Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivatan och grafen
Minsta och Största värde
Innehåll
När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största $y$y-värdet funktionen antal i ett visst intervall.
Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.
Var återfinns det minsta och största värdet i en funktion?
Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av
- intervallets ändpunkter.
- extrempunkterna i intervallet.
- punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar
Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna.
Exempel 1
Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i intervallet $-1\le$−1≤ $x<5$x<5
a) Ange största värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
b) Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
Lösning
a) Det största värden är de samma som det största $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
I detta intervall så har vi det största värdet där i den lokala extrempunkten $x=3$x=3 och värdet är där $y=5$y=5.
b) Eftersom $x=5$x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar mista värde i området vid $x=5$x=5 säger man att ett minsta värde saknas.
Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.
Exempel 2
Figuren nedan visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| i intervallet $-3\le x$−3≤x $\le3$≤3 .
Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x).
Lösning
Det minsta värden är de samma som det minsta $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
Funktionen är inte deriverbar i $x=0$x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.
Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.
Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.
Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.
Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är $-0-$−0− eller $+0+$+0+.
Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.
Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.
Extremvärde
Samlingsnamn på maximum eller minimum.
Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global
Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden
Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden
Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd.
De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.
Exempel i videon
- Funktionen $ f(x)=x^2-x $ är utritad i intervallet $ -0,5≤x≤2,7 $. Bestäm minsta och största värde.
- Bestäm minsta och största värde för funktionen $f(x)=2x^3-3x^2$ i intervallet $0≤x≤2$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Ange det största värdet för funktionen med grafen nedan.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...2. Premium
Ange det minsta värdet för funktionen med grafen nedan.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...3. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange de punkter som är lokala minimipunkter.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extrempunkter lokala minimipunkter Minsta och Största värdeRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Grafen nedan tillhör funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Är det sant att $f(6)$ƒ (6) ger funktionens minsta värde i intervallen $0\le x\le6$0≤x≤6?
Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast Ja eller Nej.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Ange lösningen till ekvationen $f'(x)=0$ƒ '(x)=0
Träna på att skriva en motivering till ditt svar.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x3−3x2+2 och att $f$ƒ är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.
Bestäm funktionens minsta och största värde.
Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: extrempunkter funktionens värde funktionslära minsta och största värdet skissa graferRättar...7. Premium
Ange funktionen $f(x)=-3x^2-6x$ƒ (x)=−3x2−6x minsta värde i intervallet $-5\le x\le0$−5≤x≤0.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Ange det största värdet för funktionen $f(x)=x-2x^2+2$ƒ (x)=x−2x2+2 i intervallet där $0\le x\le1$0≤x≤1.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Ange funktionen $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12x−x3 största värde i intervallet $-3\le$−3≤$x\le4$x≤4.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (1)
-
10. Premium
Ange funktionen $f(x)=(1-x)(x^2+4x+4)$ƒ (x)=(1−x)(x2+4x+4) största värde i intervallet $-3\le x\le1$−3≤x≤1.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Anonym
Borde inte f(1/4) bli 2? Jag får det till f(1/4) = (1/4)-2*(1/4)^(2)+2 = (1/4)-(2/8)+2 = (1/4)-(1/4)+2 = 0+2 = 2
För två gånger (1/4)^(2) Är väll samma sak som två gånger 1/8 vilket borde bli 2/8 som är samma sak som 1/4 vilket borde göra att bråket tar ut varandra och kvar blir 2?
Mvh Axel
Krystyna Kalinchuk - Elev Vuxenutbildningen Karlskrona
Hej igen!
En fråga till, i uppgiften 2 skulle inte minsta värde saknas om den ändpunkten till höger inte ingår i grafen?
Tack:)
Krystyna Kalinchuk - Elev Vuxenutbildningen Karlskrona
Hej!
Jag undrar varför är punkten A inte ett lokalt extremtpunkt (lokalt minimipunkt att vara exakt) i Exempel 3a?
Ina-marie Åberg
hej!hur skulle du lösa denna?
bestäm största och minsta värde av: f(x)=x^4-4x^3/3-12x+1
tack på förhand/ Ina
maggix
Hej! En snabb fråga angående fråga 2.
Jag har lärt mig nån gång att när cirkeln inte är fylld (som y=2 i det här fallet) så betyder det t.ex. x>-1 och om den är fylld betyder det x≥-1. Borde inte det betyda att det största y värdet skulle vara Y≈1.999?
eller hur funkar ändpunkter?
Frågan blev lite luddig hoppas du förstår.
maggix
Oki! tack för snabbt svar!
en till fråga så jag verkligen förstår. Om ändpunkten åt höger skulle sluta Y<0 skulle man då räkna terrasspunkten som max? Eller va är regeln för att man får börja räkna ett värde i intervall som saknar ändpunkt?
Lava
Tack så jätte mycket för hjälpen Simon.
Lava
Hej
Kan någon hjälpa mig med denna uppgiften.
Beräkna det största och minsta värde som funktionen
f(x)= 2x^2+3x-4 antar i intervallet -2 <x< 0.
Är väldig tacksam om någon kunde hjälpa mig.
Camilla Larsson
Oj skrev ett litet fel i min frågeställning:
För vilket värde på p gäller att f' (-2)=5?
😉
Camilla Larsson
Hej
Läser Matematik 3b på distans och är så tacksam att denna sida finns :-).
Undrar om jag kan få hjälp med följande uträkning?
f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + px
För vilket värde på på gäller att f'(-2) =5?
Tack på förhand 🙂
Joel Olsson
Fråga 2 har två alternativ med "Största: 1,56, Minsta: -4,4". Ska det verkligen vara så?
nti_ma3
Funktionen F(x) = x^3 - 6x^2 + 5 är definierad för -1 < x </= 5. beräkna funktionens största och minsta värde.
först deriverar jag så jag får 3x^2 - 12x
sen delar jag upp det så jag får 3x(x-4) då får jag x1 = 0 och x2 = 4. sen sätter jag in 4 i funktionen och får -27 som är den minsta punkten. hur får jag ut den största punkten?
jens_carlsson
Förklaring
Det minsta värdet är det minsta y - värdet vilket i det här fallet är cirka -4,4. Det största värdet är cirka 1,56 då intervallet inkluderar denna ändpunkt men inte inkluderar ändpunkter där y = 2.
Jag förstår inte riktigt detta. Det finns ju inget intervall angivet?
Endast Premium-användare kan kommentera.