...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Statistik

Standardavvikelse

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Standardavvikelse är ett spridningsmått som beskriver hur mätdata avviker från medelvärdet. I den här genomgången lär du dig både hur detta spridningsmått fungerar samt hur du för hand kan räkna ut det.

Varians

För att kunna beräkna standardavvikelsen behöver man även beräkna variansen. Variansen är ett medelvärde av hur mycket observationsvärdena i kvadrat skiljer sig från undersökningens medelvärde. 

 $\text{Varians}=$Varians= $\frac{\text{summan av avvikelserna i kvadrat}}{\text{antal observationer}-1}$summan av avvikelserna i kvadratantal observationer1   

Variansen beräknas genom att du först beräknar varje observationsvärdes avvikelse mot medelvärdet, kvadrerar den differensen och sedan summerar alla dessa avvikelser i kvadrat. Du dividerar sedan med antalet observationsvärden $-1$1.

Då varje avvikelse är differensen mellan observationsvärdet  $x_n$xn och medelvärdet $\overline{x}$x  skriver vi variansen med följande kvot.

 $\text{Varians}=$Varians=  $\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}$(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n1 

Anledningen till att man kvadrerar avvikelsen är att man vill få alla avvikelser till positiva värden. Det gör man för att undvika att  positiva och negativa värden på avvikelser tar ut varandra. Att man tar $-1$1 i nämnaren beror på att det har visat sig stämma bättre med avvikelsen i den totala populationen om man gör det. Har man däremot gjort en totalundersökning utan att behöva göra ett stickprov dividerar man med bara n.

Standardavvikelse

Nästa steg är att beräkna själv standardavvikelsen. När du väl har variansen är detta mycket enkelt. Man tar helt enkelt bara roten ur variansen (vilket kan kännas logiskt med tanke på att vi tidigare kvadrerade värdena på avvikelserna).

$ \text{Standardavvikelse} = \sqrt{varians} $

Lägger man ihop dessa formler så får man

$S=$S= $\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}}$(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n1   

Vi kan sammanfatta metoden att beräkna standardavvikelsen i en undersökning så här:

  1. Beräkna medelvärdet av undersökningens resultat
  2. Beräkna varje observationsvärdes avvikelse från medelvärdet
  3. Kvadrera alla avvikelse-värden och summera dessa
  4. Beräkna variansen
  5. Beräkna standardavvikelsen

För en större datamängd förväntas du dock aldrig sitta och beräkna standardavvikelsen för hand. Detta är ett typexempel på när räknaren eller datorn kommer väl till pass. Se lektion: Digitala metoder för att bestämma spridningsmått

När du skriver in datamängd i ditt digitala verktyg får du två olika standardavvikelser

 $s$s – standardavvikelsen i ett stickprov (som beräknas med formeln ovan)

 $\sigma$σ – standardavvikelsen om datamängden utgör en totalpopulation (samma formel med skillnaden att man dividerar med n och inte  $n-1$n1 )

Exempel 1

Tabellen nedan visar vikten av fem godispåsar. Beräkna standardavvikelsen.

Tabell över vikt

Lösning

Vi börjar med att bestämma medelvärdet. 

 $\text{Medelvärdet}_A$MedelvärdetA  $=\frac{200+196+202+225+187}{5}=$=200+196+202+225+1875 = $202$202 

Sätter vi sedan in alla värden direkt får vi att 

  $S=$S= $\sqrt{\frac{(200-202)^2+(196-202)^2+(202-202)^2+(225-202)^2+(187-202)^2}{5-1}}$(200202)2+(196202)2+(202202)2+(225202)2+(187202)251  $\approx$ $14,1$14,1  

Men det kan vara vist att dela upp det i steg till att börja med för att inte få fel.

Beräkna i så fall först differensen mellan alla värden och medelvärdet, det vi kallas avvikelserna, och kvadrera dem.

 $(200-202)^2=\left(-2\right)^2=4$(200202)2=(2)2=4  

 $(196-202)^2=\left(-6\right)^2=36$(196202)2=(6)2=36

$(202-202)^2=0$(202202)2=0 

 $(225-202)^2=23^2=529$(225202)2=232=529

 $(187-202)^2=\left(-15\right)^2=225$(187202)2=(15)2=225 

för att sedan addera dem

 $4+36+0+529+225=794$4+36+0+529+225=794 

och dividera med antalet observationer minus ett

 $\text{Variansen}=$Variansen= $\frac{4+36+0+529+225}{5-1}=$4+36+0+529+22551 = $198,5$198,5 

Nästa steg är att dra roten ur variansen för att få standardavvikelsen.

   $S=\sqrt{198,5}\approx14,1$S=198,514,1 

Standardavvikelsen är ca   $14,1$14,1.

Exempel i videon

  • Per har ett fint jordgubbsland och registrerar sin totala skörd i kg under sex år. Medelvärdet blir $51$51 kg. Se tabell för data kring skördarna.
  • Beräkna standardavvikelsen för följande datamängd: $11,\text{ }12,\text{ }15,\text{ }8,\text{ }9$11, 12, 15, 8, 9.
  • För att mäta spridning av antalet mördarsniglar (spansk skogssnigel) i en trädgård mäter man frekvensen av antal sniglar med olika längd och får datan nedan (se video). Beräkna medelvärde, avvikelser, varians och standardavvikelse.

Kommentarer

Gustav Nilsson

på fråga 11, hur vet man att det bara är 3 observationer?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Gustav,

    det är inte tre observationer, utan för att minska standardavvikelsen från 30 till 10 behöver vi dividera med 3. Standardavvikelsen blir tre gånger mindre.

