Formel från nollställen och punkt

Om vi känner till två nollställen och en punkt på grafen kan vi ta fram andragradsfunktionens formel. Vi utgår då från att vi kan skriva andragradsfunktionens formel som

$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ ƒ (x)=k(x−x₁)(x−x₂)

där $x_1$ x₁ och $x_2$ x₂ är nollställenas x-värden. Konstanten $k$ k styr grafens böjning.

Exempel i videon

Andragradsfunktionens begrepp
Har graferna till följande funktioner en maximi-, eller en minimipunkt?
a) $f(x)=3x^2-x-2$
b) $f(x)=-8-x^2$
I koordinatsystemet är $f(x)=x^2-2x-8$ utritad. Ange koordinaterna för vertex.
Bestäm skärningspunkten med y-axeln för $f(x)=-10x^2-x+10$

Nästa lektion: Polynomfaktorisering

Kommentarer

Träna mer

E
0/11
C
0/12
A
0/7

Totalpoäng

0/30

e-uppgifter (5)

1.
(1/0/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K
M NP

En andragradsfunktion $f$ ƒ ges av $f\left(x\right)=3x^2+5x+7$ ƒ (x)=3x²+5x+7
Ge ett exempel på en punkt som ligger på grafen till $f$ ƒ .

Endast svar krävs.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Se förklaring
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Korrekt svar (t.ex. $(0,7)$ )

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner Vad är en andragradsfunktion
Rättar...
2.
(2/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R 1

K

Bestäm om funktionen har ett största eller minsta värde och bestäm i så fall värdet.

$f\left(x\right)=x^2-8x$ ƒ (x)=x²−8x
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Funktionens minsta värde är $f\left(4\right)=-16$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R Anger att funktionen har ett minstavärde.
+1 e_P Anger korrekt värde.(Funktionens minsta värde är $-16$ )

Rättad
Rättar...
3.
(2/0/0)
E C A

B

P 2

PL

M

R

K

Bestäm funktionens $f\left(x\right)$ ƒ (x) minsta värde. $f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x+6\right)$ ƒ (x)=(x−4)(x+6)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Funktionens minsta värde är $\left(-25\right)$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Godtagbar ansats tex tar fram symmetrilinjens ekvation.
+1 e_P Redovisad lösnig med korrekt svar. (-25)

Rättad
Se mer: Största och minsta värde
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(2/0/0)
E C A

B 2

P

PL

M

R

K
NP

För funktionen $f$ ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ ƒ (x)=x³−3x²+2 och att $f$ ƒ är definierad i intervallet $0\le$ 0≤ $x\le$ x≤ $4$ 4.

Bestäm funktionens minsta och största värde.

Svara på formen Minst $a$ a, Störst $b$ b.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Minsta värdet är $-2$ och största värdet $18$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtagbar ansats, visar insikt om vilka $x$ -värden som ska undersökas: $x=0$ , $x=2$ och $x=4$ (vid algebraisk lösning) eller $x=2$ och $x=4$ (vid grafisk lösning)
+1 e_B med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (Minsta värdet är $-2$ och största värdet är $18$ ) Kommentar: Om svaren anges i koordinatform alternativt både i korrekt form och koordinatform (t.ex. ”Största värdet är $18$ eller $(4,\text{ }18)$ ”) utdelas inte den andra E $_B$ -poängen.

Rättad
Se mer: Största och minsta värde
Rättar...
5. Premium
(2/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 2 1

K
M NP

Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ ƒ där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ ƒ (x)=ax²+bx+c och där $a$ a, $b$ b och $c$ c är konstanter.

a) Bestäm konstanten $c$ c med hjälp av figuren. Motivera.

b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ ƒ (10) är minst? Motivera.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: a) $c=8$ b) $f\left(10\right)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R a) Godtagbart enkelt resonemang som leder till godtagbart svar (t.ex. ”Grafen skär $y$ på $8$ alltså är $c=8$ ”)
+1 e_R b) Godtagbart enkelt resonemang som leder till korrekt svar.
+1 c_R b) Godtagbart välgrundat resonemang som bygger på avstånd från symmetrilinjen och som leder till korrekt svar. ( $f\left(10\right)$ )

Rättad
Se mer: Vad är en andragradsfunktion
Rättar...

c-uppgifter (5)

6. Premium
(1/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1 1

K
M

För funktionen $f$ ƒ gäller att $f\left(x\right)=4x^2-x^4+A$ ƒ (x)=4x²−x⁴+A där $A$ A är en konstant. Figuren visar grafen till funktionen $f$ ƒ då $A=0$ A=0.

a) Sabina påstår:

– Funktionen har alltid tre extrempunkter oavsett värde på konstanten $A$ A.

Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.

b) Sabina undersöker $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ ƒ (x)=4x²−x⁴ och påstår:

– Andraderivatan för $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ ƒ (‍x)=4x²−x⁴ är mindre än $10$ 10 för alla $x$ x.

Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Se förklaring.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R Godtagbart enkelt resonemang som styrker att Sabina har rätt, t.ex. resonemang baserat på argumentet att värdet hos konstanten $A$ endast påverkar grafens läge i $y$ -led.
+1 c_R Godtagbart välgrundat resonemang som styrker att Sabina har rätt, t.ex. resonemang baserat på argumentet att $y''=8-12x^2$ är maximalt $8$ eftersom termen $−12x^2$ alltid är negativ eller noll.

