Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Derivatan och grafen
Minsta och Största värde
Innehåll
När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största $y$y-värdet funktionen antal i ett visst intervall.
Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.
Var återfinns det minsta och största värdet i en funktion?
Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av
- intervallets ändpunkter.
- extrempunkterna i intervallet.
- punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar
Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna.
Exempel 1
Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i intervallet $-1\le$−1≤ $x<5$x<5
a) Ange största värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
b) Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
Lösning
a) Det största värden är de samma som det största $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
I detta intervall så har vi det största värdet där i den lokala extrempunkten $x=3$x=3 och värdet är där $y=5$y=5.
b) Eftersom $x=5$x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar mista värde i området vid $x=5$x=5 säger man att ett minsta värde saknas.
Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.
Exempel 2
Figuren nedan visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| i intervallet $-3\le x$−3≤x $\le3$≤3 .
Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x).
Lösning
Det minsta värden är de samma som det minsta $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
Funktionen är inte deriverbar i $x=0$x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.
Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.
Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.
Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.
Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är $-0-$−0− eller $+0+$+0+.
Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.
Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.
Extremvärde
Samlingsnamn på maximum eller minimum.
Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global
Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden
Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden
Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd.
De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.
Exempel i videon
- Funktionen $ f(x)=x^2-x $ är utritad i intervallet $ -0,5≤x≤2,7 $. Bestäm minsta och största värde.
- Bestäm minsta och största värde för funktionen $f(x)=2x^3-3x^2$ i intervallet $0≤x≤2$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Ange det största värdet för funktionen med grafen nedan.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...2. Premium
Ange det minsta värdet för funktionen med grafen nedan.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...3. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange de punkter som är lokala minimipunkter.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extrempunkter lokala minimipunkter Minsta och Största värdeRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Grafen nedan tillhör funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Är det sant att $f(6)$ƒ (6) ger funktionens minsta värde i intervallen $0\le x\le6$0≤x≤6?
Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Ange lösningen till ekvationen $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0
Träna på att skriva en motivering till ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x3−3x2+2 och att $f$ƒ är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.
Bestäm funktionens minsta och största värde.
Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: extrempunkter funktionens värde funktionslära minsta och största värdet skissa graferRättar...7. Premium
Ange funktionen $f(x)=-3x^2-6x$ƒ (x)=−3x2−6x minsta värde i intervallet $-5\le x\le0$−5≤x≤0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Ange det största värdet för funktionen $f(x)=x-2x^2+2$ƒ (x)=x−2x2+2 i intervallet där $0\le x\le1$0≤x≤1.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Ange funktionen $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12x−x3 största värde i intervallet $-3\le$−3≤$x\le4$x≤4.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (1)
-
10. Premium
Ange funktionen $f(x)=(1-x)(x^2+4x+4)$ƒ (x)=(1−x)(x2+4x+4) största värde i intervallet $-3\le x\le1$−3≤x≤1.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Axel Göransson
Borde inte f(1/4) bli 2? Jag får det till f(1/4) = (1/4)-2*(1/4)^(2)+2 = (1/4)-(2/8)+2 = (1/4)-(1/4)+2 = 0+2 = 2
För två gånger (1/4)^(2) Är väll samma sak som två gånger 1/8 vilket borde bli 2/8 som är samma sak som 1/4 vilket borde göra att bråket tar ut varandra och kvar blir 2?
Mvh Axel
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Axel,
$2\cdot (\frac14)^2=2\cdot (\frac{1^2}{4^2})=$$2\cdot \frac{1}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
Så uppgiften var korrekt räknad från början.
Lycka till med matten.
Krystyna Kalinchuk - Elev Vuxenutbildningen Karlskrona
Hej igen!
En fråga till, i uppgiften 2 skulle inte minsta värde saknas om den ändpunkten till höger inte ingår i grafen?
Tack:)
David Admin (Moderator)
Hej,
”Minsta värde” motsvarar $y$-värdet. Och vi har en minimipunkt som ger ett lokalt minimivärde. I detta fallet så är denna lokala minimipunkt även det globala minimivärdet. Punkten ingår i funktionen då den ligger på grafen och därför är det minsta värdet noll. (punkten i origo)
Det stämmer att punkten till höger inte ingår i grafen, men de motsvarar inte heller minimivärdet på funktionen.
Krystyna Kalinchuk - Elev Vuxenutbildningen Karlskrona
Hej!
Jag undrar varför är punkten A inte ett lokalt extremtpunkt (lokalt minimipunkt att vara exakt) i Exempel 3a?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
det beror på att en extrempunkt är et stationär punkt, alltså en punkt där derivatan är lika med noll.
