Nationellt prov Matematik 2a vt 2013 Del D

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\left(2,\text{ }5\right)$(2, 5) och  $\left(6,17\right)$(6,17).

Lös ekvationen $x^3=320$x³=320.

Endast svar krävs.

Petter ska bestämma antalet nollställen till tre andragradsfunktioner $f,\text{ }g$ƒ , g och $h$h. Han har ritat funktionerna med hjälp av en grafräknare. Bilden visar fönstret på grafräknaren.

Petter säger: ”Jag måste ändra inställningen på axlarna, så jag kan se mer av graferna.”

Petters lärare John säger: ”Det behöver du inte, du kan redan nu se hur många nollställen var och en av andragradsfunktionerna har.”

Ange antalet nollställen till var och en av funktionerna  $f,\text{ }g$ƒ , g och $h$h samt förklara hur du kan bestämma detta med hjälp av den givna bilden.

Ellen och Irma ska ha en filmkväll och köper läsk och godis. Ellen betalar $86$86 kronor för två läsk och fyra godispåsar. Irma köper tre läsk och två godispåsar och betalar $68$68 kronor.

Beräkna vad en läsk respektive en godispåse kostar.

En rektangulär hage ska byggas mot en mur. Det finns $52$52 meter stängsel som ska räcka till tre av sidorna eftersom den fjärde sidan utgörs av muren.
Se figur.

Teckna ett uttryck för arean och bestäm vilka mått hagen ska ha för att dess area ska bli så stor som möjligt.

Under senare tid har vildsvinsstammen i Sverige fördubblats vart tredje år.

Vildsvinsstammen kan beskrivas med en exponentiell modell  $y=15\text{ }000\cdot2^{\frac{x}{3}}$y=15 000·2^x3   där $y$y är antalet vildsvin och $x$x är antal år efter år $2000$2000. 

a) Hur många vildsvin fanns det år $2010$2010 enligt modellen?

b) Hur många procent per år växer vildsvinsstammen enligt modellen?

Ozonskiktet som omger Jorden skyddar oss från UV-strålning. Ozonskiktets tjocklek mäts i enheten Dobson Unit (DU).

Sedan 1980-talet mäter SMHI ozonskiktets tjocklek över olika platser i Sverige, bland annat över Norrköping. Mätvärdena från 1 juni till 31 december år 2008 kan enligt en förenklad modell beskrivas av andragradsfunktionen

 $f\left(x\right)=0,0052x^2-1,4x+378$ƒ (x)=0,0052x²−1,4x+378,    $0\le x\le210$0≤x≤210 

där $f\left(x\right)$ƒ (x) är ozonlagrets tjocklek i enheten DU och $x$x är antal dagar efter 1 juni.

a) Bestäm $f\left(0\right)$ƒ (0)  och beskriv hur $f\left(0\right)$ƒ (0) kan tolkas i detta sammanhang.

När meteorologer talar om ozonhål menar de egentligen områden där ozonskiktets tjocklek är mindre än $220$220  DU. Det är alltså inte frågan om ett hål utan snarare om ett tunnare ozonskikt.

b) Uppstod det ett ozonhål i Norrköping under perioden 1 juni till 31 december 2008? Motivera ditt svar.

Figuren visar ett koordinatsystem med de båda linjerna $L_1$L₁ och $L_2$L₂.

Linje $L_1$L₁ har ekvationen $y=2x-2$y=2x−2 och linje $L_2$L₂ har ekvationen $y=kx+m$y=kx+m 
Linjerna skär varandra i punkten $\left(3,\text{ }4\right)$(3, 4) och bildar tillsammans med den positiva $x$x-axeln en triangel med arean $12$12 ae.

Bestäm ekvationen för linje $L_2$L₂ 

Sonya och Bert ska gräva ett $20$20 meter långt dike längs en av tomtgränserna vid sitt hus. Jorden som de gräver upp tänker de köra till återvinningscentralen. De vet att de måste betala en avgift till återvinningscentralen om jordens volym är mer än $10$10 m$^3$³ 

Bert: – Undra hur stort dike vi kan gräva utan att behöva betala avgift till återvinningscentralen?

Sonya: – Jag har läst att ett bra dike ska ha samma bottenbredd som djup. Dikets markbredd ska vara $0,5$0,5 meter längre än bottenbredden.

Bert: – Om jag ritar en skiss på tvärsnittsarean för ett sådant dike så kan vi räkna ut hur stort dike vi kan gräva utan att behöva betala avgiften.

Vilka är de största måtten ett sådant dike kan ha om diket är $20$20 meter långt och om Sonya och Bert vill slippa betala avgift till återvinningscentralen?