Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3c
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Polynomfunktioner
Innehåll
Polynomfunktioner, deras egenskaper och karaktär, utgör en viktig byggsten i funktionsläran. I denna lektion sammanfattar vi det vi lärt oss om polynomfunktioner i tidigare kurser och drar generella slutsatser för polynomfunktioner av högre grad.
[Lektionen är under utveckling]
Andragradsfunktionen
En polynomfunktion av grad två kallas en andragradsfunktion. Själva funktionsuttrycket utgörs alltså av ett andragradspolynom. Uttrycket måste då innehålla en variabelterm av sorten $ax^2$ och inga variabeltermer med ett högre gradtal, en större exponent, än två.
Generell formel för andragradsfunktionen
Det allmänna funktionsuttrycket för andragradsfunktionen är följande.
Den generella andragradsfunktionen
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
där $a,b$ och $c$ är konstanter och där $a≠0$
Viktigt är att koefficienten framför andragradstermen, $a$a, måste vara frånskild från noll. Annars får vi ingen andragradsfunktion, eftersom att andragradstermen ”försvinner” om $a=0$a=0.
Återvänd till lektionen Vad är en andragradsfunktion? om du vill veta mer.
Undersök parabelns utseende
Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c påverkar parabeln utseende.
Konstanten $a$a påverkar parabelns utseende på det sätt att den går från att för stora negativa värden på $a$a resultera i en smal och negativ graf, till att bli bredare och bredare ju närmre värdet noll $a$a kommer. Får små positiva värden är parabeln bred men positiv, för att sedan bli smalare och smalare igen desto större värdet på $a$a blir.
Konstanten $b$b förflyttar grafen i både sid och höjdled samtidigt.
Konstanten $c$c förflyttar endast grafen i höjdled. Notera att värdet på $c$c alltid går att läsa av i skärningspunkten mellan grafen och $y$y-axeln.
Vertex
Vid tillämpning av matematiken är det vanligt att man vill beräkna största och minsta möjliga funktionsvärdet. Därför har de punkter som anger vart grafen vänder fått ett eget namn. Nämligen vertex.
Vertex motsvarar den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största eller minsta värde.
I grafen kan vi läsa av dessa vändpunkter.
Maximipunkt
En parabel där $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, har alltid en maximipunkt.
[/mvformulas]
Minsta värdet på parabeln återfinns i minimipunkten, eller minpunkten som den också kallas.
Miminipunkt
En parabel där $a>0$a>0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, har alltid en minimipunkt.
Så genom att läsa av koefficienten framför andragradstermen kan du enkelt avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt.
I samlingsnamnet extrempunkter ingår alla vertexpunkter, då extrempunkter motsvarar just max- och minpunkter.
Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner
Andragradsekvation
$ax^2+bx+c=0$
där $a,b,c$ är konstanter och $a≠0$
Löses med pq och med nollproduktmetoden om $c=0$c=0 och kvadratrotsmetoden om $b=0$b=0.
Symmetrilinjens ekvation
Symmetrilinjen, den linje som går mittemellan två lika y-värden, kan beräknas på två sätt.
$x_{sym}=$xsym= $\frac{x_1+x_2}{2}$x1+x22 , där $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ƒ (x1)=ƒ (x2)
eller
$x_{sym}=$xsym= $-\frac{p}{2}$−p2 där $p$p hänvisar till pq-fomeln
Formel från nollställen och punkt
Om vi känner till två nollställen och en punkt på grafen kan vi ta fram andragradsfunktionens formel. Vi utgår då från att vi kan skriva andragradsfunktionens formel som
$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=k(x−x1)(x−x2)
där $x_1$x1 och $x_2$x2 är nollställenas x-värden. Konstanten $k$k styr grafens böjning.
Exempel i videon
- Andragradsfunktionens begrepp
- Har graferna till följande funktioner en maximi-, eller en minimipunkt?
a) $f(x)=3x^2-x-2$
b) $f(x)=-8-x^2$ - I koordinatsystemet är $f(x)=x^2-2x-8$ utritad. Ange koordinaterna för vertex.
- Bestäm skärningspunkten med y-axeln för $f(x)=-10x^2-x+10$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
En andragradsfunktion $f$ƒ ges av $f\left(x\right)=3x^2+5x+7$ƒ (x)=3x2+5x+7
Ge ett exempel på en punkt som ligger på grafen till $f$ƒ .Endast svar krävs.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Problemlösning Andragradsfunktioner Vad är en andragradsfunktionLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner FunktionerRättar... -
-
2. Premium
Bestäm om funktionen har ett största eller minsta värde och bestäm i så fall värdet.
