00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Tangentens ekvation och lutning

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Tangentens lutning ger derivatan

Med hjälp av derivatans definition har vi i tidigare lektioner visat att lutningen på tangenten i en punkt, är densamma som derivatans värde i den punkten. Denna vetskap är mycket användbar när vi vill lösa uppgifter grafiskt eller bestämma ekvationen till tangenten.

Derivatans värde är detsamma som tangentens lutning i en punkt. 

 

En mer matematiskt korrekt formulering av sambandet mellan derivatan och tangenten följer här.

Derivatan av ffƒ  i punkten aaa bestämmer tillsammans med aaa och f(a)f(a)ƒ (a) en rät linje, som tangerar funktionskurvan i punkten (a, f(a))(a,\text{ }f(a))(a, ƒ (a)).

Vi vill påpeka det vi tidigare nämnt, att en punkt kan definieras på linjen, i planet eller i rymden.  När vi jobbar med derivatan så är punkten i en dimension, på linjen. Alltså anger man bara punkten med dess xxx -värde/koordinat.

Vi tar några exempel på hur detta samband kan användas.

Exempel 1

Figuren föreställer en andragradsfunktion och dess tangent i punkten  PPP .

Bestäm derivatan f(2)f’\left(2\right)ƒ (2)  med hjälp av figuren.
Kurva med tangent 

Lösning

Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där x=2x=2x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan  f(2)f’\left(2\right)ƒ (2), eftersom att de har samma värde.

Tangent och derivata

Vi ser att tangentens riktningskoefficient är  k=k=k=  yx=y2y1x2x1\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}yx =y2y1x2x1   =3(1)40=44=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}=3(1)40 =44   =1=1=1 

Vi får då att även derivatans värde när x=2x=2x=2 har värdet  111.
Vi kan skriva detta med matematiska symboler som  f(2)=1f’\left(2\right)=1ƒ (2)=1

Sambandet mellan tangentens lutning och derivatan

Då tangenten definieras som en rät linje som vidrör kurvan i endast en punkt, kan vi beskriva alla tangenter med räta linjens ekvation y=kx+m. Tangentens lutning brukar benämnas med ett antal olika ord som $k kvärde, lutning eller riktningskoefficienten för en linje. 

När vi ska bestämma tangentens ekvation gäller samma metod som när vi bestämmer en rät linjes ekvation. Allt vi behöver är antingen

Två punkter på linjen 

eller

en punkt på linjen och linjens lutning.

Eftersom att tangenten vidrör kurvan i en punkt, kommer tangent och kurvan att dela denna punkt. Så vet vi funktionsuttrycket och  xxx -värdet för tangeringspunkten, kan vi också bestämma koordinaterna för punkten. Detta eftersom att alla punkter på en funktion kan skrivas som (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)) och vi kan beräkna  f(a)f\left(a\right)ƒ (a) med hjälp av det givna funktionsuttrycket. 

Exempel 2

Funktionen  f(x)=x3+4x2f\left(x\right)=x^3+4x^2ƒ (x)=x3+4x2  har en tangent i punkten där  x=3x=-3x=3 .

Bestäm tangeringspunktens koordinater.

Lösning

Vi använder funktionsuttrycket  f(x)=x3+4x2f\left(x\right)=x^3+4x^2ƒ (x)=x3+4x2 för att bestämma koordinaterna för punkten, eftersom att vi vet att alla punkter på en graf ges av (x, f(x))\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)(x, ƒ (x)).

För  x=3x=-3x=3  gäller att  f(3)=(3)3+4(3)2=27+36=9f\left(-3\right)=\left(-3\right)^3+4\left(-3\right)^2=-27+36=9ƒ (3)=(3)3+4(3)2=27+36=9 vilket ger oss tangeringspunkten (3, 9)\left(-3,\text{ }9\right)(3, 9).

Vi kan med hjälp av derivatan lätt beräkna tangentens exakta lutning. Men vi kan även snabbt uppskatta funktionens derivata med hjälp av tangentens lutning. Denna metod blir extra effektiv då vi ska avgöra om extrempunkterna är max, min eller terrasspunkter. Men mer om detta i kommande lektioner. Nu sammanfattar vi bara sambandet mellan derivatan och tangentens lutning i en punkt.

Är tangentens lutning i en punkt positiv, kommer derivatans värde i punkten också vara positiv. Man säger att funktionen är (strängt) växande i punkten.

Är tangentens lutning i en punkt negativ, kommer derivatans värde i punkten också vara negativ. Man säger att funktionen är (strängt) avtagande i punkten.

