...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Statistik

Normalfördelning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Statistiskt material kan fördela sig på olika sätt beroende på vad man undersöker. Undersökningar som fördelar sig på så vis att resultaten med högst frekvens återfinns i närheten av medelvärdet och att frekvensen sedan avtar ”klockformat” symmetriskt åt båda håll från medelvärdet kallas normalfördelat

Normalfördelningskurvan

Normalfördelning

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Det är verkligen inte alla statistiska resultat som är normalfördelade. Men ändå förvånansvärt många. När man genomför undersökningar och mätningar på fenomen i samhället och naturen är det inte ovanligt att de följer ett mönster som är just normalfördelat. Några exempel på normalfördelade material är blodtryck hos friska människor inom en viss åldersgrupp, vikt och längd på människor och olika arter av djur. Det kan gälla för tillverkningsprocesser där avvikelse finns i vissa intervall, tex vikt på glassar, längd på skruvar och volym på olika förpackningar. Med andra ord, vissa observationer ger mätdata som motsvarar det som kallas för normalfördelning. 

Om man gör ett histogram över ett normalfördelat material skulle det kunna se ut så här.

Normalfördelning med histogram

Typiskt för normalfördelat material är alltså att resultatet fördelar sig på ett speciellt sätt kring medelvärdet. I normalfördelningskurvan brukar man beteckna medelvärdet med den grekiska bokstaven $\mu$μ, som utläses ”my”. Resultatet fördelar sig symmetriskt kring medelvärdet enligt en kurva som man ofta kallar för klockkurvan. Ju fler mät resultat, ju större likhet skulle histogrammets alla staplars höjd bli kurvan. Du ser den i bilden här nedan.

Klockkurva

Du kanske inte tycker att det ser ut som en klocka, men formen syftar till en klocka av äldre design. På engelska heter den”the bell curve” vilket lättare ger rätt association, det vill säga, en sådan man kan finna i kyrktorn eller på andra äldre byggnader. Exempelvis en av klockorna i den kända katedralen Notre-Dame i Paris.

Kurvan kan vara olika smal och hög. Men gemensamt för allt normalfördelat material är att det är symmetriskt kring sitt medelvärde och det man kallar ”klockformat”.

Normalfördelningskurva

Vi ska nu titta på vad som får kurvan att se ut på olika vis.

Standardavvikelse och normalfördelning

För att förstå normalfördelning behöver du även känna till och förstå standardavvikelse. Kurvans utseende är nämligen ett resultat av den.

Kurvan delas in i olika intervall efter antal standardavvikelser från medelvärdet. I ett normalfördelat material ska mätresultaten fördela sig på följande vis.

Normalfördelning delintervall

  • ca $50\%$50% av värdena ligger under respektive över medelvärdet.
  •  $68,26\%$68,26%  befinner sig inom medelvärdet ± $1$1 standardavvikelse.
  •  $95,45\%$95,45%  befinner sig inom medelvärdet ± $2$2 standardavvikelser.
  •  $99,73\%$99,73% befinner sig inom ± $3$3 standardavvikelser.

Eftersom att denna fördelning alltid ska infinna sig på ett normalfördelat material kommer standardavvikelsen påverka kurvans utseende på följande vis.

Ett lågt värde på standardavvikelsen, vilket motsvarar en liten spridning på datamängdens avvikelser från medelvärdet, ger en hög och smal kurva.

En undersökning som däremot har en större standardavvikelse, eller med andra ord mätresultat med större variation, leder till att kurvan istället blir platt och bred.

Då medelvärdet i ett normalfördelat material motsvarar symmetrilinjen för kurvan och återfinns mitt i datamängden, sammanfaller alltid medianen och medelvärdet i ett normalfördelat material. 

Nu ser vi på ett exempel på hur man kan genomföra beräkningar med hjälp av normalfördelning.

