Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Nivå 2
/ Andragradsfunktioner
Största och minsta värde
Innehåll
Andragradsfunktionens största och minsta värde motsvarar alltid det största och minsta $y$y-värdet för funktionen. Dessa värden kallas för extremvärden.
I grafen till vänster är funktionens extremvärde ett minsta värde och hittas där $x=-2$x=−2. Vi säger att funktionens minsta värde är $y=1$y=1.
I grafen till höger är extremvärdet ett största värdet och hittas där $x=-1$x=−1 och $y=3$y=3. Vi säger att det största värdet är $y=3$y=3.
Till den vänstra funktionen finns inget definierat största värde och till den högra inget minsta värde, då funktionerna fortsätter i oändligheten uppåt respektive nedåt och det för varje angivet värde finns ännu ett större eller mindre värde. Vi säger att den vänstra funktionen saknar ett minsta värde. Den högra saknar ett största värde.
Exempel 1
Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.
Ange funktionens största och minsta värdet.
Lösning
Vi ser att grafen har en maximipunkt, vilket ger oss ett största värde.
Maximipunkten har koordinaterna $\left(-2,\text{ }3\right)$(−2, 3) så funktionens största värdet är $y=3$y=3 .
Då parabeln är öppen nedåt har vi inte något definierat minsta värde.
Största och minsta värde för Andragradsfunktioner
Detta värde hittas vanligen i andragradsfunktionens vertex, det vill säga maximi- eller minimipunkt. Det är alltså extrempunktens tillhörande $y$y-värde som motsvarar det största eller minsta värdet för andragradsfunktionen.
Funktionsvärdet $f\left(a\right)$ƒ (a) i extrempunkten $x=a$x=a kallas extremvärdet.
Eftersom symmetrilinjen alltid går genom vertex innebär det att den alltid går genom punkten på grafen som har det största eller minsta funktionsvärdet.
Vertex koordinater är alltid $\left(x_s,\text{ }f\left(x_s\right)\right)$(xs, ƒ (xs)) där $x_s$xs är symmetrilinjens ekvation och $f\left(x_s\right)$ƒ (xs) funktionens extremvärde.
Det kan vara bra att känna till att det största/minsta värdet inte alltid återfinns i vertex. Till exempel inträffar detta då funktionen är avgränsad i sin definitionsmängd eller värdemängd i ett visst intervall. Då kan ett största eller minsta värde helt saknas eller finnas i ett intervalls ändpunkt. Men mer om detta i kursen Matematik 3.
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Minimipunkt
Punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.
Maximipunkt
Punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.
Vertex
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för just andragradsfunktioner.
Extrempunkt
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för alla funktioner.
Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.
Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.
Extremvärde
Samlingsnamn för maximum eller minimum.
Exempel på att hitta största och minsta värde
Det är vanligt att vi söker funktioners extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.
Exempel 2
Bestäm största eller minsta värdet till funktionen $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$ƒ (x)=−x2+4x+5.
Lösning
Denna funktion har en maximipunkt då det är en negativ $x^2$x2-term i funktionsuttrycket.
Vi kan söka symmetrilinjens ekvation för att ta reda på $y$y -värdet i denna maximipunkt och då tar vi första reda på nollställena.
Nollställena ges av pq-formeln.
$-x^2+4x+5=0$−x2+4x+5=0 dividera båda led med $-1$−1
$x^2-4x-5=0$x2−4x−5=0 sätt in värden i PQ-formeln
$x=$x= $-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-\left(-5\right)}$−−42 ±√(−42 )2−(−5) beräkna
$x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±√4+5
$x=2\pm3$x=2±3
Vi har nollställen i $x_1=-1$x1=−1och $x_2=5$x2=5 så symmetrilinjens ekvation är $x_s=$xs=$\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=$−1+52 =42 =$2$2
Det största värdet ges av $f\left(2\right)=-2^2+4\cdot2+5=9$ƒ (2)=−22+4·2+5=9
Det största värdet är $y=9$y=9
Självklart kan vi lika gärna använda kunskapen att $x_s=$xs= $-\frac{p}{2}$−p2 där $p$p motsvarar förstagradstermens koefficient i PQ formen eller om andragradsfunktionen står på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c att $x_s=$xs= $-\frac{b}{2a}$−b2a och då slippa bestämma nollställena först för att sedan bestämma symmetrilinjen och få samma resultat. Se hur detta hänger ihop här.
