Växande och avtagande funktioner

Genom att studera hur grafens $y$y-värden förändras när $x$x -värdena ökar, kan vi avgöra om grafen är växande eller avtagande i ett intervall.

Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här.

En funktion är växande då större $x$x -värden även ger att funktionens $y$y-värde ökar. Grafiskt ”stiger” grafen.
En funktion är avtagande då större $x$x -värde istället ger att funktionens $y$y-värde minskar. Grafiskt ”sjunker” grafen.

Mer exakt definierar vi detta som att

En funktion som är växande eller avtagande i hela sin definitionsmängd kallas monoton. Exempelvis är alla exponentialfunktioner monotona.

När vi talar och växande och avtagande funktioner göra vi det alltid, per definition, över ett intervall. Vi kan bestämma derivatans tecken i en viss punkt, men säger inte att funktionen är växande i punkten, utan i omgivningen av eller intervallet kring punkten $x=a$x=a.

Då derivatan även definieras som tangentens lutning i en punkt, kan vi med hjälp av tangenters lutning avgöra om derivatan är positiv eller negativ.

Nu ett exempel för att förtydliga vad som menas.

Med derivatans hjälp kan vi bestämma hur funktionen förändras i olika punkter. Vi får följande samband mellan derivatan och funktionens förändring.

Det medför att tangentens lutning, eller $k$k-värde, har samma värde som förändringshastigheten i punkten, eller man andra ord, derivatans värde.

Funktionen ovan är växande i de delar av grafen som är markerade med blått. I de delar som är markerade med rött i grafen är funktionen avtagande. I punkterna där derivatan är lika med noll,  $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0, är funktionen både växande och avtagande.

Följden av definitionerna ovan är att en konstant funktion,  $f\left(x\right)=C$ƒ (x)=C, både är växande och avtagande i hela sin definitionsmängd.

I kurser på universitetet skiljer man mellan att en funktion är växande/avtagande eller sträng växande/avtagande. Om en funktion är stängt växande/avtagande måste funktionsvärdet öka/minska mellan två intill liggande funktionsvärden. Funktionsvärdet får alltså inte varar densamma för två intilliggande $x$x-värden. Vi tittar på ett exempel.

Funktionen har ökande funktionsvärden för  $x<$x< $a$a och $x>b$x>b men i intervallet  $a<$a< $x<$x< $b$b är funktionen konstant. Så en funktion kan sägas vara växande, även om den är konstant i något intervall, men inte strängt växande.

Man kan beskriva hur en graf ser ut på ett visst intervall men begreppen konvex och konkav. Man menar då följande.

I denna kursen kommer vi titta lite extra på den inflexionspunkt som kallas för terrasspunkt. Inflexionspunkten i figuren ovan är ingen terrasspunkt.

En terrasspunkt är en punkt som är både en inflexionspunkt och en stationär punkt. Alltså en punkt med egenskapen att både första och andraderivatan är lika med noll i punkten.

Det leder till att för inflexionspunkter $x=a$x=a , och därmed även i terrasspunkter, har förstaderivatan en extrempunkt.

I punkten där funktionen går från att ha varit växande till att bli avtagande eller tvärt om, så har funktionen en så kallad extrempunkt. Det är den punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar. Förändringen i punkten är noll.

Extrempunkt är ett samlingsnamn för vetrex, alltså minimi- och maximipunkter. De är som vi tidigare nämnt, så kallade stationära punkter. Det vill säga punkter  $x=a$x=a  där derivatan antar värdet noll.

Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkterna. Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen  $+0+$+0+ alternativ  $-0-$−0−. Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

För att ange ett intervall kan man även använda följande skrivsätt.

I ett öppet intervall ingår inte punkterna $a$a och $b$b i intervallet till skillnad från i ett slutet intervall. Skrivsätten kan kombineras för att beskriva halvöppna intervall, som exempelvis  $a<$a< $x\le b$x≤b  som då skriv som ( $a,\text{ }b$a, b ].

Vi nämnde i en tidigare lektion att för att kunna ange derivatan i en specifik punkt i funktionen måste den vara kontinuerlig. Och därför gäller följande.

Grafen till en kontinuerlig funktion är sammanhängande i hela sin definitionsmängd. Grafen till en deriverbar funktion är dessutom ”mjukt” sammanhängande. Det vill säga, grafen gör inga tvära byten i riktning. Exempelvis är funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| konturering men inte deriverbar i  $x=0$x=0.  Se figuren nedan.

För grafen byter riktning plötsligt kring origo. Det ger att den inte är ”tillräckligt mjuk” för att kunna dra en entydig tangent i origo. Tangenter godtyckligt nära origo från höger kommer inte ha samma lutning som tangenter godtyckligt nära origo från vänster. Där av är funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x|  inte deriverbar i $x=0$x=0. 

• Exempel på hur derivatan beter sig utifrån en utritad funktion (tredjegradsfunktion).
• Företaget ”Roligare nu” gör StandUp Comedy föreställningar. Chefen Per har modellerat en funktion för att beskriva intäkterna $ I(x) $ beroende på biljettpriset $x$ kr. Funktionen han har är $ I(x)=1000x-10x^2 $. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?