Polynomfaktorisering

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2022-03-01

Hej Samuel,
jag har nu utvecklat förklaringen något på uppgiften. Hoppas det blev tydligare.

Vi tar det steg för steg

$p\left(x\right)=4x^3+2x^2=2\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x+2\cdot1\cdot x\cdot x$

gemensamma faktorer i alla termer är 
$2\cdot x\cdot x=2x^2$
och om dessa faktorer bryt ut har vi enbart kvar 
 
$2x+1$ i parentesen.

Observera att vi har kvar en etta i andra termen. Bryter vi ut ”hela värdet” på en term måste vi ha kvar en etta för att likhet ska uppstå när vi kontrollerar genom att multiplicerar in våra utbrutna faktorer igen.

Test 1: $2x^2(2x+1)=2x^2\cdot 2x+2x^2\cdot 1)=4x^3+2x^2$
Test 2: $2x^2(2x+0)=2x^2\cdot 2x+2x^2\cdot 0)=4x^3≠4x^3+2x^2$

Simon Rybrand (Moderator)

2020-12-09

Det som söktes där var endast det positiva värdet på konstanten b.
Men b=-2 är även det en lösning även om det inte var den som eftersöktes.

David Admin (Moderator)

2019-05-24

Ditt svar är inte fel. Om vi utvecklar $9 (x+4)(x-4)=9(x^2-16)=9x^2-144$ vilket också är en faktorisering.

Så ditt förslag är också en faktorisering som är rätt, men det fanns inte med som ett av alternativen.

Simon Rybrand (Moderator)

2017-11-21

Hej
Ja det är en mer fullständig faktorisering, vi korrigerar detta.

Simon Rybrand (Moderator)

2017-09-29

Faktorisera polynomet så långt som möjligt skall det stå istället.

Simon Rybrand (Moderator)

2016-10-10

Vad skall du göra i uppgiften? Förenkla?

Davidahl

2016-10-10

Oj, glömde skriva det! Precis, behöver hjälp att förenkla. 🙂

Simon Rybrand (Moderator)

2016-10-14

Ok, så här kan du göra:
$\frac{x^2 −x−6}{x^3 + 2x^2} = \frac{\left(x+2\right)(x-3)}{x^2(x + 2)} = \frac{(x-3)}{x^2} $

Simon Rybrand (Moderator)

2016-10-05

Du har nollställena $x=-4$ och $x=2$ vilket ger oss faktorerna $(x+4)$ och $(x-2)$ och vi kan skriva uttrycket som
$ p(x)=k(x+4)(x-2) $
För att bestämma konstanten k så använder du villkoret att $ p(1) = -10 $
Kommer du vidare utifrån detta?

Mattefreak

2016-10-05

Tack, nu är jag åter på spåret!

Simon Rybrand (Moderator)

2016-09-05

Hej
Har svårt att tolka dina uttryck här, menar du tex $5·2-15x$?

Alla Sapkina

2016-09-05

5x*2 och x*2 på den andra

Simon Rybrand (Moderator)

2016-09-07

Ja om det är multiplikation där så $p(x) = 5·2 – 15x= 5(2-3x)$ och den andra blir då omöjlig att faktorisera. Om det hade varit $p(x)=x^2-6x+5$ så hade den gått att faktorisera.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-10-21

Hej
Du kan kika på reglerna för att förenkla och utveckla algebraiska uttryck. Här kan det vara bra att gå igenom de första 5 lektionerna till Matematik 2 där dessa saker gås igenom från grunden.
För att utveckla $ (3x^2 – 2x)⋅(x^2 – 5) $ så använder du reglerna för att multiplicera ihop parenteser (utvidgade distributiva lagen).
När du skall förenkla (x^2+3x-4)-(x^2-4-?) så behöver du tänka på att när du tar bort en parentes där det står minus framför denna så ändras tecknen. Dvs
(x^2+3x-4)-(x^2-4-?) = x^2+3x-4-x^2+4+?
(Lät det stå ? då det fattades något där i ditt exempel)

Simon Rybrand (Moderator)

2015-10-12

Hej
Du kan absolut kvadratkomplettera där istället för att använda dig av pq formeln. Kvadratkomplettering lyfts sälla fram i dessa områden men det funkar absolut lika bra som att använda sig av pq formeln (som kommer från kvadratkomplettering). Se bara upp så att du kan göra det exempelvis om du har en koefficient som skall multipliceras med faktorerna (se videon om detta).
Kika gärna på det sista exemplet också i övningarna där vi går igenom en liknande uppgift!