Det är de inte i denna punkt. Däremot ger A ett lokalt minivärde. Men A är inte en extrempunkt.
Ina-marie Åberg
hej!hur skulle du lösa denna?
bestäm största och minsta värde av: f(x)=x^4-4x^3/3-12x+1
tack på förhand/ Ina
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ett sätt att lösa den är att rita ut grafen och på det viset förhoppningsvis se alla extrempunkter och vilken som är det största eller minsta värdet. Annars är det säkrare att derivera funktionen och söka när derivatan är 0. Säg till om du vill fortsätta att diskutera uppgiften.
maggix
Hej! En snabb fråga angående fråga 2.
Jag har lärt mig nån gång att när cirkeln inte är fylld (som y=2 i det här fallet) så betyder det t.ex. x>-1 och om den är fylld betyder det x≥-1. Borde inte det betyda att det största y värdet skulle vara Y≈1.999?
eller hur funkar ändpunkter?
Frågan blev lite luddig hoppas du förstår.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja man tycker ju att det största värdet borde vara där men då det inte är en extrempunkt eller en ändpunkt som ingår i intervallet kan man inte säga att det är det största värdet.
Det här beror på att du kan gå ”oändligt nära” 2 och du kan aldrig bestämma ett värde på detta.
maggix
Oki! tack för snabbt svar!
en till fråga så jag verkligen förstår. Om ändpunkten åt höger skulle sluta Y<0 skulle man då räkna terrasspunkten som max? Eller va är regeln för att man får börja räkna ett värde i intervall som saknar ändpunkt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja då skulle inte heller den punkten ingå i intervallet och du får ange extrempunkten som maximipunkt.
Lava
Tack så jätte mycket för hjälpen Simon.
Lava
Hej
Kan någon hjälpa mig med denna uppgiften.
Beräkna det största och minsta värde som funktionen
f(x)= 2x^2+3x-4 antar i intervallet -2 <x< 0.
Är väldig tacksam om någon kunde hjälpa mig.
Simon Rybrand (Moderator)
Du hittar det minsta värdet i x = -0,75. Du hittar det genom att derivera
$f´(x) = 4x+3$
och lösa ekvationen
$ 4x+3=0 ⇔ $
$ x=-3/4=-0,75 $
Du har inget största värde då du har intervallet -2
Camilla Larsson
Oj skrev ett litet fel i min frågeställning:
För vilket värde på p gäller att f’ (-2)=5?
😉
Simon Rybrand (Moderator)
Börja med att derivera funktionen
$f'(x) = 4x^3+3x^2+2x+p $
Nu kan du sätta in värdena från $ f'(-2) = 5$ så att du får ekvationen
$ 4⋅(-2)^3+3⋅(-2)^2+2⋅(-2)+p = 5$
och lösa denna ekvationen, hoppas att detta hjälper dig en bit på vägen!
Camilla Larsson
Hej
Läser Matematik 3b på distans och är så tacksam att denna sida finns :-).
Undrar om jag kan få hjälp med följande uträkning?
f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + px
För vilket värde på på gäller att f'(-2) =5?
Tack på förhand 🙂
Joel Olsson
Fråga 2 har två alternativ med ”Största: 1,56, Minsta: -4,4”. Ska det verkligen vara så?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej så skall det inte vara, det är korrigerat.
nti_ma3
Funktionen F(x) = x^3 – 6x^2 + 5 är definierad för -1 < x </= 5. beräkna funktionens största och minsta värde.
först deriverar jag så jag får 3x^2 – 12x
sen delar jag upp det så jag får 3x(x-4) då får jag x1 = 0 och x2 = 4. sen sätter jag in 4 i funktionen och får -27 som är den minsta punkten. hur får jag ut den största punkten?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du får jämföra värdet på f(0) samt intervallets ändpunkt, dvs där x = 5 och du får ta reda på värdet på f(5). Det största av dessa värden är funktionens största värde.
jens_carlsson
Förklaring
Det minsta värdet är det minsta y – värdet vilket i det här fallet är cirka -4,4. Det största värdet är cirka 1,56 då intervallet inkluderar denna ändpunkt men inte inkluderar ändpunkter där y = 2.
Jag förstår inte riktigt detta. Det finns ju inget intervall angivet?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du får kika på slutpunkterna på grafen.
Är det ett en ifylld punkt a är det en intervallgräns som ingår i intervallet. Är det bara en cirkel så ingår inte punkten i intervallet.
Intervallet i den uppgiften är
-1 < x ≤ 2,5
Endast Premium-användare kan kommentera.