...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Statistik

Repetition Statistik

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Men hjälp av den här lektionen kan du repetera grunderna i statistiken. Vi tittar på begreppen median, medelvärde, variationsbredd och typvärde. Vi och repeterar även vår förståelse av lägesmått och spridningsmått.

Statistik inom matematik

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Statistik kallas den del inom matematiken som sammanställer, tolkar och analyserar information om något. Det kan vara analys av människor, djur, naturs beteende eller egenskaper, om ekonomi eller egentligen vad som helst. Med statistiska beräkningar försöker man hitta mönster, logik, samband och kunna göra slutledningar om t.ex. människors åsikter, tankar eller värderingar.

Ett vanligt exempel är att göra en undersökning om vilket parti befolkningen kommer att rösta på i nästa val. Man tar då ett så kallat stickprov på ett tusental människor, och frågar dessa vad de kommer att rösta på. Man väljer att tolka resultatet utifrån att stickprovet representerar hela Sveriges åsikter. Detta matematiska tillvägagångssätt kallas för statistik.

Under historiens gång har matematiker förfinat denna gren inom matematiken och utvecklat metoder som ger analyserna större och större samstämmighet med verkligheten och olika skeenden.

Grundbegrepp inom statistiken

I lektionen går vi igenom de grundbegrepp du behöver kunna för att själv göra sådana undersökningar. Gå till respektive lektion för att repetera enskilda begrepp eller få en fördjupning. Viktiga grundbegrepp att kunna är följande.

Statistik

Den gren inom matematiken som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information kallas statistik.

Datamängd

Alla de olika resultat och/eller mätvärden man får in vid en undersökning kallas för datamängden.

Observation

De resultat och/eller iakttagelser man gör i samband med en undersökning kallas för observationer. Observationerna delas sedan in i olika observationsvärden för att lättare sortera och kategorisera de olika observationerna.

Frekvens

Antalet gånger varje observationsvärde förekommer kallas för observationens frekvens

Relativ frekvens

Frekvensen angiven som en andel, oftast i procent, kallas relativ frekvens.

Lägesmått

Lägesmått är värden som sammanfattar alla mätvärden i en datamängd med ett enda representativt värde.

Spridningsmått

Spridningsmått anger hur observationerna i datamängden varierar kring lägesmåttens värden.

Medelvärde

Medelvärdet anger datamängdens genomsnittliga värde.

 $\text{Medelvärde}=$Medelvärde= $\frac{\text{Summan av alla värden}}{\text{Antal värden}}$Summan av alla värdenAntal värden  

Median

Medianen anger mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

Typvärde

Typvärdet motsvarar det vanligast förekommande värdet i en datamängd. Alltså det värde med högst frekvens.

Variationsbredd

Variationsbredden är ett spridningsmått som anger skillnaden mellan det största och det minsta värdet.

I lektionen lägesmått och spridningsmått går vi igenom exempel på hur man genomför beräkningar på de olika värdena.

Olika diagram

Beroende på vilken datamängd du vill presentera lämpas sig olika diagram olika bra. Här repeterar vi nu de diagram vi gick igenom mer ingående i lektionen Diagram och tabeller.

Stolpdiagram

Ett stolpdiagram lämpar sig väl då observationerna motsvarar vissa värden, ofta numeriska heltalsvärden.

Stolpdiagram

Stapeldiagram

Ett stapeldiagram lämpar sig väl då observationerna motsvarar något annat än tal. I stapeldiagrammet är staplarna bredare än i ett stolpdiagram.

Stapeldiagram

Cirkeldiagram

Om man har ett litet antal olika observationer kan cirkeldiagrammet vara ett bra sätt att redovisa sin data.

Cirkeldiagram

De olika sektorerna i cirkeln motsvarar tillsammans  $100\%$100%  av datamängden. Vinkeln för varje sektor beräknas genom att multiplicera andelen i decimalform med  $360^{\circ}$360

Linjediagram

Ett linjediagram är lämpligt när man vill visa hur något förändras över tid.

Linjediagram

Histogram

I lektionen lägesmått och spridningsmått presenterar vi ett nytt diagram som kallas för histogram.

Histogram

I histogrammet delar man in datamängden i olika intervall, så kallade klasser, för att få ett mer överskådligt diagram om datamängden är väldigt utspridd.

Lådagram

Lådagram är ett diagram som visar spridningsmått på ett tydligt vis. Den redovisade datamängden i lådagrammet motsvarar alltid $100$100 % av datamängden.

