...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivatan och grafen

Andraderivata

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, är att vi med den mycket effektivt kan bestämma extrempunkternas karaktär, samt eventuella inflexionspunkter. Vi kan med andraderivatans hjälp även undersöka hur en graf ser ut och beter sig för olika $x$x -värden.

Andraderivatan och extrempunkter

Andraderivata – derivatans derivata

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

När man deriverar en derivata, får man något som kallas för andraderivatan. Den betecknas på många olika sätt. Några ser du här.

$ y´´ $      $ f´´(x) $         $\frac{d^2y}{dx^2}$d2ydx2  

Skrivsättet $´´$ uttalas ”bis”.

Andraderivatan motsvarar förändringshastigheten av förändringshastigheten, vilket alltså motsvarar att andraderivatan till en funktion fås genom att man deriverar funktionen två gånger efter varandra.

Ett vanligt exempel för att se sambandet mellan funktionen och första och andraderivatan är att studera en resa med en bil. 

Då funktion $s(x)$ beskriver sträckan en bil kört kommer förstaderivatan $s´(x) $  ge hastigheten vid en tidpunkt och andraderivatan $s´´(x) $ i sin tur ge accelerationen vid samma tidpunkt.

Ett annat exempel är att då funktion $N(t)$ beskriver befolkningsmängden ger förstaderivatan $N´(t)$ tillväxthastigheten vid en tidpunkt och andraderivatan $N´´(T)$ förändringen av tillväxthastigheten vid samma tidpunkt.

Så tar du fram Andraderivata

Exakt samma deriveringsregler används som för förstaderivata. Det vill säga, du deriverar helt enkelt två gånger efter varandra. Vi börjar med ett exempel på andraderivatan av en polynomfunktion.

Exempel 1

Bestäm andraderivatan till  $f(x)=4x^3$ƒ (x)=4x3

Lösning

När vi deriverar  $f(x)$ƒ (x)  två gånger får vi andraderivatan  $f´´(x)$ƒ ´´(x) .

Vi använder deriveringsregeln för polynomfunktioner

$f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn   ⇒     $f´(x)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1 

Vi får att

$f(x)=4x^3$ƒ (x)=4x3  ⇒

 $f´(x)=12x^2$ƒ ´(x)=12x2    ⇒

 $f´´(x)=24x$ƒ ´´(x)=24x 

Och nu andraderivatan till en exponentialfunktion.

Exempel 2

Bestäm  $y´´$y´´  till  $y=2e^{4x}$y=2e4x

Lösning

När vi deriverar $y$y två gånger får vi andraderivatan $y”$y.

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner

$f\left(x\right)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx   ⇒     $f’\left(x\right)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ (x)=Cakx·k·lna

Vi får att

$y=2e^{4x}$y=2e4x  ⇒

 $y´=8e^{4x}$y´=8e4x  ⇒

 $y´´=32e^{4x}$y´´=32e4x 

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Som vi tidigare nämnde är den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, att effektivt bestämma extrempunkternas karaktär, eventuella inflexionspunkter och undersöka hur grafen beter sig för olika $x$x -värden.

Det är nämligen så att om andraderivata är negativ för $x$x -värdet som motsvarar förstaderivatans nollställe, så säger man att kurvan är konkav för alla  $x$x i intervallet runt maximipunkten.

Andraderivatan och maximipunkter

Förstaderivatans är avtagande runt maximipunkten, den går från positiv till negativ via värdet noll. Det ger att andraderivatan är negativ i maximipunkten. 

Positiv andraderivata

Om funktionen $f$ƒ  och  $f´$ƒ ´ är deriverabar på intervallet  $a<$a< $x<$x< $b$b  gäller att

 $f$ƒ   är konkav i intervallet om och endast om  $f´´(x)\le0$ƒ ´´(x)0  för alla $x$x i intervallet.