André Bakas-Carlsten

Hej i fråga 6 just nu delar ni slutligen på 9 och inte 9-1 som tidigare i uträkningen och får då svaret 1,2 istället för 1,25. De ser ut som ett misstag?

Hanna Lundqvist

Hej på er! Jag skulle önska att ni gjorde om övningarna till denna lektion något. Jag tycker inte att det är befogat att eleverna ska lägga den mängd tid som krävs för att räkna ut standardavvikelsen (eller för den delen variansen) för hand från redan första frågan och sedan på flera som följer. I kursbeskrivningen för Ma 2 står det att man ska kunna beräkna standardavvikelse med räknare och då tycker jag att det är lämpligt att eleverna använder det verktyget istället för formeln så fort det är fler än låt oss säga 5 olika värden att ta hänsyn till. Som det är konstruerat nu fastnar svaga elever i en lång uträkning på redan fråga 1 och starkare elever sitter och lägger tid på procedurräkning som inte känns meningsfull för varken förståelse eller ökad procedurkunskap.  Standardavvikelse är för mig främst med i kursen som ett medel för att förstå normalfördelning och spridningsmåttens användning, inte för att öva sig i att stoppa in en mängd siffror i en omständig formel och räkna för hand, det är ju det vi har våra digitala hjälpmedel till.
Mvh Hanna Lundqvist
Ps. det här är något som jag upplevt på fler lektioner och som ibland gör att jag känner mig tveksam till att använda ert hjälpmedel, dvs det blir för stor fokus på långa omständiga procedurer som tar fokus och tid från problemlösning och djupförståelse av begreppen. 

Pelin Glemark

Hur många gånger jag än räknar på uppgift 5 som tillhör denna video får jag medelvärdet till 3,36 och inte 4. Täljaren blir enligt mina beräkningar 148 ( alltså 8⋅1+10⋅2+7⋅3+4⋅4+7⋅5+8⋅6) och nämnaren blir av vad jag får till 44 (alltså 8+10+7+4+7+8). 148/44≈3,36, vilket gör att standardavvikelsen bör bli √3,26≈1,81. Tänker jag helt fel här?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det var ett fel i den beräkningen. Vi korrigerar detta omedelbums! Tack för att du sade till 🙂

Berkan991

när man beräknar standardavvikelsen använder man oftast miniräknare eller utan miniräknare?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Räknare behövs (oftast) om inte siffrorna är väldigt anpassade.

Carolina Eriksson

Hur räknar man ut avvikelserna från medelvärdet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om man har ett medelvärde på 10 och har värdet 12 så är avvikelse 12-10=2.

Elizabeth Ramos

Jag förstår inte hur man får fram avvikelserna ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har du ett enkelt exempel som du jobbar med? Lättare att förklara då.

shamim20

fantastik, innan den här videolektion kunde jag inte fatta något om standardavvikelse. men nu det ser ut lätt.
tack
shamim

folkuniv

Bra förklarat! poletten trillade ned!//Helene


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm standardavvikelsen om variansen är $4900$4900.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Efter en sommarvecka undersöker man hur mycket temperaturen avvek i grader från medelvärdet under veckan och fick att på måndagen var det fem grader kallare än snitt-temperaturen osv, se bilden nedan.

    Bestäm variansen i undersökningen.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bertil skriver upp hur många timmar han jobbat varje dag under en vecka. Bestäm standardavvikelsen för hans arbetstid utifrån detta stickprov. Beräkna för hand…

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    Din kompis har försökt beräkna standardavvikelsen för ett statistiskt material från en stickprovsundersökning och ber dig kontrollräkna för att säkerställa att det blivit rätt. Studera uträkningen nedan och välj sedan det alternativ du anser stämmer bäst med vad du anser.

    Standardavvikelse_uträkning_felaktig

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 2
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Tabellen nedan visar stickprovsvärden för två olika statistiska material.

    Tabell

    Beräkna standardavvikelsen för de två stickproven med hjälp av ditt digitala verktyg och ange den största standardavvikelsen?

    Ange varet avrundat till heltal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    När man vill beräkna standardavvikelsen kan man använda denna formel.

      $S=$S= $\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}}$(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2n1   

    Under rottecknet får man en kvot där täljaren motsvarar summan av avvikelserna i kvadrat. Varje avvikelse får man genom att kvadrerar differensen mellan ett observationsvärde och medelvärdet.

    Varför gör man så här, i stället för att bara använda summan av avvikelserna utan att kvadrera dem?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm standardavvikelsen för följande mätresultat som redovisas i stapeldiagrammet nedan.

    Stolpdiagram

    Ange med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Ett företag hade gjort en statistisk undersökning men var missnöjda med resultatet.
    Man mätte både medelvärdet och standardavvikelsen.

    Chefen gav instruktioner om att addera $1000$1000 poäng till alla insamlade värden och räkna om uppgifterna. -”På så sätt kommer vi kunna uppvisa både högre medelvärde och större standardavvikelse,” sa chefen. Vad anser du?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm standardavvikelsen för följande datamängd.

     $4,\text{ }4,\text{ }4,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }12,\text{ }15,\text{ }20,\text{ }20,\text{ }20$4, 4, 4, 8, 8, 12, 15, 20, 20, 20 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M

    Bestäm standardavvikelsen för mätresultatet som redovisas i stapeldiagrammet nedan.

    Stapeldiagram frekvens poäng

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B 1
    P
    PL 1
    M
    R
    K 1
    M

    Vid en undersökning får man medelvärdet $350$350 och standardavvikelsen $30$30.

    Din lärare säger att om du subtraherar alla observationer med $x$x och därefter dividerar dem med $y$y kommer du istället få medelvärdet $100$100 och standardavvikelsen $10$10.

    Vilka värden har $x$x och $y$y?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.