Kvartiler på lådagram

I lektionen lådagram går vi ingående igenom hur man läser av och konstruerar ett lådagram.

Lägesmått och spridningsmått

I andra lektioner fördjupar vi vår förståelse av lägesmått och spridningsmått  samt några diagram.

Spridningsmått och lägesmått presenteras ofta tillsammans för att beskriva en undersökningsresultat så bra som möjligt.

I högstadiets kurser och Matematik 1 går vi mer ingående igenom lägesmåtten medelvärde, median och typvärde. Där diskuterar vi även att de olika lägesmåtten passar bra att använda i olika situationer. Genom att känna till hur datamängdens observationer är fördelade kan man lättare avgöra vilket lägesmått som lämpar sig bäst.

I denna kurs kommer vi att fördjupa lägesmåtten genom att jobba med material som är normalfördelade. Det innebär att de fördelas sig på ett särskilt vis kring medelvärdet. Men mer om det i en kommande lektion.

Är datamängden någorlunda normalfördelad är medelvärdet ett bra lägesmått. Däremot kan medianen eller typvärdet vara ett mer rättvisande lägesmått om materialet är snedfördelat. Med andra ord får man vara observant på vilket mått som ger det tydligaste och mest sanningsenliga informationen. Sammanfattningsvis gäller att för olika datamängder är de tre lägesmåtten olika missvisande.

Återvänd till lektionen medelvärde, median och typvärde, samt lägesmått och spridningsmått  om du känner att du behöver repetera.

I en datamängd där observationerna har en liten spridning är de flesta värden nära varandra. Däremot säger man om en datamängd där värdena skiljer sig mycket från varandra, att spridningen är stor.

Vi har redan bekantat oss med spridningsmåttet variationsbredd.

I kommande lektioner kommer vi introducera spridningsmåtten standardavvikelse, varians, percentilavstånd och variansbredd.

Som vi tidigare nämnde presenteras spridningsmått och lägesmått ofta tillsammans för att beskriva en undersökningsresultat så bra som möjligt.

Exempel 1

 Tänk dig att $2$2  personer kastar dart. Nedan följer deras poäng för fyra kast var.

Poäng person 1
${ 10, 10, 10, 10 }$

Poäng person 2
${ 0, 0, 0, 40 }$

För vem gick det bäst?

Lösning

Båda personerna fick totalpoängen $40$40 och medelvärdet $10$10 poäng. Men det är ganska stor skillnad mellan de två personernas resultat.

Person 1 är antalet poäng väldigt samlat kring medelvärdet. Eller rättare sagt, inget värde avviker alls från medelvärdet $10$10. Alla värden är till och med lika med medelvärdet. 

Däremot avviker alla värdena ganska mycket från medelvärdet $10$10 poäng för person 2. Därmed har person 2 en större spridning.

Sammanfattningsvis har personerna olika spridning, även om medelvärdet är detsamma. Men för vem det gick bäst? Ja, det är lite svårt att avgöra…

De olika måtten visar alltså olika saker. Därför är det viktigt att tänka efter en extra gång hur representativt eller rättvisande ett mått verkligen är i förhållande till datamängden.

Summatecknet som skrivsätt vid beräkning av medelvärde

För att slippa skriva så mycket kan vi använda oss av summatecknet  $\Sigma$Σ  när vi beräknar medelvärdet. Detta skrivsätt dyker vanligtvis endast upp i Matematik 2c om ens där.

Medelvärde

 $\overline{x}=$x= $\frac{x_1+x_2+x_3+…+x_n}{n}$x1+x2+x3++xnn   där  $\overline{x}$x är medelvärdet av $n$n antal observationer.

Då summan  $x_1+x_2+x_3+…+x_n$x1+x2+x3++xnkan skrivas som  $\sum^{^n}_{_{_{k=1}}}x_k$nk=1xk   kan vi även teckna medelvärdet på följande vis.

Medelvärde

 $\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^n}}x_k}{n}$k=1nxkn     där  $\overline{x}$x är medelvärdet av $n$n antal observationer.

Uttrycket i täljaren läses som ”Summa  $x_k$xk då $k$k går från $1$1 till $n$n”. 

Exempel 4

a) Hur många observationer ingår i datamängden vars medelvärde motsvara likheten  $\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^7}}\left(2k\right)}{7}$k=17(2k)7    

b) Beräkna medelvärdet $\overline{x}$x 

Lösning

a) Vi jämför vårt medelvärde med den ursprungliga formeln. 