Rättad
Se mer: Andraderivata Polynomfunktioner
Rättar...
7. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K
M NP

För funktionen $f$ ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^2-2ax+3$ ƒ (x)=x²−2ax+3 där $a$ a är en konstant.
Bestäm $a$ a så att $f\left(-3\right)=0$ ƒ (−3)=0
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a=-2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Godtagbar ansats, tecknar ekvationen $\left(-3\right)^2-2a\cdot\left(-3\right)+3=0$
+1 c_P med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( $a=-2$ )

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...
8. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K 1

Funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=ax^2-4ax$ ƒ (x)=ax²−4ax
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f\left(2\right)=-4a$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer symlinjen.
+1 c_P redovisad lösning med korrekt svar. ( $f\left(2\right)=-4a$ )
+1 c_K Redovisningen motsvarar en kommunikation på C-nivå.

Rättad
Rättar...
9. Premium
(0/2/1)
E C A

B 2 1

P

PL

M

R

K
M NP
För funktionen f gäller:
- $f\left(-2\right)=3$ ƒ (−2)=3
- $f\left(x\right)=0$ ƒ (x)=0 för $x=4$ x=4
- Definitionsmängden är $-3\le x\le4$ −3≤x≤4
- Värdemängden är $0\le f\left(x\right)\le5$ 0≤ƒ (x)≤5
Rita en möjlig graf till funktionen $f$ ƒ i koordinatsystemet ovan.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Se förklaring
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Godtagbar ansats, skissar graf som uppfyller två av villkoren
+1 c_B med godtagbar graf som uppfyller ytterligare ett av villkoren
+1 a_B med godtagbar graf som uppfyller samtliga givna villkor.

Rättad
Se mer: Beteckningen f(x) Problemlösning Andragradsfunktioner Definitionsmängd och Värdemängd
Rättar...
10. Premium
(0/2/1)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1 1

K
M

Undersök antalet skärningspunkter mellan de två funktionerna $f\left(x\right)=x^2+k$ ƒ (x)=x²+k och $g\left(x\right)=-x^2+c$ g(x)=−x²+c med avseende på konstanterna $k$ k och $c$ c.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Funktionerna har en skärningspunkt då $k=c$ , inga skärningspunkter då $k\>c$ och två skärningspunkter då $k$ < $c$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Visar förståelse för att funktionerna har samma symmetrilinje och/eller har en minimipunkt respektive en maximipunkt.
+1 c_R Godtagbart välgrundat resonemang som leder till godtagbara beskrivningar av två av fallen.
+1 a_R Godtagbart välgrundat och nyanserat resonemang som beskriver alla tre fallen.

Rättad
Se mer: Nollställen och Symmetrilinje Problemlösning Andragradsfunktioner
Rättar...

a-uppgifter (3)

11. Premium
(1/1/1)
E C A

B 1

P

PL

M 1

R 1

K
M

Ange en andragradsfunktion som har sin minimipunkt i punkten $(0,3)$ (0,3)

Motivera ditt val av funktion.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f\left(x\right)=ax^2+3$ där $a>0$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Anger en positiv koefficient till andragradstermen.
+1 c_M Anger en korrekt modell för en andragradsfunktion med minpunkt i punkten $\left(0,3\right)$ .
+1 a_R Lösning med ett resonemang som argumenterar med säkerhet kring valet av en korrekt funktion.

Rättad
Rättar...
12. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P

PL

M

R 2

K
M NP

För två funktioner $f$ ƒ och $g$ g gäller att $f\left(x\right)$ ƒ (x) och $g\left(x\right)$ g(x). Vilka värden kan riktningskoefficienten $k$ k ha för att graferna till funktionerna $f\left(x\right)=x^2+4$ ƒ (x)=x²+4 och $g\left(x\right)=kx+2$ g(x)=kx+2 ska skära varandra två gånger?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Mindre än $-\sqrt{8}$ eller större än $\sqrt{8}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_R Godtagbar ansats, påbörjar ett godtagbart välgrundat och nyanserat resonemang genom att t.ex. teckna likheten $x^2+4=kx+2$
+1 a_R med fortsatt godtagbart välgrundat och nyanserat resonemang som leder till korrekt slutsats (”För att linjen ska skära andragradaren måste $k$ vara mindre än $-\sqrt{8}$ eller större än $\sqrt{8}$ ”)

Rättad
Se mer: Problemlösning Andragradsfunktioner Andragradsekvationer och problemlösning
Rättar...
13. Premium
(0/0/2)
E C A

B 1

P

PL 1

M

R

K
M NP

I figuren visas grafen till tredjegradsfunktionen $f$ ƒ . Använd grafen för att besvara
följande frågor.

a) Lös ekvationen $f(x)+6,5=0$ ƒ (x)+‍6,5=0.

b) För funktionen $g$ g gäller att $g(x)=f(x)+k$ g(x)=‍ƒ (x)+k där $k$ k är en positiv konstant. För vilka värden på $k$ k har ekvationen $g(x)=0$ g(x)=‍0 endast en reell lösning?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: a) $x_1\approx-2,3$ , $x_2\approx1$ , $x_3\approx2,8$ b) $k>10$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL a) Korrekt svar. ( $x_1\approx-2,3$ , $x_2\approx1$ , $x_3\approx2,8$ )
+1 a_B b) Korrekt svar. ( $k>10$ )

Rättad
Se mer: GeoGebra och Grafisk lösning
Rättar...

Nästa lektion: Polynomfaktorisering

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 3c

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3c

/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Polynomfunktioner

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Den generella andragradsfunktionen

Visualisera Andragradsfunktioner

Ändra koefficienterna a och b och konstanten c

Andragradsfunktionens formel

Maximipunkt

Miminipunkt

Andragradsekvation

Symmetrilinjens ekvation

Formel från nollställen och punkt

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...