Om andraderivata däremot är positiv för $x$x -värdet som motsvarar förstaderivatans nollställe, så säger man att kurvan är konvex för alla $x$x i intervallet runt minimipunkten.  

Minimipunkt och andraderivatan

Förstaderivatans är växande runt minimipunkten, den går från negativ till positiv via värdet noll. Det ger att andraderivatan är positiv i minimipunkten.

Positiv andraderivata

Om funktionen $f$ƒ  och  $f´$ƒ ´ är deriverabar på intervallet  $a<$a< $x<$x< $b$b  gäller att

 $f$ƒ   är konvex i intervallet om och endast om  $f´´(x)\ge0$ƒ ´´(x)0  för alla $x$x i intervallet.

Med andra ord kan på detta sätt undersöka karaktären på förstaderivatans nollställen med hjälp av andraderivatan och snabbt bestämma om extremvärdet motsvarar en maximi- eller minimipunkt.

Exempel 3

Bestäm minimipunkten till funktionen  $f(x)=2x^3-6x^2$ƒ (x)=2x36x2.

Lösning

Minimipunkten återfinns där derivatan är lika med noll. Vi börjar med att ta fram derivatan

$f(x)=2x^3-6x^2$ƒ (x)=2x36x2     ⇒   $f´\left(x\right)=6x^2-12x$ƒ ´(x)=6x212x 

och sätter derivatan lika med noll för att bestämma extrempunkternas $x$x -värden

$6x^2-12x=0$6x212x=0                   Bryt ut $6x$6x i VL 
$6x\left(x-2\right)=0$6x(x2)=0                    

Med nollproduktmetoden får vi att

$6x=0$6x=0  ger   $x_1=0$x1=0    
$x-2=0$x2=0  ger   $x_2=2$x2=2

Nu vet vi vid vilka $x$x-värden tangenters lutningen på grafen till  $f\left(x\right)$ƒ (x) är lika med noll. Men andra ord, extrempunkterna. För att bestämma extrempunkternas karaktär, det vill säga om det är maximi- eller minimi, eller om punkten rent utav är en terasspunkt, använder vi andraderivata..

När vi deriverar $f(x)$ƒ (x) två gånger får vi andraderivatan  $f´´\left(x\right)$ƒ ´´(x).

$f´\left(x\right)=6x^2-12x$ƒ ´(x)=6x212x  ger att  $f´´\left(x\right)=12x-12$ƒ ´´(x)=12x12                      

Vi sätter extrempunkternas $x$x-värden i andraderivatans funktion för att ange om den är negativ, positiv eller lika med noll.

  $f´´\left(0\right)=12\cdot0-12=-12$ƒ ´´(0)=12·012=12        En negativ andraderivata innebär en maximipunkt

  $f´´\left(2\right)=12\cdot2-12=12$ƒ ´´(2)=12·212=12            En positiv andraderivata innebär en minimipunkt

Vi ser utifrån ovanstående beräkning att  $x=2$x=2 ger minimipunkten.

Vill vi ange punkten på grafen som motsvarar extrempunkten beräknar vi extremvärdet för extrempunkten. Det gör vi genom att sätta in $x=2$x=2 i vår ursprungliga funktion.

$f(2)=2\cdot2^3-6\cdot2^2=16-24=-8$ƒ (2)=2·236·22=1624=8

Vi har alltså en minimipunkt på grafen till funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x)  i punkten$\left(2,-8\right)$(2,8). Men minimipunkten anger endast med  $x$x-värdet.

 Om andraderivatan lika med noll

Om andraderivatan blir lika med noll har vi en punkt som kallas inflexionspunkt. Det vill säga en punkt där funktion går från att vara konvex till konkav eller tvärt om.

Inflexionspunkt

Då måste du bestämma karaktären på ett annat sätt, tex med hjälp av en teckentabell. Hur vi gör det tittat vi på i lektionen nollställen och teckentabeller.