Simon Rybrand (Moderator)

2015-09-20

Hej, har du jobbat med symmetrilinjer i matematik 2 eller derivata och extrempunkter? Funderar på vilken metod som jag skall visa dig. Nämn gärna vilken kurs som du går.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-06-15

Hej
Ett sätt att faktorisera polynom som det är att hitta en lösning x = a först till p(x)=0. Det kan för vissa polynom göras genom att pröva några enkla lösningar som x=…, x=-2,x=-1,x=1,x=2,…
Sedan används faktorsatsen och polynomdivision för att faktorisera. Se gärna videos i Matematik 4 om detta.
Här testade jag att rita ut polynomet först för att kunna se nollställena men detta polynom har inga enkla nollställen alls. Så då är nog det enklaste att använda dig av en graf för att faktorisera.
Stämmer polynomet så att du inte får en alltför svår faktorisering?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-04-06

Hej, ja sådana videos finns. Börja med den här om extrempunkter och fortsätt sedan framåt i lektionerna.

Pedro Veenekamp

2015-03-16

Hej!

När du kontrollrättade svaret har du plussat 8 med 2 istället av att multiplicera dem: 2*8 = 16

Caroline

2015-03-16

Men är man tröttmössa eller? 🙂 Tack!! Verkligen!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-11-05

Hej,
Man skriver som du säger pq – formeln som
$ x^2+px+q=0 ⇔ $
$ x=-p/2 ± \sqrt{(p/2)^2-q} $

Så om du har +px i ekvationen så kommer det att bli -p/2. Men om du har -px så får du istället +p/2. Det är det som är fallet i denna video. Kika gärna på genomgången om pq formeln hos oss så går vi igenom just detta där.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-09-16

Hej Osman,

Kan du kontakta vår support på support@matematikvideo.se. Nämn i mailet ditt problem, vilken/vilka webbläsare du använder, ditt operativsystem (windows/mac) och lite vad det är för dator/surplatta/telefon.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-08-13

$ 8x^2+4x = 4x(2x+1) $

Simon Rybrand (Moderator)

2014-02-03

Du kan använda pq formeln här men du behöver skriva om ekvationen innan du kan tillämpa den, jag visar en bit på vägen:
$36x-4x^2-80 = 0 ⇔$
$ 4x^2-36x+80=0 ⇔$ (dividera med 4)
$ x^2-9x+20=0 ⇔$ (pq-formeln)
$ x=4,5±\sqrt{20,25-20}⇔$
$ x=4,5±\sqrt{0,25}⇔$
$ x=4,5±0,5$

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-31

Hej
När du skall faktorisera det polynom du nämner här så kan det vara bra att lösa ekvationen
$ x^2+x-12=0 ⇔ $
$ x=-0,5±\sqrt{12,25} ⇔ $
$ x=-0,5±3,5 ⇔ $
$ x_1=3, x_2=-4 $
Då vet du att du har nollställena för funktionen i dessa x – värden och du får faktorerna
(x-3)(x+4)

Etolie

2014-01-31

Tusen tack för hjälpen!!!!

tenka

2016-03-15

Eventuellt en asdum fråga:
I första ledet av pq-formen bör det inte bli minus 0,5 om det är p:et är den osynliga ettan framför det positiva x:et? Jag fick resultatet till negativ 3 och positiv 4?
Sen undrar jag varför faktorerna blir med omvänt tecken?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-03-15

Det var verkligen ingen dum fråga 😉 Det skall förstås vara minustecken framför $0,5$. Det är korrigerat.
Du vänder på tecknet i faktorerna för att det då blir rätt lösning. Om vi har ekvationen
$ (x-3)(x+4)=0 $
så har den lösningarna $x_1=3$ och $x_2=-4$
Hoppas att det går att förstå!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-27

Du kan använda dig av dina nollställen som ger faktorerna p(x) = (x+2)(x-1)(x-3).

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-17

Hej, det stämmer att faktorsatsen kan vara viktig att känna till i dessa sammanhang. Faktorsatsen säger att om x = a är ett nollställe till polynomet f(x) innebär detta att x–a är en delare, och endast då, för polynomet f(x). Vi skulle alltså kunna säga att om vi har en rot x=2 till ett polynom så säger faktorsatsen att detta polynom måste ha en faktor (x–2). Vi har en video om faktorsatsen här:
/faktorsatsen/

Simon Rybrand (Moderator)

2013-11-13

Hej, när det gäller din nämna uppgift så kan du bryta ut x ur varje term, dvs
$ 4x^3-2x^2-x = x(4x^2-2x-1) $
Sedan behöver du hitta lösningarna (pq-formeln) till
$ 4x^2-2x-1=0 $
för att faktorisera hela polynomet.

