...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivatan och grafen

Minsta och Största värde

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

När man talar om det största eller minsta värdet för en funktion söker man det största eller minsta $y$y-värdet för funktionen.

Största och minsta värde

Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.

Var  återfinns det minsta och största värdet i en funktion?

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter.

  • I någon av intervallets ändpunkter.
  • I någon av extrempunkterna i intervallet. 
  • I punkter i intervallet där funktionen inte är deriverbar

Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna.

Exempel 1

Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  i intervallet  $-1\le$1 $x<5$x<5 

a) Ange största värdet för  $f\left(x\right)$ƒ (x)  i intervallet.

b) Ange minsta värdet för  $f\left(x\right)$ƒ (x)  i intervallet.

Extremvärden

Lösning

a) Det största värden är de samma som det största $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.

I detta intervall så har vi det största värdet där i den lokala extrempunkten $x=3$x=3  och värdet är där  $y=5$y=5

b) Eftersom  $x=5$x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar mista värde i området vid  $x=5$x=5 säger man att ett minsta värde saknas

Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.

Exempel 2

Figuren nedan visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| i intervallet  $-3\le x$3x $\le3$3 . 

Ange minsta värdet för  $f\left(x\right)$ƒ (x).

Graf till ett Absolutbelopp

Lösning

Det minsta värden är de samma som det minsta $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.

Funktionen är inte deriverbar i  $x=0$x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.

Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.

Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är  $-0-$0  eller  $+0+$+0+.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde
Samlingsnamn på maximum eller minimum.

Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global

Lokal 
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden

Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden

Exempel 3

Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i intervallet   $a\le$a$x<$x< $g$g .  

a) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en lokalt extrempunkt.
b) Ange extrempunkternas karaktär.
c) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en global extrempunkt.
d) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en terrasspunkt.
e) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har ett lokalt extremvärde.
f) Ange i vilken punkt funktionen har sina globala extremvärden.

Extremvärden

Lösning

a) En stationär punkt, alltså en punkt där derivatan är lika med noll, och funktionen inte antar några större värden i området kring punkten kallas för en extrempunkt. Vi på minner om att extrempunkter till funktionen är definierade $x$x -värden. I denna uppgift är det punkterna  $x=b$x=b,  $x=d$x=d,  $x=e$x=e  och  $x=f$x=ƒ   som är extrempunkter. De motsvarar punkterna B, D, E och F på grafen.

b) Att ange extrempunkternas karaktär innebär att bestämma om de är en maximi- eller minimipunkt.

Punkt $x=d$x=d och $x=f$x=ƒ   är lokala minimipunkter medan punkt $x=b$x=b  och $x=e$x=e är lokala maximipunkter.

c) En global extrempunkt är de maximi eller minimipunkter som har störst/minst värde av alla extrempunkter i intervallet. I vår uppgift är det  $x=b$x=b  som är den globala maximipunkten och  $x=d$x=d  som är den globala minimipunkten.

d) I en terrasspunkt är derivatans teckenväxling i området nära punkten $-0-$0 eller  $+0+$+0+. Vi har en sådan punkt i  $x=c$x=c , där teckenväxlingen ger att derivatan är negativ innan terrasspunkten, för att bli lika med noll i terrasspunkten och sedan negativ igen.

e) Ett lokalt extremvärde är det funktionsvärde där funktionen inte antar några mindre/större värden i närheten. Grafiskt motsvarar funktionsvärden $y$y -värden för punkter på grafen. Och i vår uppgift finns lokala extremvärden i punkterna A, B, D, E och F på grafen. Det ser ut att även finnas ett extremvärde i G, men då $x=g$x=g inte ingår i intervallet för funktionen saknar funktionen ett värde i den punkten. 

I punkt A är extremvärdet $f\left(a\right)$ƒ (a). I punkt B är extremvärdet  $f\left(b\right)$ƒ (b) och så vidare. Vi alltså lokala extremvärden för alla markerade punkter på grafen utom för C och G.

f) Det globala extremvärdet kallas även för största och minsta värdet.

Största och minsta värde

Vi ser att vi har minsta värde $f\left(d\right)$ƒ (d) i punkten F på grafen. Största värdet  $f\left(g\right)$ƒ (g)  skulle finnas i punkten G på grafen, men då  $x=g$x=g  inte ingår i intervallet $a\le$a $x<$x<$g$g anger vi att ett största värde för funktionen saknas.

Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd. 

De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.

Exempel i videon

  • Funktionen $ f(x)=x^2-x $ är utritad i intervallet $ -0,5≤x≤2,7  $. Bestäm minsta och största värde.
  • Bestäm minsta och största värde för funktionen $f(x)=2x^3-3x^2$ i intervallet $0≤x≤2$.

Kommentarer

Ina-marie Åberg

hej!hur skulle du lösa denna?

bestäm största och minsta värde av: f(x)=x^4-4x^3/3-12x+1

tack på förhand/ Ina

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ett sätt att lösa den är att rita ut grafen och på det viset förhoppningsvis se alla extrempunkter och vilken som är det största eller minsta värdet. Annars är det säkrare att derivera funktionen och söka när derivatan är 0. Säg till om du vill fortsätta att diskutera uppgiften.

maggix

Hej! En snabb fråga angående fråga 2.
Jag har lärt mig nån gång att när cirkeln inte är fylld (som y=2 i det här fallet) så betyder det t.ex. x>-1 och om den är fylld betyder det x≥-1. Borde inte det betyda att det största y värdet skulle vara Y≈1.999?
eller hur funkar ändpunkter?

