...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2
 /   Andragradsfunktioner

Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen visar vi en metod för att ta fram andragradsfunktionens funktionsuttryck utifrån nollställen och en annan punkt.

Att konstruera funktionsuttryck till en graf

Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.

Faktorform

I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.

Polynomfunktion i faktorform

 $f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot…\cdot\left(x-x_n\right)$ƒ (x)=k(xx1)·(xx2)··(xxn) 

där $x_1$x1,  $x_2$x2 och  $x_n$xn är nollställenas  $x$x -värden. Konstanten $k$k motsvarar koefficienten för termen med högst grad.

Detta ger att alla andragradsfunktioner $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c, med nollställena $x_1$x1 och  $x_2$x2  i faktorform kan skrivas som

 $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=a(xx1)·(xx2) 

där $a$a motsvarar andragradstermens koefficient. Att vi vänjer att skriva $a$a istället för $k$k  här är för att lättare associera det till koefficienten framför andragradstermen. 

Nollställen och faktorer

Funktionens nollställen motsvarar $x$x -värdet där grafen skär $x$x -axeln. Alla nollställen har gemensamt, att deras  $y$y-värde alltid är lika med noll. 

En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform.

Om funktionen har ett nollställe då $x=a$x=a, så innebär det att funktionen i faktorform har en faktor $\left(x-a\right)$(xa), som ger att funktionsvärdet blir noll.

Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Nollställena kan vi få fram genom att vi beräknar de värden på $x$x, som ger att faktor efter faktor blir lika med noll.

Om en funktion har två nollställen och dessa återfinns i $x=2$x=2  och  $x=-5$x=5, så innebär det att denna funktion består av faktorerna $\left(x-2\right)$(x2) och $\left(x+5\right)$(x+5) . Vi kan då skriva funktionen i faktorform som $f\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x+5\right)$ƒ (x)=a(x2)(x+5). Konstanten $a$a kan vi bestämma om vi känner till ytterligare en punkt på grafen.

Hur gör jag för att hitta nollställena?

Är grafen given kan vi läsa av nollställena. De motsvarar  $x$x -värdena för de punkter där funktionen skär $x$x -axeln.

Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Med andra ord, vi sätter  $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 och löser ekvationen och får på så vis fram dem.

Vilken annan punkt ska jag välja?

Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Alternativt tar vi fram en punkt till, genom att sätta in ett valfritt (definierat) värde på $x$x och beräkna det tillhörande funktionsvärdet ( $y$y-värdet). 

Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen. Men en punkt som gör det extra enkelt att räkna med, är punkten där grafen skär $y$y -axeln. För denna punkt är $x=0$x=0. Om vi kallar den för $\left(0,\text{ }y_0\right)$(0, y0) får vi att

 $y_0=k\left(0-x_1\right)\cdot\left(0-x_2\right)\cdot…\cdot\left(0-x_n\right)=k\cdot x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n$y0=k(0x1)·(0x2)··(0xn)=k·x1·x2··xn

Alltså $k$k gånger alla nollställen. För denna punkt slipper du beräkna alla parentesers värde innan du multiplicerar dem. Du får fram värdet på $k$k direkt genom att dividera $y$y -värdet med alla nollställen.

 $k=$k=  $\frac{y_0}{x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n}$y0x1·x2··xn  

Nu testar vi metoden i ett exempel.

Exempel 1

En andragradsfunktion har nollställena  $x_1=6$x1=6  och  $x_2=-3$x2=3 och dess graf skär $y$y -axeln i  $y=-36$y=36. Bestäm andragradsfunktionen.

Lösning

Vi skriver funktionen i faktorform med hjälp av nollställena.

Faktorformen  $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=a(xx1)·(xx2) och nollställena  $x_1=6$x1=6  och  $x_2=-3$x2=3 ger ekvationen

 $f\left(x\right)=a\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=a(x6)(x+3) 

Då grafen skär i  $y=-36$y=36 vet vi att grafen går genom punkten  $\left(0,\text{ }-36\right)$(0, 36), eftersom att för alla punkter som skär $y$y-axeln gäller att $x=0$x=0.  Vi sätter in värdena i funktionsuttrycket för att beräkna $a$a .

 $-36=a\left(0-6\right)\left(0+3\right)$36=a(06)(0+3) 

 $-36=a\left(-6\right)\left(3\right)$36=a(6)(3) 

 $-36=-18a$36=18a 

 $a=2$a=2 

Nu känner vi till $a$a och kan skriva ut hela funktionen i faktorform.