Exempel 1

Vid en stickprovskontroll i en växthus vägde man $1000$1000 tomater. Medelvärdet var $90$90 gram och standardavvikelsen $10$10 gram. 

a) Hur många procent av tomaterna som produceras kan man förvänta sig väger mer än  $110$110 gram, om vi antar att tomaternas vikt följer en normalfördelningskurva?

b) Hur många tomater man kan en affär som köper in $10\text{ }000$10 000 tomater förvänta sig väger mer än $110$110 gram?

Lösning

a) Vi sätter in vårt medelvärde och standardavvikelse i en normalfördelningskurva. 

Då medelvärdet är $90$90 gram motsvarar det $μ$μ och ska vara i kurvans mitt.
Vi får värdet för $μ+σ$μ+σ genom att addera en standardavvikelse till medelvärdet, alltså $90+10=100$90+10=100 gram.
Värdet för två två avvikelser uppåt blir $90+2\cdot10=110$90+2·10=110 gram. Värdet för en standardavvikelse neråt motsvara  $90-10=80$9010=80 gram osv.

Normalfördelning

Vi ser då att andelen tomater som väger mer än  $110$110 gram motsvarar det rosa fältet i normalfördelningskurvan, alltså alla värden mindre än en standardavvikelse åt vänster i kurvan.

Genom att jämföra med normalfördelningskurvan med utsatta procentsatser, ser vi att det rosa området motsvarar summan av $0,13+2,14\approx2,27\%$0,13+2,142,27% 

Vi kan alltså förvänta oss att det är ca $2,27\%$2,27%  av tomater som väger mer än $110$110 gram.

b) Om man köper  $10\text{ }000$10 000  tomater där  $2,27\%$2,27% förväntas väga med än  $110$110 gram motsvarar det  $10\text{ }000\cdot0,0227\approx2$10 000·0,02272  stycken tomater.

Sammanfattningsvis är normalfördelningen alltså inte ett lägesmått eller ett spridningsmått som du själv räknar ut. Istället är det en egenskap hos vissa statistiska material som man kan använda för att beräkna hur stor andel av resultatet som finns inom ett visst intervall.

Du kanske observerade att summan av de markerade intervallen i normalfördelning längst upp på denna lektion diffar med $0,01$0,01%. Det beror på avrundning. Med fler antal decimaler motsvarar hela klockan $100\%$100%.

Exempel i videon

  • Längden på makrillar på en fångst på $2,1$2,1 ton är normalfördelat med standardavvikelsen $6$6 cm och medellängden $36$36 cm. Hur många kilo makrillar är kortare än $30$30 cm?
  • Vid tillverkning av en juiceförpackning i en maskin är volymen normalfördelad med standardavvikelsen $0,04$0,04 dl och medelvärdet $10,0$10,0 dl. För att förpackningen skall godkännas får inte volymen avvika med mer än $0,12$0,12 dl. Under en dag tillverkas $6800$6800 förpackningar. Hur många av dessa får slängas varje dag?

Kommentarer

Josephine Passgård

vad är ett mätvärde exakt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ett värde med enhet som beskriver en storhet. Tex 12 kg om man mäter olika vikter.

Marcus

Hade problem med fråga 5, då normalfördelningskurvan var vädligt specifik i dess % enheter, hittade inget bra exempel på annat håll och har inget direkt i fysiskt form tillgängligt som inte är avrundat till mindre decimaler än 0,13%. Kort sagt så hade jag inte lätt åtkomst eller ens klar åtkomst till verktygen som behövdes för att få fram rätt svar utan att använda normalfördelningskurvan i Förklaringen.

Simon Privat

Det går ej att få rätt svar på fråga 2. Väljer svarsalternativet 34% men får ändå fel.

    David Admin (Moderator)

    Tack för att du påpekade detta! Det är nu fixat.

Jesper Westin

Svarar man A och B på fråga 7 så får man fel svar. Ni har satt rätt svar till A och C vilket är helt fel.

Ni skriver till och med ”Alltså har kurva AA och BB samma bredd vilket motsvarar samma variationsbredd.”