 $\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^n}}x_k}{n}$k=1nxkn    

Eftersom att $n$n är antal observationer ser vi att det är $7$7 stycken observationer.

b) Vi sätter in våra värden och får att då

 $\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^7}}\left(2k\right)=2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5+2\cdot6+2\cdot7=56$k=17(2k)=2·1+2·2+2·3+2·4+2·5+2·6+2·7=56 

får vi att medelvärdet  $\overline{x}$x  är

$\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^7}}2k}{n}=\frac{56}{7}=$k=172kn =567 = $8$8

Så medelvärde är $8$8.     

Exempel i videon

  • Beräkna medelvärde, median, variationsbredd och typvärde för längden på 5 personer.
  • Hur en statistisk undersökning kan genomföras.

Kommentarer

Yaiya Siekas

Men snälla Simon Rybrand och Anna Admin, vi är tre stycken som säger att största värdet är 8 och inte 6 eller 5. Alltså måste variationsbredden vara 8 – 1 = 7? Eller har jag blivit helt galen?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Yaiya.

    Se gärna min kommentar till Per-Olov. Hoppas den kan förtydliga hur vi räknat.

Erik Olsson

På första frågan är inte största värdet 6.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej.

    Vi söker inte största värdet utan variationsbredden. Den får du genom att ta största värden minus minsta värdet, vilket i detta fall är $6-1=5$

      Per-Olov Sundman

      Fråga nummer 1: Största värde i stapeldiagrammet är 8 så variationsbredden = 8-1 = 7. Inte 6-1 = 5 som står som ”rätt svar”.

        Anna Admin (Moderator)

        Hej Per-Olov,
        När man talar om ”största värdet” så syftas det i detta fallet på poängen, inte frekvensen. Alltså inte hur många som fått ett enskilt värde, i detta fall olika poängsummor, utan vilka värden, poängsummor. Vi är alltså intresserad av variationsbredden på poängen. Det högsta poängen i uppgiften är $6$ poäng och det minsta $1$. Där av variationsbredden $6-1=5$.

        Skulle vi söka variationsbredden på frekvensen, vilket är mer ovanligt, så skulle vi fått $8-1=7$. Men så var inte fallet här.

Nebosja Kostic Hermods Gymnasium STHL

I uppgift 1. Bestäm variationsbredden på datamängden som redovisas i stapeldiagrammet.
är variationsbredden 8-1=7 och inte 6-1=5 som ni föreslår i facit

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej, det stämmer med $6-1=5$, då det är variationsbredden på poängen som avses.

      Yaiya Siekas

      VA? Största värdet är ju 8 och minsta värdet är 1. Då är väl ändå variationsbredden 7? Annars förstår jag inte

John Parman

Hur räknar man typvärde om det inte finns något exakt likadant förekommande värde såsom : 20, 40, 50, 60, 100 tex

    Simon Rybrand (Moderator)

    Man kanske kan säga att typvärde är ett irrelevant mätvärde med en sådan utfallsmängd. Har du en uppgift på just detta eller är det mer en fundering?

B.E

Hej igen! Äsch förlåt, jag glömde att lista värdena från minsta till högsta. Då blir det ju mycket riktigt 14, inte 20. Sorry!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ingen fara! Fortsatt lycka till med statistiken!

B.E

Hej!

Jag har gjort uppgift 2 i statistikdelen. Ni skriver att medianen blir 14, men det kan ju inte stämma om man räknar. Jag får det till 20, har jag fel och hur tänker ni i så fall? / Boel

Perihan Yildiz Göker

har ni inga mer statistik videos?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jodå det har vi, gå till Matematik 2 och kika under kapitlet Statistik så hittar du mer.

petroffaw

Hej! En fråga om medianvärde på en udda serie som i fråga 2, varför väljs 20 och inte 14?
Med vänliga hälsningar Petra Wikström

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Petra, för att kunna hitta medianvärdet krävs att man ordnar talen i ordningsföljd först. Så när detta är gjort så blir mittentalet (medianen) 14.

Sinisa

32 år som medelåldern när de lämnar första våningen 🙂

    Sackeus

    Hur ser den uträkning ut, som du använder för att komma fram till det?