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=2·(x6)(x+3) 

Vill vi svara i utvecklad form får vi att

 $f\left(x\right)=2x^2-6x-36$ƒ (x)=2x26x36

eftersom att 

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)=2\left(x^2-3x-18\right)=$ƒ (x)=2·(x6)(x+3)=2(x23x18)= $2x^2-6x-36$2x26x36  

Observera att konstanttermen i funktionsuttryckets utvecklade form, alltid är densamma som $y$y-värdet för punkten där grafen skär $y$y -axeln. Alltså där $x=0$x=0.

Detta är förhoppningsvis bekant för dig från den linjära funktionen samt andragradsfunktionen, där $m$m -värdet respektive $c$c -värdet läses av vid grafens skärningspunkt med $y$y -axeln.

Exempel i videon

Ange den utritade andragradsfunktionens formel. Se bild i video.

Kommentarer

Klara Österberg

Har även en fundering gällande fråga 6. Om x-värdet för symmetrilinjen kan bestämmas genom -p/2, borde det inte i uppgiften gälla -b/2 = -1. (vi kan avläsa maximipunkten i grafen) Symmetrilinjen borde få omvänt tecken av b? Varför är svaret -2 och inte 2?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Klarar,
    för att påståenden att symmetrilinjens ekvation är lika med $x_{sym}=-\frac{p}{2}$ ska stämma gäller att koefficienten framför $x^2$ ska vara lika med en positiv etta.

    I vårt funktionsuttryck får vi att koefficienten $a=-1$ vilket ger att vi måste dividera med minus ett för att få symmetrilinjens ekvation. Vi får då att symmetrilinjens ekvation är lika med $\frac{-\frac{b}{2}}{-1}=\frac{b}{2}$, vilket i sin tur ger $x_{sym}=\frac{-2}{2}=-1$ då $b=-2$

Klara Österberg

Varför förenklas inte svaret i fråga 4 genom att dividera med 4 och få svaret f(x)=–x^2 +4x -3 ?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Klara,

    prova att rita upp grafen till funktionerna $f(x)=x^2 +4x -3$ och $f(x)=-4x^2 +16x -12$ med hjälp av en grafräknare eller något annat digitalt verktyg. Ser de lika dana ut?

    Andragradsfunktionen skrivs i allmänform som $f(x)=ax^2+bx+c$. Konstanten $a$ kommer att påverka grafens utseende i hur bred/smal den är och om den ät negativ eller positiv. Prova den interaktiva övningen Visualisera andragradsfunktionen. Du hittar den en bit ner i texten om du följer länken. Där kan du se varför du inte kan dividera bort fyran.

    JAg vill även göra dig uppmärksam på att om du nu skulle förkorta uttrycket $f(x)=-4x^2 +16x -12$ med fyra skulle du får resultatet $f(x)=-x^2 +4x -3$.

    Vill du få en etta framför $x^2$-termen måste du förkorta med minus fyra och får då uttrycket. $f(x)=x^2 -4x +3$. Alla termer få ombytt tecken vid division med ett negativt tal.

Sofia Lilja

Hej. Ang uppgift 5. Får att 2x^2 – 18 är fel trots att det ska vara rätt?

    David Admin (Moderator)

    f(Hej Sofia,

    Kan det vara så att du missat att skriva med $f(x)$ i svaret? I så fall får du tyvärr fel, även om ditt funktionsuttryck är korrekt.

    Om du svarat fel på någon uppgift kan du alltid klicka på facit och då kommer det upp en möjlighet att klicka fram ”korrekta varianter”.

    Hoppas detta var förklaring på din fråga.
    Lycka till!

Linus Jakobsson

Samma för sig som för Rasmus. Jag skriver svaret som det står att det ska skrivas men det blir ändå inte ”rätt”:

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Vi byter format på den uppgiften så att det skall bli enklare att få den korrekt. Tack för era kommentarer om detta.

Rasmus Mononen

Mitt svar är fel men ändå rättså nått sätt..?
Ditt svar: f(x)=-4x^2+16x-12
Rätt svar: f(x)=−4×2+16x−12

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är flera olika sätt att skriva uttrycket på som är korrekt i uppgiften. Vi skriver dock svaret i utvecklad form och med matematiska formler så det kan se lite olika ut från ditt svar.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (2)

c-uppgifter (6)

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 2
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Bilden visar en fontän i Sydkoreas huvudstad Seoul.

    Avståndet längs vattenytan från en stråles start till dess att strålen träffar vattnet är ungefär $2,3$2,3 m. Strålens högsta höjd över vattenytan är ungefär $3,1$3,1 m.
    Anta att strålens bana har samma form som grafen till en andragradsfunktion.

    Bestäm en funktion som beskriver strålens bana.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se