Är tangentens lutning i en punkt lika med noll, kommer derivatans värde i punkten också vara lika med noll. I dessa punkter återfinns en extrempunkt.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Visualisera tangentens lutning

Välj Funktion

Visualisera Derivata och tangentens lutning

Dra i punkt A för att flytta tangenten utmed grafen.
1234567−1−2−3−4−5−6−70123456−1−2−3−4−5−6
y
x
f´(x) = k = 0,33

Så bestämmer du tangentens lutning med derivatan

Resonemanget här ovan är alltså till för att förklara kopplingen mellan derivatan och tangenten. Låt oss nu ta ett konkret exempel för att fördjupa detta resonemang.

Exempel 3

Figuren visar funktionen  f(x)=2x2+2f(x)=2x^2+2ƒ (x)=2x2+2 och dess tangent i x=2x=2x=2.

Ange tangentens ekvation.
Tangent och parabel

Lösning

Tangenten är en rät linje. För att bestämma dess ekvation behöver vi ta fram dess lutning och en punkt på linjen. Vi börjar med att ta fram tangeringspunkten.

När x=2x=2x=2 får vi yyy-värdet  y=f(2)=222+2=8+2=10y=f(2)=2\cdot2^2+2=8+2=10y=ƒ (2)=2·22+2=8+2=10 

Det ger oss att tangeringspunkten är (2, 10)\left(2,\text{ }10\right)(2, 10) .

För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Vi börjar med att derivera funktionen.
  f(x)=2x2+2f(x)=2x^2+2ƒ (x)=2x2+2   ger att  f(x)=4xf'(x)=4xƒ ’(x)=4x 

För att bestämma derivatan i tangeringspunkten ersätter vi  x=2x=2x=2 i derivatans funktionsuttryck.

 f(2)=42=8f'(2)=4\cdot2=8ƒ ’(2)=4·2=8 

Nu vet vi tangentens lutning, även kallat  kkk-värde, i denna punkt är lika med åtta.

Tangentens ekvation är så här långt bestämd till  y=8x+my=8x+my=8x+m.

För bestämma mmm-värdet använder vi tangeringspunkten (2, 10)(2,\text{ }10)(2, 10).

 10=82+m10=8\cdot2+m10=8·2+m               

 10=16+m10=16+m10=16+m  

 m=6m=-6m=6 

Nu  har nu bestämt både kkk och mmm och tangentens ekvation är  y=8x6y=8x-6y=8x6 

Derivatan  f(x)f’\left(x\right)ƒ (x) i alla punkter och derivatan f(a)f’\left(a\right)ƒ (a) i en punkt

För tydlighetens skull understryker vi att f(x)f’\left(x\right)ƒ (x) är ett funktionsuttryck som ger möjlighet till att beräkna derivatans värde för alla definierade punkter på kurvan. För att ta reda på derivatan i en specifik punkt behöver vi ersätta variabeln med punktens  xxx -värde.

Exempel 4

Figuren visar funktionen  f(x)=x23xf(x)=x^2-3xƒ (x)=x23x
Parabel
a) Ange funktionens derivata i punkten  x=1x=1x=1

b) Ange tangentens lutning i punkten  x=1x=1x=1.

c) Ange funktionens derivata i punkten  x=ax=ax=a . 

d) Ange tangentens lutning i punkten  x=ax=ax=a .

e) Ange funktionens derivata för alla definierade punkter.

f) Ange tangentens lutning för alla definierade punkter.

Lösning

a) Vi börjar med att derivera funktionen.

  f(x)=x23xf(x)=x^2-3xƒ (x)=x23x   ger att  f(x)=2x3f'(x)=2x-3ƒ ’(x)=2x3 

Sedan beräknar vi funktionens derivata i punkten  x=1x=1x=1 med derivatans funktionsuttryck.

 f(1)=213=1f'(1)=2\cdot1-3=-1ƒ ’(1)=2·13=1 

b) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av a)-uppgiften får vi att tangentens lutning är  k=1k=-1k=1  eftersom att  f(1)=1f’\left(1\right)=-1ƒ (1)=1 

Vi börjar med att derivera funktionen.

c) Då derivatan till funktionen är  f(x)=2x3f'(x)=2x-3ƒ ’(x)=2x3 får vi att funktionens derivata i punkten  x=ax=ax=a  är f(a)=2a3f'(a)=2a-3ƒ ’(a)=2a3 

d) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av c)-uppgiften får vi att tangentens lutning också är k=f(a)=2a3k=f'(a)=2a-3k=ƒ ’(a)=2a3 

e) Derivatan till funktionen är f(x)=2x3f'(x)=2x-3ƒ ’(x)=2x3 för alla definierade värde på  xxx

f) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av e)-uppgiften får vi att tangentens lutning för alla definierade punkter också är k=f(x)=2x3k=f'(x)=2x-3k=ƒ ’(x)=2x3 

Exempel i videon

  • Funktionen f(x)=x2f(x)=x^2. Bestäm tangentens ekvation då x=2 x= 2 .
  • Lös ekvationen f(x)=0 f'(x)=0 f(x)=x2+2x f(x)=x^2+2x .