Frågan blev lite luddig hoppas du förstår.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja man tycker ju att det största värdet borde vara där men då det inte är en extrempunkt eller en ändpunkt som ingår i intervallet kan man inte säga att det är det största värdet.
    Det här beror på att du kan gå ”oändligt nära” 2 och du kan aldrig bestämma ett värde på detta.

      maggix

      Oki! tack för snabbt svar!

      en till fråga så jag verkligen förstår. Om ändpunkten åt höger skulle sluta Y<0 skulle man då räkna terrasspunkten som max? Eller va är regeln för att man får börja räkna ett värde i intervall som saknar ändpunkt?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, ja då skulle inte heller den punkten ingå i intervallet och du får ange extrempunkten som maximipunkt.

Lava

Tack så jätte mycket för hjälpen Simon.

Lava

Hej
Kan någon hjälpa mig med denna uppgiften.
Beräkna det största och minsta värde som funktionen
f(x)= 2x^2+3x-4 antar i intervallet -2 <x< 0.

Är väldig tacksam om någon kunde hjälpa mig.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du hittar det minsta värdet i x = -0,75. Du hittar det genom att derivera
    $f´(x) = 4x+3$
    och lösa ekvationen
    $ 4x+3=0 ⇔ $
    $ x=-3/4=-0,75 $

    Du har inget största värde då du har intervallet -2

Camilla Larsson

Oj skrev ett litet fel i min frågeställning:
För vilket värde på p gäller att f’ (-2)=5?

😉

    Simon Rybrand (Moderator)

    Börja med att derivera funktionen
    $f'(x) = 4x^3+3x^2+2x+p $
    Nu kan du sätta in värdena från $ f'(-2) = 5$ så att du får ekvationen
    $ 4⋅(-2)^3+3⋅(-2)^2+2⋅(-2)+p = 5$
    och lösa denna ekvationen, hoppas att detta hjälper dig en bit på vägen!

Camilla Larsson

Hej
Läser Matematik 3b på distans och är så tacksam att denna sida finns :-).
Undrar om jag kan få hjälp med följande uträkning?

f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + px
För vilket värde på på gäller att f'(-2) =5?

Tack på förhand 🙂

Joel Olsson

Fråga 2 har två alternativ med ”Största: 1,56, Minsta: -4,4”. Ska det verkligen vara så?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej så skall det inte vara, det är korrigerat.

nti_ma3

Funktionen F(x) = x^3 – 6x^2 + 5 är definierad för -1 < x </= 5. beräkna funktionens största och minsta värde.
först deriverar jag så jag får 3x^2 – 12x
sen delar jag upp det så jag får 3x(x-4) då får jag x1 = 0 och x2 = 4. sen sätter jag in 4 i funktionen och får -27 som är den minsta punkten. hur får jag ut den största punkten?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du får jämföra värdet på f(0) samt intervallets ändpunkt, dvs där x = 5 och du får ta reda på värdet på f(5). Det största av dessa värden är funktionens största värde.

jens_carlsson

Förklaring
Det minsta värdet är det minsta y – värdet vilket i det här fallet är cirka -4,4. Det största värdet är cirka 1,56 då intervallet inkluderar denna ändpunkt men inte inkluderar ändpunkter där y = 2.

Jag förstår inte riktigt detta. Det finns ju inget intervall angivet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du får kika på slutpunkterna på grafen.
    Är det ett en ifylld punkt a är det en intervallgräns som ingår i intervallet. Är det bara en cirkel så ingår inte punkten i intervallet.

    Intervallet i den uppgiften är
    -1 < x ≤ 2,5


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange det största värdet för funktionen med grafen nedan.

    Graf till tredjegradsfunktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange det minsta värdet för funktionen med grafen nedan.

    Graf till tredjegradsfunktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange de punkter där funktionen antar lokala extremvärden.

    Extremvärden

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange den punkt där funktionen antar sin globala minimipunkt.

    Extremvärden

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Grafen nedan tillhör funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x)

    Är det sant att $f(6)$ƒ (6) ger funktionens minsta värde i intervallen $0\le x\le6$0x6?

    Polynomfunktion graf

    Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange lösningen till ekvationen  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0 

    Kurvan till en tredjegradsfunktion

    Träna på att skriva en motivering till ditt svar.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B2
    P
    PL
    M
    R
    K

    För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x33x2+2 och att $f$ƒ  är definierad i intervallet $0\le$0 $x\le$x $4$4.

    Bestäm funktionens minsta och största värde.

    Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.

    (NP vt13)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange funktionen  $f(x)=-3x^2-6x$ƒ (x)=3x26x  minsta värde i intervallet  $-5\le x\le0$5x0.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange det största värdet för funktionen $f(x)=x-2x^2+2$ƒ (x)=x2x2+2  i intervallet där  $0\le x\le1$0x1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B2
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange funktionen  $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12xx3 största värde i intervallet  $-3\le$3$x\le4$x4.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Ange funktionen  $f(x)=(1-x)(x^2+4x+4)$ƒ (x)=(1x)(x2+4x+4) största värde i intervallet  $-3\le x\le1$3x1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se