$f\left(x\right)=x^2-8x$ƒ (x)=x2−8x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
3. Premium
Bestäm funktionens $f\left(x\right)$ƒ (x) minsta värde. $f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x+6\right)$ƒ (x)=(x−4)(x+6)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner funktionsvärde nollställe symmetrilinjeRättar... -
-
4. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x3−3x2+2 och att $f$ƒ är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.
Bestäm funktionens minsta och största värde.
Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: extrempunkter funktionens värde funktionslära minsta och största värdet skissa graferRättar... -
-
5. Premium
Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c och där $a$a, $b$b och $c$c är konstanter.
a) Bestäm konstanten $c$c med hjälp av figuren. Motivera.
b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ƒ (10) är minst? Motivera.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Vad är en andragradsfunktionLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner Funktioner funktionsvärde grafer nationellt provRättar... -
c-uppgifter (5)
-
6. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=4x^2-x^4+A$ƒ (x)=4x2−x4+A där $A$A är en konstant. Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ då $A=0$A=0.
a) Sabina påstår:
– Funktionen har alltid tre extrempunkter oavsett värde på konstanten $A$A.
Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.
b) Sabina undersöker $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ƒ (x)=4x2−x4 och påstår:
– Andraderivatan för $f\left(x\right)=4x^2-x^4$ƒ (x)=4x2−x4 är mindre än $10$10 för alla $x$x.
Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Andraderivata PolynomfunktionerLiknande uppgifter: Andraderivata extrempunkter FunktionerRättar... -
-
7. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^2-2ax+3$ƒ (x)=x2−2ax+3 där $a$a är en konstant.
Bestäm $a$a så att $f\left(-3\right)=0$ƒ (−3)=0Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Problemlösning AndragradsfunktionerLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner f(x) FunktionerRättar... -
-
8. Premium
Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=ax^2-4ax$ƒ (x)=ax2−4ax
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
9. Premium
För funktionen f gäller:
- $f\left(-2\right)=3$ƒ (−2)=3
- $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 för $x=4$x=4
- Definitionsmängden är $-3\le x\le4$−3≤x≤4
- Värdemängden är $0\le f\left(x\right)\le5$0≤ƒ (x)≤5
Rita en möjlig graf till funktionen $f$ƒ i koordinatsystemet ovan.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Beteckningen f(x) Problemlösning Andragradsfunktioner Definitionsmängd och VärdemängdLiknande uppgifter: definitionsmängd Funktioner värdemängdRättar... -
10. Premium
Undersök antalet skärningspunkter mellan de två funktionerna $f\left(x\right)=x^2+k$ƒ (x)=x2+k och $g\left(x\right)=-x^2+c$g(x)=−x2+c med avseende på konstanterna $k$k och $c$c.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Nollställen och Symmetrilinje Problemlösning AndragradsfunktionerLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner Funktioner grafer nollställen parabel skärningspunkter SymmetrilinjerRättar... -
a-uppgifter (3)
-
11. Premium
Ange en andragradsfunktion som har sin minimipunkt i punkten $(0,3)$(0,3)
Motivera ditt val av funktion.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsfunktion Funktionsuttryck minimipunkt minpunkt modellering parabel vertexRättar... -
-
12. Premium
För två funktioner $f$ƒ och $g$g gäller att $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x). Vilka värden kan riktningskoefficienten $k$k ha för att graferna till funktionerna $f\left(x\right)=x^2+4$ƒ (x)=x2+4 och $g\left(x\right)=kx+2$g(x)=kx+2 ska skära varandra två gånger?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Problemlösning Andragradsfunktioner Andragradsekvationer och problemlösningLiknande uppgifter: Funktioner Olikhet reella rötter skärningspunktRättar... -
-
13. Premium
I figuren visas grafen till tredjegradsfunktionen $f$ƒ . Använd grafen för att besvara
följande frågor.
a) Lös ekvationen $f(x)+6,5=0$ƒ (x)+6,5=0.
b) För funktionen $g$g gäller att $g(x)=f(x)+k$g(x)=ƒ (x)+k där $k$k är en positiv konstant. För vilka värden på $k$k har ekvationen $g(x)=0$g(x)=0 endast en reell lösning?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: GeoGebra och Grafisk lösningLiknande uppgifter: ekvationslösning problemlösningRättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.