Exempel i videon
- Bestäm största eller minsta värde för $f\left(x\right)=x^2-2x-8$ƒ (x)=x2−2x−8
- Bestäm största eller minsta värde för $f\left(x\right)=-x^2-4x+12$ƒ (x)=−x2−4x+12
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde.
$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$ƒ (x)=(x−1)(x−3)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde.
$f\left(x\right)=x\left(x+5\right)$ƒ (x)=x(x+5)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en maximipunkt. Bestäm funktionens största värde.
$f\left(x\right)=4+16x-x^2$ƒ (x)=4+16x−x2
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm funktionens största värde.
$f\left(x\right)=8x-2x^2$ƒ (x)=8x−2x2
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Bestäm om funktionen har ett största eller minsta värde och bestäm i så fall värdet.
$f\left(x\right)=x^2-8x$ƒ (x)=x2−8x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
a) Teckna en formel för rektangelns area $A\left(x\right)$A(x).
b) Bestäm rektangelns maximala area med hjälp av vår formel.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Problemlösning AndragradsfunktionerLiknande uppgifter: andragradsekvationer Andragradsfunktioner maximipunkt maxvärde symmetrilinjeRättar...7. Premium
Bestäm funktionens $f\left(x\right)$ƒ (x) minsta värde. $f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x+6\right)$ƒ (x)=(x−4)(x+6)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: Andragradsfunktioner funktionsvärde nollställe symmetrilinjeRättar...c-uppgifter (2)
-
8. Premium
Ett boule-kast kan beskrivas med funktionen $h\left(s\right)=-0,05s^2+0,4s+1,65$h(s)=−0,05s2+0,4s+1,65, där $h$h är kulans höjd i luften då den färdats $s$s meter horisontellt.
Hur högt upp i luften är kulan som högst?
Ange svaret med två decimalers noggrannhet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsfunktion symmetrilinjeRättar...9. Premium
Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=ax^2-4ax$ƒ (x)=ax2−4ax
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Bestäm ett generellt uttryck för funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=x^2+px+q$ƒ (x)=x2+px+q.
Träna på att genomföra uträkningen på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsfunktion minimipunkt största och minsta värdeRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
May Toutounji
Hej !
I uppgift 7 är svaret y= (-25) men när man rätta så blir det fel trots att det är samma svar i facit
Eddler
Hej May!
$y=-25$ är ett accepterat svar och bör godkännas. Om det inte gick igenom kan det bero på ett litet formateringsfel — kontrollera att det inte finns extra mellanslag. Prova annars att skriva bara $-25$.
Robina David
Hej! För alla svar innan fråga 7 – var det viktigt att svara på frågan om största eller minsta värde genom: ”y=…” men på fråga 7 så fick jg fel när jag svarade y=-25 … men rätt när jag svarade -25. Har ni missat det som rätt svar eller varför blir det så?
Eva Boström
Hej, inte att det stör mig men ser att text för minsta värdet har hoppat in i videon då ni säger att ni beräknar största värdet 16.. kan vara lite förvirrande
Samuel Gustafsson
Det är även fel på fråga 2. Symmetrilinjen går genom -2,5.
Samuel Gustafsson
Fråga 6 är fel. Det ska vara -4a.
Miranda Kokk Andersson
Som tidigare kommentar påpekat så är ju svaret på fråga nummer 5 fel, ska vara minsta värde, inte största.
Mohamad Said Ammar
Jag försökte svara på uppgift 7 på så många olika sätt men det blir aldrig rätt, problemet är att det är svårt att skriva uttryck på datorn. kan nån hjälpa till?
Jesper Westin
Uppgift 5 är fel. Jag svarade ”Funktionens minsta värde är −16” men fick fel. Tydligen ska det vara ”största värde” men det är fel.
Endast Premium-användare kan kommentera.