      Victor Hartman

      (a+b+c+d+e)/5 = 30 år

      a+b+c+d+e = 30 * 5 = 150

      a+b+c+d+X = 150 + 10 = 160

      (a+b+c+d+X)/5 = 160/5 = 32 år

        ilyaas cabdi

        hej!! på den sista fråga gjorde jag så här x+1+4-x+4=9 –> x= 4 Men ni säger x=10 hur? om man lägger ihop alla tre åldrar ” Bo,lasse och Lisa” det ska blir 9 det fattar jag.
        men 3x – 3 / 3 det fattar jag inte, vrf ska man dividera med 3? hur fick ni fram 3x-3
        plus när jag la hopp alla tre då STÄMDE VL=HL x=10 ”Lasse” Z=x+1 –> 11 ”Bo” och ”Lisa” y=4-10=-6 11 + (-6) + 10 inte lika med 9
        ville komma fram till om lägger ihop x+z+y = 9 VL och Hl är inte lika

          Anna Admin (Moderator)

          Hej Ilyaas.

          Det är inte summan av alla åldrarna som är nio, utan medelvärdet av syskonens åldrar. Vi beräknar medelvärden genom att beräkna kvoten mellan summan av alla värden dividerat med antal värden.
          Alltså $\text{Syskonens medelålder}=\frac{\text{Summan av syskonens åldrar}}{\text{Antalet syskon}}$

          Om Lasse är $x$ år, blir summan av syskonens ålder $x+(x+1)+(x-4)=3x-3$ år, eftersom att Bo är ett år äldre än Lasse (x+1) och Lisa fyra år yngre (x-4). Nu kan vi med hjälp av ekvationen $9=\frac{3x-3}{3}$ bestämma $x$.
          Hoppas detta gick att förstå. Hör av dig igen annars.
          Lycka till med ekvationerna!

mitchtimmy

Hej, har ett exempel med medelvärde som jag tycker är svårt

I en hiss som startar från bottenvåningen är medelåldern på personerna i hissen 30 år. Vid nästa stopp, på första våningen, kliver en person ur hissen och en person kliver på. Vad är medelåldern på personerna i hissen när den lämnar första våningen?

(1) Den som kliver på hissen vid första våningen är 10 år äldre än den som kliver ur.
(2) Det är fem personer i hissen när den startar från bottenvåningen.

Miguel

Gjorde ett tal i boken häromdagen och undrat över den sen dess.

Om två tärningar kastas. Vilken händelse har störst sannolikhet att poängsumman blir 5 eller att poängsumman blir 10?

Borde det inte vara svaret vara 10?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det finns fler alternativ som ger summan 5 än summan 10 så det är störst sannolikhet att få summan 5.
    Summan 5 ges av kombinationerna:
    (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) total 4 st.

    Summan 10 ges av kombinationerna:
    (4,6), (5,5), (6,4) total 3 st.

Harryhult

Medianen: Man tar dom två talen i mitten, adderar dom och delar på två.

Om det är ett jämnt antal tal.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för din kommentar
    Precis så fungerar det. Det kan vara viktigt att känna till att medianen beräknas lite olika för olika antal värden i den data man har samlat in vid en undersökning.
    Ojämnt antal värden: Mittentalet är medianen.
    Jämnt antal värden: Medianen är medelvärdet av de två mittersta talen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Är medelvärdet, medianen eller typvärdet störst i undersökningen som presenteras i stapeldiagrammet nedan?

    Stapeldiagram

    Träna på att motivera ditt svar.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser.

    Nationellt prov Mab vt05 uppgift 2

    Vilken arbetsplats har den största variationsbredden?

    Endast svar fordras.(NpMaB vt2005)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser.

    Nationellt prov Mab vt05 uppgift 2

    Hur stor är den största variationsbredden på åldern?
    Endast svar fordras.(NpMaB vt2005)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Anton ska ta körkort och undersöker priserna hos ”Centrala trafikskolan”.
    Grafen visar totala kostnaden för teorikurs och körlektioner.

    NPvt13 uppg15

    Lotta berättar att hon har betalat $9\text{ }500$9 500 kr för teorikurs och körlektioner hos ”Centrala trafikskolan”. Hur många körlektioner har hon då tagit?

    (NP vt13)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    I tabellen nedan visas lönerna för en antal anställda på ett företag.

    Tabell över löner

    Vilket av lägesmåtten median, medelvärde eller typvärde är mest lämpligt att använda
    för att beskriva de anställdas lönenivå?

    Ange endast ett lägesmått i svaret, men träna även på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    (Ma2c)

    Hur många observationer ingår i datamängden vars medelvärde motsvara likheten  $\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^4}}3k}{4}$k=143k4    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    (Ma2c)

    Beräkna medelvärdet för  $\overline{x}=$x= $\frac{\sum_{_{_{k=1}}}^{^{^4}}3k}{4}$k=143k4    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se