Nationellt prov Matematik 2b vt 2014 DEL D

För att kontrollera att alla kanelsnäckor som bakas på ett bageri väger ungefär lika mycket vägs kanelsnäckorna. Det visar sig att vikten är normalfördelad med medelvikten $80$80 gram och standardavvikelsen $3$3 gram.

Hur många kanelsnäckor kan förväntas väga mer än $86$86 gram, om man en dag bakar $400$400 kanelsnäckor?

I figuren nedan är $M$M cirkelns medelpunkt. Punkterna $A,\text{ }B$A, B och $C$C ligger på cirkelns rand.

Bestäm vinkeln $v$v.

Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c och där $a$a, $b$b och $c$c är konstanter.

a) Bestäm konstanten $c$c med hjälp av figuren. Motivera.

b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ƒ (10) är minst? Motivera.

På hösten då fisket av hummer inleds, auktioneras fångsten ut till högstbjudande.
Jämförpriset i kr/kg kan då bli väldigt högt.

Vid auktionen år $2009$2009 blev högsta jämförpriset för hummer  $1130$1130 kr/kg och år $2012$2012 hade det högsta jämförpriset ökat till $102\text{ }000$102 000 kr/kg.

Anta att ökningen av högsta jämförpriset har varit exponentiell.

a) Med hur många procent per år har högsta jämförpriset på hummer ökat?

b) Vad borde högsta jämförpriset för hummer bli vid auktionen år $2014$2014 om det skulle följa samma årliga procentuella utveckling som under perioden år $2009$2009 till år $2012$2012?

En plattläggare gör rektangulära uteplatser genom att lägga kvadratiska trädgårdsplattor enligt ett visst mönster. Han använder grå och svarta plattor, alla med samma storlek.

I figuren nedan visas uteplats $A$A och uteplats $B$B som plattläggaren lagt. För uteplats $A$A är den totala kostnaden för plattorna $1422$1422 kr. För uteplats $B$B är den totala kostnaden för plattorna $1000$1000 kr.

a) Beräkna priset för en grå respektive en svart platta.

Plattläggaren vill snabbt kunna göra kostnadsberäkningar för plattor vid beställning av uteplatser. Han betecknar antalet plattor utmed uteplatsens ena sida med $x$x och antalet plattor utmed uteplatsens andra sida med $y$y, se figur nedan.

b) Visa att den totala kostnaden för plattorna kan bestämmas med formeln  $K_{\text{tot}}=52x+52y+31,80xy-104$K_tot=52x+52y+31,80xy−104 för alla rektangulära uteplatser som är möjliga att lägga. Uteplatserna innehåller alltid både svarta och grå plattor där de svarta plattorna ligger som en ram.

Demy och Oskar diskuterar hur mycket pengar i kontanter ungdomar i deras egen ålder har med sig till skolan. De bestämmer sig för att göra en undersökning i en klass. Demy och Oskar lämnar ut en lapp med frågan ”Hur mycket pengar har du med dig idag?” och får svar från alla 19 eleverna i klassen. Resultatet redovisar de i lådagrammet nedan.

Undersök i vilket/vilka intervall A-D medelvärdet $M$M kan ligga. Motivera.

A.  $0\le M<6$0≤M<6

B.  $6\le M<20$6≤M<20 

C.  $20\le M<31$20≤M<31 

D.  $31\le M<112$31≤M<112 

Figuren nedan visar graferna till två funktioner $f$ƒ  och  $g$g där  $f\left(x\right)=-x^2+5x$ƒ (x)=−x²+5x och  $g\left(x\right)=-2x+15$g(x)=−2x+15 

a) Avståndet $A$A mellan kurvorna i $y$y-led är beroende av värdet av $x$x.
    Bestäm $A$A som funktion av $x$x.

b) Bestäm det minsta avståndet mellan kurvorna i $y$y-led.

I en likbent triangel dras en linje så att linjen delar triangeln i en topptriangel och ett parallelltrapets. Topptriangelns bas blir gemensam med en av sidorna i parallelltrapetset och får längden $9,0$9,0 cm. Topptriangelns andra två sidor blir då $8,0$8,0 cm vardera.

Beräkna längden av parallelltrapetsets sidor om topptriangeln har lika stor omkrets som parallelltrapetset.