...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivata och deriveringsregler

Tangent och Sekant

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt. Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt.

Sekanten skär istället kurvan i två eller fler punkter. Sekantens lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall.

Tangentens definition

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En tangent är en rät linje som tangerar kurvan i en punkt. Ordet tangerar kan förklaras med betydelsen snuddar vid eller tuschar. Man säger att tangenten tangerar kurvan i punkten.

Tangent

Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt. Lutningen ger oss ett mått på vilken slags förändring och hur stor eller liten den är i just en punkt, det som kallas för Derivatan. Vi kommer i en senare lektion gå igenom hur.

Ett vanligt missförstånd om man säger att tangenten ”skär” kurvan är, att man tror att tangenten kan ”gå rätt igenom” kurvan. Det är inte det man menar. Tangenten går inte igenom kurvan i tangeringspunkten utan snuddar endast vid kurvan. 

En matematisk definition av en tangent i en deriverbar punkt  $x=a$x=a är följande.

Tangenten för $f$ƒ  i punkten  $x=a$x=a  är den räta linjen som har lutningen $f’\left(a\right)$ƒ (a) och som går genom $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)).

Skrivsättet  $f’\left(a\right)$ƒ (a) motsvarar derivatan i punkten $x=a$x=a. Mer om det i lektionen om derivatans definition

Sekantens definition

En sekant är en rät linje som skär två eller fler punkter på en kurva. En sekants lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall, ofta ett tidsintervall.

Sekant definition

En matematisk definition av en sekant är följande.

En sekant är en linje som går genom två punkter på en graf.

Om $f$ƒ  är definierad på intervallet $a\le$a$x\le b$xb kallas kvoten  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ƒ (b)ƒ (a)ba   för en differenskvot och ger lutningen för sekanten genom $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)) och $\left(b,\text{ }f\left(b\right)\right)$(b, ƒ (b)). Sekantens lutning motsvarar det kan kallar för medellutningen för grafen i intervallet.

Omatematisk förklaring av tangenten

För vissa hjälper förståelsen av vad en tangent är, att tänka tangenten som en linjal som ska balanseras på kurvan i en punkt. För andra kan bilden av en laserstråle som tuschar en diskokula i en enda punkt så att strålen inte bryts utan fortsätter i samma riktning, vara till hjälp för förståelsen.

Bestäm derivatans värde med tangenten

Vi kommer i kommande lektioner gå igenom definitionen på derivatan, men för nu kan vi bara försöka acceptera att

Derivatans värde är detsamma som tangentens lutning i en punkt. 

Utifrån detta kan vi beräkna derivatan genom att bestämma tangentens lutning.

Du kan genom att förflytta punkten $A$A längst kurvan se hur tangentens lutning, och där med även derivatans värde, förändras. Lägg gärna på minnet för vilka punkter derivatan är lika med noll. För de punkterna kommer vi fokusera lite extra på i denna kurs.

Exempel 1

a) Vilken eller vilka av linjerna är en sekant?

b) Vilken eller vilka av linjerna är en tangent?

Lösning

a) En sekant skär grafen i flera punkter. Detta stämmer in på linje $A$A och $C$C.

b) En tangent tangerar grafen i endast en punkt. Detta stämmer in på linje  $B$B

Exempel 2

Bestäm derivatan i punkten där  $x=2$x=2 

Kurva med tangent 

Lösning

Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där $x=2$x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan när  $x=2$x=2, eftersom att de har samma värde.

Tangent och derivata

Vi ser att tangentens riktningskoefficient är  $k=$k=  $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$yx =y2y1x2x1   $=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}$=3(1)40 =44   $=1$=1 

Vi får då att även derivatans värde när $x=2$x=2 har värdet  $1$1.

Sambandet mellan derivatan, tangenten och sekanten

Vi kommer att röra oss mellan dessa två, sekanten och tangenten, för att definiera derivatan i kommande lektioner. Men först måste vi även introducera ett nytt begrepp, gränsvärde. Det är med hjälp av ett gränsvärde vi kommer att kunna göra beräkningar på sekantens lutning i ett oändligt litet intervall, så litet att vi låter det motsvara värdet av tangentens lutning i en av sekantens skärningspunkter. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Exempel på en sekant och tangent och vad som karaktäriserar dessa.
  • Exempel på vad som händer när en sekant förändras mot att bli en tangent.

Kommentarer

Raaed Philo

Hej Carlos!
I C och F är tangenten parallellt med x-axel. Dvs att tangentens lutning är noll.

Carlos Malki

Hej! Jag råka skriva fel, jag menade fråga 12

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Carlos,

    kurvans lutning i C och F är den samma som tangentens lutning i punkten, vilket är lika med noll och därmed inte mindre än noll.

    Där emot ingår derivatans nollställen om vi ska ange vart funktionen är avtagande till skillnad från här, där vi ska tala om när funktionen är strängt avtagande, alltså när derivatan är enbart negativ.

Carlos Malki

Hej! I fråga 13on ska inte svaret vara, A,C,F,G och inte endast A och G eftersom i C och F är det också en minskning som är -y och som motsvarar ett negativt tal som är mindre än 0


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (13)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan beskriver en sekant?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan beskriver en tangent?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange linjens ekvation.

    Linjär funktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange lutningen till den linjära funktionen  $y=-4x+5$y=4x+5 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Ange en ekvation för linjen som går genom punkterna $(0,2)$(0,2) och $(1,0)$(1,0) .

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Skriv om funktionsuttrycket   $2y+6x=8$2y+6x=8  i  $k$k -form.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen  $f\left(x\right)=3x^2-5$ƒ (x)=3x25 har en tangent i punkten där  $x=1$x=1.

    Ange tangeringspunktens koordinater.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är den räta linjen i figuren en tangent eller en sekant?

    parabel med tanget

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Figuren visar grafen till en andragradsekvation. Uppskatta grafiskt tangentens lutning i punkten $P$P.

    Parabel

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm sekantens lutning.

    Tangent och sekant

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna kurvans lutning är noll.

    Polynomfunktion med punkter

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna kurvans lutning är mindre än noll.

    Polynomfunktion med punkter

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange i vilken eller vilka av de markerade punkterna kurvans lutning är positiv.

    Polynomfunktion med punkter

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Figuren visar parabeln till en andragradsfunktion  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).

    Vilken eller vilka av de räta linjerna i figuren kan antas vara en tangent?

    Tangent och sekant

    Svara med aktuella bokstäver med kommatecken emellan.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av funktionerna nedan har en derivata om alltid är positiv?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av funktionerna nedan har en derivata om alltid är lika med noll?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/4/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    Funktionen  $f\left(x\right)=2x^2$ƒ (x)=2x2  har en sekant med lutningen minus två som går genom punkten $\left(-2,\text{ }8\right)$(2, 8) . 

    Ange den andra punkten som sekanten går genom.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se