    Jesper Westin

    Förklaringen till fråga 5 är dessutom felformaterad och ser galet ut.

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Jag ber uppgiftskonstruktören kika på dessa uppgifter och korrigera dem!

Simon Öhman

Jag har lite svårt att förstå detta. Hur vet man att 68,26% ligger inom intervallet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Är det på någon uppgift i videon eller övning som du funderar? Säg gärna vilken så blir det lättare att utgå ifrån rätt sak.

      Simon Öhman

      Det är i uppgift 1 till videon. I förklaringen står det ”Eftersom det nämnda intervallet ligger inom medelvärde ± 1 standardavvikelse gäller att 68,26 % ligger inom detta intervall”. Där hänger jag inte med.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ok, då förstår jag.
        Där är ju standardavvikelsen 0,1 mm och medelvärdet är 12 mm och vi vill veta hur många kullager som ligger inom intervallet
        11,9 till 12,1 mm.
        Eftersom att 12-0,1=11,9 och 12+0,1=12,1 så vet vi att vi söker de kullager som ligger en standardavvikelse under till en över medelvärdet. Från ”klockkurvan” vet vi att det då är 34,13+34,13=68,26 %
        Det är därifrån det kommer. Hoppas detta hjälper dig att förstå!

          Simon Öhman

          Tack, det börjar klarna nu. Det var själva klockkurvan som jag inte förstod, att det alltid är samma antal procent för ett visst antal standardavvikelser.

            Simon Rybrand (Moderator)

            Vad bra!

Jakub Medynski

Bara liten påminnelse att att ändra på detta. 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du påminner! Det är fixat.

Sinan

tja!

120 x 8 = 960
0,682 x 960 = 654,72

Du använder 0,68 och inte 0,682 vilket är den exakta siffran

    nti_ma2

    håller med, tråkigt att ni avrundar…

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej, vi kan göra så att vi ändrar detta framåt i video och i text. Tack för att ni kommenterar och påpekar detta!

        Alexander Persson

        Kan ni ge något exempel på material som inte är normalfördelat?

          Simon Rybrand (Moderator)

          Det är egentligen allt som inte koncentrerar sig runt ett medelvärde utan har en annan typ av spridning. Det kan vara alltifrån undersökningar kring ekonomi eller hur många mål som görs under handbollsmatcher i en liga.

        nti_ma2

        Kommer du att ändra svaret eller hur mycket man ska tänker ligger i ± 1 standardavvikelse när man räknar?

          Simon Rybrand (Moderator)

          Hej, absolut kommer vi att ändra på detta. Det finns i vår ”todo” lista. Det kommer att komma många uppdateringar på sajten inom kort och när dessa är klara skall vi ordna liknande saker som denna.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många procent av de normalfördelade observationerna ligger inom det blåfärgade området?

    Normalfördelning

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många procent av de normalfördelade observationerna ligger inom det blåfärgade området?

    Normalfördelning

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många procent av de normalfördelade observationerna ligger inom det blåfärgade området?

    Norlamfördelning

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm medelvärdet $\mu$μ . 

    Normalfördelning

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $a$a

    Normalfördelning

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Vid en stickprovskontroll i en glassfabrik vägde man $1000$1000 glassar. Medelvärdet var $62$62 gram och standardavvikelsen $2$2 gram. På glasspappret anges att glassen väger $60$60 g.

    Hur många procent av glassarna som produceras kan man förvänta sig väger mindre än utlovat, om vi antar att glassarnas vikt följer en normalfördelningskurva?

    Svara med ett heltal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Vid en stickprovskontroll i en glassfabrik vägde man $1000$1000 glassar. Medelvärdet var $62$62 gram och standardavvikelsen $2$2 gram. På glasspappret anges att glassen väger $60$60 g.