Exempel i videon

  • Exemplifiering hur andraderivatan beter sig utmed en funktion vars graf är utritad.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 3x^4+4x^2+x$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 2x^{-0,5}$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=2e^{2x} $.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=\frac13x^3+\frac23+2 $.

Kommentarer

Linnea Johansson

Hej!
Man kan tolka texten väldigt fel i uppgift 3. När f(x)=0 kan man tro att derivatansfunktion är 0 vilket medför att det är en linjär funktion från början. Det framgår inte att det är i punkten X som derivatan är 0.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Linnea.

    Jag har nu försökt formulera om frågan och hoppas att du tycker den blev tydligare. Lycka till med derivatan!

Clockwork Cadaver

Bilden laddar inte i uppgift 7, varken i Firefox eller Internet explorer utan tillägg.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för kommentar, det är fixat!

Rasmus Mononen

Skumma svar i uppgift 5 och 7.

// Rasmus

Sebastian Sollerman

I uppgift 7 står det i facit följande: f´´(C)=f´(F)
stämmer inte då andraderivatan för C positiv och första derivatan för F negativ

Vad jag kan se i grafen så är F”(C) en maximipunkt och måste väl där med ha negativ andra derivata?

I uppgift 8 står funktionen f(x) = x^3 + 2x^2
Men svaret i facit är beräknat utifrån f(x) = x^3 + 6x^2…..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kikar på detta.

Jonatan Wennberg

Ange koordinaterna för extrempunkterna till funktionen

f(x) = x5 – 5x

Hej skulle behöva hjälp med denna då jag sitter fast..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Se svar här:
    /lektioner/nollstallen-och-teckentabell/

Julia Ojeda Ottosson

Hej, i min fråga står det: För funktionen f gäller att f(x)=2/x^2 + 2x
Men jag förstår inte hur man gör i division. Och vad innebär f’=0 ? Jag har enbart sett beskrivningar i min mattebok och här på hemsidan om y´=0 men ingen f´=0.

Mvh Julia

Mikael144600

Hej!
Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x).
Mellan första derivatan och andra derivatan har basen 4 bytt tecken (från negativ till positiv), varför då?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det beror på att derivatan för cos(x) är -sin(x). Du deriverar ju först så att du får cos som den yttre derivatan. Nästa gång vi deriverar för att få andraderivatan så deriverar du cos till sin.

Hélèna Osseyran

Hej!
Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x)
Vilken regel använder ni er av då? Och hur vet man när man inte skall derivera med produktregel eller kedjeregel? Jag fick att y prim blev -4cos. Vad gör jag fel då?

Tack på förhand!

/Förvirrad derivata

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i den funktionen så behöver vi tänka på att vi har en inre funktion $2x$ (i parentesen) så då används kedjeregeln för att derivera detta.
    Jag gjorde så att jag uppdaterade förklaringen och gjorde den mer utförlig så kika gärna på den igen så hoppas jag att det blir tydligare!

Pedro Veenekamp

Har inte än vaknat … en försök till:

”Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = a”

Pedro Veenekamp

Ny ser jag att jag skrev nåt fel … det skulle stå:
”Om jag inte har det fel så är f´´(x)= = om f´(x) = a ”
där a är ett realtal.

Pedro Veenekamp

Hej!

Kan du förklara hur f´´(x) > 0 om f´(x) = 0 (frågan 3)
Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = 0
f´(x) är lika med noll när f(x) är en rätt linje, eller hur?

Tack för hjälpen!

Falah

Hej! Om man har f”(x)=0 ?
Vad betyder det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det skulle kunna betyda (troligtvis är det så) att du har hittat en terrasspunkt.

qwert

Hej!
Jag har problem med denna uppgiften, jag kan stegen men lyckas inte få det till cirka 259.

