Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Andragradsfunktioner
Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt
Innehåll
I den här lektionen visar vi en metod för att ta fram andragradsfunktionens funktionsuttryck utifrån nollställen och en annan punkt.
Att konstruera funktionsuttryck till en graf
Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.
I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.
Polynomfunktion i faktorform
$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot…\cdot\left(x-x_n\right)$ƒ (x)=k(x−x1)·(x−x2)·…·(x−xn)
där $x_1$x1, $x_2$x2 och $x_n$xn är nollställenas $x$x -värden. Konstanten $k$k motsvarar koefficienten för termen med högst grad.
Detta ger att alla andragradsfunktioner $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c, med nollställena $x_1$x1 och $x_2$x2 i faktorform kan skrivas som
$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=a(x−x1)·(x−x2)
där $a$a motsvarar andragradstermens koefficient. Att vi vänjer att skriva $a$a istället för $k$k här är för att lättare associera det till koefficienten framför andragradstermen.
Nollställen och faktorer
Funktionens nollställen motsvarar $x$x -värdet där grafen skär $x$x -axeln. Alla nollställen har gemensamt, att deras $y$y-värde alltid är lika med noll.
En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform.
Om funktionen har ett nollställe då $x=a$x=a, så innebär det att funktionen i faktorform har en faktor $\left(x-a\right)$(x−a), som ger att funktionsvärdet blir noll.
Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Nollställena kan vi få fram genom att vi beräknar de värden på $x$x, som ger att faktor efter faktor blir lika med noll.
Om en funktion har två nollställen och dessa återfinns i $x=2$x=2 och $x=-5$x=−5, så innebär det att denna funktion består av faktorerna $\left(x-2\right)$(x−2) och $\left(x+5\right)$(x+5) . Vi kan då skriva funktionen i faktorform som $f\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x+5\right)$ƒ (x)=a(x−2)(x+5). Konstanten $a$a kan vi bestämma om vi känner till ytterligare en punkt på grafen.
Hur gör jag för att hitta nollställena?
Är grafen given kan vi läsa av nollställena. De motsvarar $x$x -värdena för de punkter där funktionen skär $x$x -axeln.
Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Med andra ord, vi sätter $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 och löser ekvationen och får på så vis fram dem.
Vilken annan punkt ska jag välja?
Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Alternativt tar vi fram en punkt till, genom att sätta in ett valfritt (definierat) värde på $x$x och beräkna det tillhörande funktionsvärdet ( $y$y-värdet).
Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen. Men en punkt som gör det extra enkelt att räkna med, är punkten där grafen skär $y$y -axeln. För denna punkt är $x=0$x=0. Om vi kallar den för $\left(0,\text{ }y_0\right)$(0, y0) får vi att
$y_0=k\left(0-x_1\right)\cdot\left(0-x_2\right)\cdot…\cdot\left(0-x_n\right)=k\cdot x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n$y0=k(0−x1)·(0−x2)·…·(0−xn)=k·x1·x2·…·xn
Alltså $k$k gånger alla nollställen. För denna punkt slipper du beräkna alla parentesers värde innan du multiplicerar dem. Du får fram värdet på $k$k direkt genom att dividera $y$y -värdet med alla nollställen.
$k=$k= $\frac{y_0}{x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n}$y0x1·x2·…·xn
Nu testar vi metoden i ett exempel.
Exempel 1
En andragradsfunktion har nollställena $x_1=6$x1=6 och $x_2=-3$x2=−3 och dess graf skär $y$y -axeln i $y=-36$y=−36. Bestäm andragradsfunktionen.
Lösning
Vi skriver funktionen i faktorform med hjälp av nollställena.
Faktorformen $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=a(x−x1)·(x−x2) och nollställena $x_1=6$x1=6 och $x_2=-3$x2=−3 ger ekvationen
$f\left(x\right)=a\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=a(x−6)(x+3)
Då grafen skär i $y=-36$y=−36 vet vi att grafen går genom punkten $\left(0,\text{ }-36\right)$(0, −36), eftersom att för alla punkter som skär $y$y-axeln gäller att $x=0$x=0. Vi sätter in värdena i funktionsuttrycket för att beräkna $a$a .
$-36=a\left(0-6\right)\left(0+3\right)$−36=a(0−6)(0+3)
$-36=a\left(-6\right)\left(3\right)$−36=a(−6)(3)
$-36=-18a$−36=−18a
$a=2$a=2
Nu känner vi till $a$a och kan skriva ut hela funktionen i faktorform.
$f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=2·(x−6)(x+3)
Vill vi svara i utvecklad form får vi att
$f\left(x\right)=2x^2-6x-36$ƒ (x)=2x2−6x−36
eftersom att
$f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)=2\left(x^2-3x-18\right)=$ƒ (x)=2·(x−6)(x+3)=2(x2−3x−18)= $2x^2-6x-36$2x2−6x−36
Observera att konstanttermen i funktionsuttryckets utvecklade form, alltid är densamma som $y$y-värdet för punkten där grafen skär $y$y -axeln. Alltså där $x=0$x=0.
Detta är förhoppningsvis bekant för dig från den linjära funktionen samt andragradsfunktionen, där $m$m -värdet respektive $c$c -värdet läses av vid grafens skärningspunkt med $y$y -axeln.