    Hur stor är sannolikheten att du köper en glass som väger $66$66 gram eller mer om vi antar att glassarnas vikt är normalfördelade?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående stämmer angående de två normalfördelningskurvorna?

    normalfordelningskurva_samma-medelvardede-01

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Hur stor är standardavvikelsen enligt normalfördelningskurvan, om $47,72$47,72% av datamängden med medelvärdet $40$40, ligger i intervallet $34\le x\le40$34x40 ?

    Normalfördelningskurvan

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K


    Vid en stickprovskontroll i en fabrik som tillverkar spik mätte man $1\text{ }000$1 000 spik. 

    Medelvärdet var $80$80 mm och standardavvikelsen $0,5$0,5 mm.
    En spik räknas som funktionsduglig om längden ligger mellan $78,5$78,5 och $81,5$81,5 mm.
    Din vän har köpt in $20\text{ }000$20 000 spikar.

    Hur många spikar kan man förvänta sig inte är dugliga om vi antar att spikarnas vikt i tillverkningen följer en normalfördelningskurva? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (6)

  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vid tillverkning av ett kullager i en maskin är bredden på kullagret normalfördelat med standardavvikelsen $0,1$0,1 mm och har medelvärdet $12$12 mm. Varje timme behandlas $120$120 kullager i maskinen.

    Hur många kullager förväntas ligga inom intervallet $11,9-12,1$11,912,1 mm under en dag då arbetsdagen är $8$8 h?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Figuren visar fyra normalfördelade kurvor. Ange kurvan med störst standardavvikelse.

    Flera normalfördelningskurvor

    Träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B2
    P
    PL
    M
    R
    K
    Vikten av en viss sorts paket syltsocker är normalfördelad med medelvikten $1000$1000 g och standardavvikelsen $10$10 g. Peder köper ett sådant paket syltsocker.
    Anta att paketet som Peder köper väger $x$x gram. Vilket/vilka av alternativen A-F nedan är korrekta?
     
    Det är $84\%$84% sannolikhet att:
    A.   $x\ge1010$x1010  
    B.   $x\le1010$x1010
    C.   $x\ge990$x990 
    D.   $x\le990$x990 
    E.  $990\le$990 $x\le1010$x1010 
    F.  $1000\le$1000 $x\le1020$x1020
    (NP Ma2 vt13)
    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka två kurvor gäller påståendet att de har lika stor variationsbredd.

    Normalgfördelning

    Träna på att motivera ditt svar, men ange som svar endast bokstäverna för kurvorna.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K1

    smagodis

    Ett företag fyller påsar med godis. Enligt märkningen innehåller en påse i dagsläget $200$200 g godis. Påsarnas vikt är normalfördelad kring medelvärdet $195$195 g och standardavvikelsen är $5$5 g.

    Företaget vill ha så många nöjda kunder som möjligt och utvärderar vilka möjligheter som finns för förbättring. Då det är för dyrt att köpa nya maskiner som skulle ge en mindre standardavvikelse beslutar sig företager för att fylla påsarna lite mer istället.

    De ändrar kravet till att minst $97,71\%$97,71% av burkarna ska innehålla minst $200$200 g godis. Standardavvikelsen kommer inte förändras.

    Vilken medelvikt måste påsarna ha efter förändringen, för att uppnå det nya kravet på att $97,71\%$97,71% av påsarna ska väga minst $200$200 g?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/1)
    ECA
    B1
    P
    PL11
    M
    R
    K

    Pennor

    En maskin tillverkar pennor. Pennornas längd är normalfördelade med en standardavvikelse på $0,2$0,2 mm.

    Ungefär $84\%$84% av pennorna har en längd mellan $13,6$13,6 mm och $14,4$14,4 mm.

    Bestäm största möjliga medellängd pennorna kan ha. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

    Vid ett experiment släpptes $1478$1478 kulor ner i en Galtonbräda med $16$16 fack. I fack $6$6 hamnade $136$136 kulor, i fack $7$7 hamnade $223$223 kulor och i fack $8$8 hamnade $281$281 kulor.

    Hur många kulor bör ha hamnat i fack $5$5?

    (NpMa2b,c vt2015)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se