Andraderivata

Den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, är att vi med den mycket effektivt kan bestämma extrempunkternas karaktär, samt eventuella inflexionspunkter. Vi kan med andraderivatans hjälp även undersöka hur en graf ser ut och beter sig för olika $x$x -värden.

När man deriverar en derivata, får man något som kallas för andraderivatan. Den betecknas på många olika sätt. Några ser du här.

Skrivsättet $''$ uttalas ”bis”.

Andraderivatan motsvarar förändringshastigheten av förändringshastigheten, vilket alltså motsvarar att andraderivatan till en funktion fås genom att man deriverar funktionen två gånger efter varandra.

Ett vanligt exempel för att se sambandet mellan funktionen och första och andraderivatan är att studera en resa med en bil. 

Då funktion $s(x)$ beskriver sträckan en bil kört kommer förstaderivatan $s'(x)$  ge hastigheten vid en tidpunkt och andraderivatan $s''(x)$ i sin tur ge accelerationen vid samma tidpunkt.

Ett annat exempel är att då funktion $N(t)$ beskriver befolkningsmängden ger förstaderivatan $N'(t)$ tillväxthastigheten vid en tidpunkt och andraderivatan $N''(T)$ förändringen av tillväxthastigheten vid samma tidpunkt.

Exakt samma deriveringsregler används som för förstaderivata. Det vill säga, du deriverar helt enkelt två gånger efter varandra. Vi börjar med ett exempel på andraderivatan av en polynomfunktion.

Och nu andraderivatan till en exponentialfunktion.

Som vi tidigare nämnde är den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, att effektivt bestämma extrempunkternas karaktär, eventuella inflexionspunkter och undersöka hur grafen beter sig för olika $x$x -värden.

Det är nämligen så att om andraderivata är negativ för $x$x -värdet som motsvarar förstaderivatans nollställe, så säger man att kurvan är konkav för alla  $x$x i intervallet runt maximipunkten.

Förstaderivatans är avtagande runt maximipunkten, den går från positiv till negativ via värdet noll. Det ger att andraderivatan är negativ i maximipunkten. 

Om andraderivata däremot är positiv för $x$x -värdet som motsvarar förstaderivatans nollställe, så säger man att kurvan är konvex för alla $x$x i intervallet runt minimipunkten.  

Förstaderivatans är växande runt minimipunkten, den går från negativ till positiv via värdet noll. Det ger att andraderivatan är positiv i minimipunkten.

Med andra ord kan på detta sätt undersöka karaktären på förstaderivatans nollställen med hjälp av andraderivatan och snabbt bestämma om extremvärdet motsvarar en maximi- eller minimipunkt.

Vill vi ange punkten på grafen som motsvarar extrempunkten beräknar vi extremvärdet för extrempunkten. Det gör vi genom att sätta in $x=2$x=2 i vår ursprungliga funktion.

$f(2)=2\cdot2^3-6\cdot2^2=16-24=-8$ƒ (2)=2·2³−6·2²=16−24=−8

Vi har alltså en minimipunkt på grafen till funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x)  i punkten$\left(2,-8\right)$(2,−8). Men minimipunkten anger endast med  $x$x-värdet.

Om både första- och andraderivatan är lika med noll måste vi undersöka derivatans karaktär närmre med teckenstudier.

I denna kursen kommer vi titta lite extra på den inflexionspunkt som kallas för terrasspunkt. Inflexionspunkten i figuren ovan är ingen terrasspunkt.

En terrasspunkt är en punkt som är både en inflexionspunkt och en stationär punkt. Alltså en punkt med egenskapen att både första och andraderivatan är lika med noll i punkten.

Det leder till att för inflexionspunkter $x=a$x=a, och därmed även i terrasspunkter, har förstaderivatan en extrempunkt.

Om funktionen är växande eller avtagande kring terasspunkten, det vill säga punkter där både  $f'(x)$ƒ ’(x) och  $f''\left(x\right)$ƒ ´´(x) är lika med noll, bestämmer du alltså på ett annat sätt, tex med hjälp av en teckentabell. Hur vi gör det tittar vi på i lektionen nollställen och teckentabeller.

• Bestäm  $f''\left(x\right)$ƒ ´´(x) då $f\left(x\right)=3x^3+x^2-3x$ƒ (x)=3x³+x²−3x 
• Använd andraderivata för att skissa grafen till funktionen $f\left(x\right)=4x^3-6x^2+1$ƒ (x)=4x³−6x²+1 
• Skissa grafen till funktionen $f\left(x\right)=2x^3-2$ƒ (x)=2x³−2