Beräkna f”(1) om
f(x)=5^2x + x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Funktionen blir enklare att derivera om du skriver om den på följande vis:
    $f(x)=5^{2x}+x=25^x+x$
    Då får du
    $f´(x)=ln25⋅25^x+1$
    $f´´(x)=(ln25)^2⋅25^x$
    och
    $f´´(1)=(ln25)^2⋅25^1=259$

nti_ma4

Hej!
Jag har alltid lärt mig att när en funktion går uppåt runt en punkt(en minimipunkt) så heter det att den är konvex, inte konkav uppåt. Sen när den går neråt runt en punkt(maximipunkt) så heter det att grafen är konkav. Har jag lärt mig fel?

    nti_ma4

    // Jerry Skarp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Egentligen så är det lite lurigt att använda konkav (buktar inåt) och konvex (buktar utåt) när funktioner beskrivs då man ofta använder begreppen när linser beskrivs. I en konkav lins buktar bägge sidor inåt vilket är svårt att likna vid en funktion på samma vis. Jag brukar använda begreppet konkav uppåt när vi har en minimipunkt och konkav nedåt när vi har en maximipunkt.
    Säg till om detta fortfarande är oklart på något vis!

      Jeremy Barnes

      Konkav = har min punkt
      Konvex = har max punkt

      Annat verkar tokigt, och att blanda in linser i leken gör knappast saken tydligare.

Jakob Carlsson

Hej!
Jag har ett tal som ser ut så här 2x^1/2 + x^-1/2 bestäm f'(4).
jag förstår inte genom videon hur jag ska göra, kan du förklara?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan Jakob, det här är en så kallad potensfunktion och det kan vara bra att kika på genomgångarna om derivata för potensfunktioner så kommer du säkert att förstå mer kring detta. I just detta fall gäller att:
    $ f(x) = 2x^{1/2} + x^{-1/2} $
    $ f´(x) = x^{-1/2} – \frac{1}{2} x^{-3/2} = \frac{1}{x^{1/2}} – \frac{1}{2x^{3/2}} $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm andraderivatan till  $f(x)=x^4$ƒ (x)=x4 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm andraderivatan till  $f(x)=2x^3$ƒ (x)=2x3 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm  $f”(x)$ƒ ”(x)  då  $f(x)=e^{2x}-10x$ƒ (x)=e2x10x 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För andraderivatan gäller att $f”(x)>0$ƒ ”(x)>0  i området kring  $x=a$x=a .

    Välj vilket av nedanstående alternativ gäller för  $f\left(x\right)$ƒ (x) i  $x=a$x=a.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm  $f”(x)$ƒ ”(x)  då  $f(x)=3x^4+x^3-2x$ƒ (x)=3x4+x32x

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I vilken punkt är  $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0  och  $f”(x)<0$ƒ ”(x)<0 ? 

    Polynomfunktion med markerade punkter

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken av graferna nedan skulle kunna vara andraderivatan till funktionen $f(x)=x^4+10x^3-36x^2$ƒ (x)=x4+10x336x2 ?

    Polynomfunktioner

    Ange ditt svar med bokstaven för grafen, men träna på att motivera ditt val.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket påstående är INTE sant?

    Polynomfunktion med punkter

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R11
    K

    Neo påstår att  $f”\left(x\right)>0$ƒ (x)>0 för alla $x$x om 

     $f\left(x\right)=ax^4+bx^2$ƒ (x)=ax4+bx2 

    och  $a$a och $b$b är två positiva konstanter som tillhör de reella talen.

    Håller du med Neo?

    Ange svaret Ja eller Nej, men öva på att bevisa ditt påstående.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    En inflexionspunkt är en punkt där funktionen går från att ha varit konvex till att vara konkav eller tvärtom.

    Punkten $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) är en inflexionspunkt på grafen till funktionen  $f(x)=x^3+6x^2$ƒ (x)=x3+6x2.

    Bestäm $a$a och $b$b och ange inflexionspunkten i koordinatform. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se