Det finns, så vitt jag vet, ingen bombsäker metod för att alltid veta att allt går/går inte att faktorisera på ett användbart sätt. Det bästa tror jag är att du tränar på många liknande uppgifter och sakta, men säkert, lär dig vilka vägar som är framkomliga för olika typer av faktoriseringar.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-16

Ja när du har faktoriserat uttrycket så att du har x(4-x) så har du gjort det du behöver om uppgiften är just att du bara skall faktorisera.

Du kan även få uppgiften att lösa ekvationen x(4-x)=0 genom nollproduktmetoden. Dvs
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 4 $
Då bör det stå tydligt att du skall lösa just den ekvationen.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-03

Hej, ofta så kommer detta till användning när man söker nollställen (där funktionen skär x – axeln) till en funktion. Det kan också vara bra då man löser ekvationer (hitta dess rötter).

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-02

Hej, här kan du först bryta ut -1 ur uttrycket så att du får
$ -(4t^2-4t+1) $
och tillämpa kvadreringsregel baklänges så att du får
$ -(4t^2-4t+1) = -(2t+1) $

Simon Rybrand (Moderator)

2013-07-22

Hej, vi sätter inte in 16x ”direkt” i pq formeln utan precis som du skriver tar vi (p/2 = 8/2) 4^2 för att få 16. Kika gärna lite granna på hur du tillämpar pq formeln på liknande uppgifter så tror jag att det klarnar, annars så fråga vidare.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-06-03

Hej,
Låt säga att vi har en ekvation (x+2)(x-3) = 0. För att VL skall bli lika med noll i det här fallet så skall antingen (x+2) eller (x-3) bli lika med noll vilket ger lösningarna (-2) och 3. Så om vi har lösningarna -2 och 3 så kan vi faktorisera enligt (x+2)(x-3).

Simon Rybrand (Moderator)

2012-12-11

Hej, i just det exemplet var det så att k var samma som koefficienten framför x^2 men det behöver inte alltid vara så. Så om du får en annan uppgift så kan det vara bra att känna till att du alltid kan lösa ut k på det viset.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-10-21

Hej Amanda,

När du faktoriserar ett sådan polynom gäller att du behöver hitta lösningarna till p(x) = 0.
p(x)= -10x²+50x-60
bryt ut -10
p(x)= -10(x²-5x+6)
p(x) = 0 ⇔
x²-5x+6 = 0 (pq – formeln)
$ x = 2,5 ± \sqrt{6,25 – 6} $
$ x = 2,5 ± 0,5 $
x₁ = 3
x₂ = 2

Detta ger oss faktorerna (x – 3) och (x – 2) och hela polynomet faktoriseras enligt

p(x) = -10(x-3)(x-2)

Simon Rybrand (Moderator)

2012-04-05

Hej
Det är tyvärr lite krångligare att faktorisera dessa typer av polynom på ett enkelt vis. Men ett sätt är att lösa ekvationen 7x²-5x-2 = 0 för att på så vis hitta en faktorisering. Om vi då hittar rötterna kan vi skriva om polynomet på faktorform.

$ 7x^2-5x-2 = 0 $ /7
$ x^2 – \frac{5}{7}x – \frac{2}{7} = 0 $ /pq
$ x = \frac{5}{14} ± \sqrt{ \frac{25}{196} + \frac{2}{7} } $
Förenkla inuti roten ur tecknet:
$ x = \frac{5}{14} ± \sqrt{ \frac{81}{196} } $
$ x = \frac{5}{14} ± \frac{9}{14} $
x₁ = 1
x₂ = $ – \frac{2}{7} $

Med hjälp av dessa rötter kan vi faktorisera polynomet enligt:
$ (x – 1)(x + \frac{2}{7}) $

Enligt min erfarenhet är det sällan man behöver faktorisera såpass krångliga uttryck i Matematik C men det är självklart bra att kunna. Om du vill fördjupa dig inom detta kan man läsa lite granna kring faktorsatsen.

Endast Premium-användare kan kommentera.