Exempel i videon
Ange den utritade andragradsfunktionens formel. Se bild i video.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (2)
-
1. Premium
Vilka är andragradsfunktionens nollställen då $f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+4\right)$ƒ (x)=(x−2)(x+4)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Vilka är andragradsfunktionens nollställen då $f\left(x\right)=\left(13-x\right)\left(x+7\right)$ƒ (x)=(13−x)(x+7)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (6)
-
3. Premium
Punkterna $\left(5,0\right)$(5,0) och $\left(-4,0\right)$(−4,0) tillhör grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x). Bestäm $n$n för andragradsfunktionen $f\left(x\right)=\left(x-n\right)\left(x+4\right)$ƒ (x)=(x−n)(x+4) .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Ange andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) vars graf har nollställena $x_1=1$x1=1 och $x_2=3$x2=3 och går genom punkten $\left(4,-12\right)$(4,−12).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation andragradsfunktion Funktionsuttryck nollställen parabelRättar... -
-
5. Premium
Ange en andragradsfunktion $f\left(x\right)$ƒ (x) vars graf går genom punkterna $(-3,0)$(−3,0) och $\left(3,0\right)$(3,0) samt har sitt minsta värdet i punkten $\left(0,-18\right)$(0,−18).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
6. Premium
Figuren visar grafen till andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c.
Bestäm konstanterna $a$a , $b$b och $c$c.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
7. Premium
Ange andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) som bara har ett nollställe vid $x=2$x=2 och vars graf går genom punkten $\left(6,10\right)$(6,10).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
8. Premium
Andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c har endast ett nollställe och dess graf går genom punkten $\left(3,27\right)$(3,27).
Dessutom är symmetrilinjens ekvation $x_{sym}=0$xsym=0.
Bestäm konstanterna $a$a, $b$b och $c$c.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Nollställen och SymmetrilinjeRättar... -
a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Bilden visar en fontän i Sydkoreas huvudstad Seoul.
Avståndet längs vattenytan från en stråles start till dess att strålen träffar vattnet är ungefär $2,3$2,3 m. Strålens högsta höjd över vattenytan är ungefär $3,1$3,1 m.
Anta att strålens bana har samma form som grafen till en andragradsfunktion.Bestäm en funktion som beskriver strålens bana.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Icke linjär regression Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punktLiknande uppgifter: andragradfunktioner funktion funktionsanpassning regressionRättar... -
Klara Österberg
Har även en fundering gällande fråga 6. Om x-värdet för symmetrilinjen kan bestämmas genom -p/2, borde det inte i uppgiften gälla -b/2 = -1. (vi kan avläsa maximipunkten i grafen) Symmetrilinjen borde få omvänt tecken av b? Varför är svaret -2 och inte 2?
Anna Admin (Moderator)
Hej Klarar,
för att påståenden att symmetrilinjens ekvation är lika med $x_{sym}=-\frac{p}{2}$ ska stämma gäller att koefficienten framför $x^2$ ska vara lika med en positiv etta.
I vårt funktionsuttryck får vi att koefficienten $a=-1$ vilket ger att vi måste dividera med minus ett för att få symmetrilinjens ekvation. Vi får då att symmetrilinjens ekvation är lika med $\frac{-\frac{b}{2}}{-1}=\frac{b}{2}$, vilket i sin tur ger $x_{sym}=\frac{-2}{2}=-1$ då $b=-2$
Klara Österberg
Varför förenklas inte svaret i fråga 4 genom att dividera med 4 och få svaret f(x)=–x^2 +4x -3 ?
Anna Admin (Moderator)
Hej Klara,
prova att rita upp grafen till funktionerna $f(x)=x^2 +4x -3$ och $f(x)=-4x^2 +16x -12$ med hjälp av en grafräknare eller något annat digitalt verktyg. Ser de lika dana ut?
Andragradsfunktionen skrivs i allmänform som $f(x)=ax^2+bx+c$. Konstanten $a$ kommer att påverka grafens utseende i hur bred/smal den är och om den ät negativ eller positiv. Prova den interaktiva övningen Visualisera andragradsfunktionen. Du hittar den en bit ner i texten om du följer länken. Där kan du se varför du inte kan dividera bort fyran.
JAg vill även göra dig uppmärksam på att om du nu skulle förkorta uttrycket $f(x)=-4x^2 +16x -12$ med fyra skulle du får resultatet $f(x)=-x^2 +4x -3$.
Vill du få en etta framför $x^2$-termen måste du förkorta med minus fyra och får då uttrycket. $f(x)=x^2 -4x +3$. Alla termer få ombytt tecken vid division med ett negativt tal.
Sofia Lilja
Hej. Ang uppgift 5. Får att 2x^2 – 18 är fel trots att det ska vara rätt?
David Admin (Moderator)
f(Hej Sofia,
Kan det vara så att du missat att skriva med $f(x)$ i svaret? I så fall får du tyvärr fel, även om ditt funktionsuttryck är korrekt.
Om du svarat fel på någon uppgift kan du alltid klicka på facit och då kommer det upp en möjlighet att klicka fram ”korrekta varianter”.
Hoppas detta var förklaring på din fråga.
Lycka till!
Linus Jakobsson
Samma för sig som för Rasmus. Jag skriver svaret som det står att det ska skrivas men det blir ändå inte ”rätt”:
Simon Rybrand (Moderator)
Hej! Vi byter format på den uppgiften så att det skall bli enklare att få den korrekt. Tack för era kommentarer om detta.
Rasmus Mononen
Mitt svar är fel men ändå rättså nått sätt..?
Ditt svar: f(x)=-4x^2+16x-12
Rätt svar: f(x)=−4×2+16x−12
Simon Rybrand (Moderator)
Det är flera olika sätt att skriva uttrycket på som är korrekt i uppgiften. Vi skriver dock svaret i utvecklad form och med matematiska formler så det kan se lite olika ut från ditt svar.
Endast Premium-användare kan kommentera.