Nationellt prov Matematik 2b vt 2013 Del D

Albin och Joakim ska ha en filmkväll och köper läsk och godis. Albin betalar $86$86 kronor för två läsk och fyra godispåsar. Joakim köper tre läsk och två godispåsar och betalar $68$68 kronor.

Låt priset för en läsk vara $x$x kr och för en godispåse $y$y kr. Ställ upp ett ekvationssystem och beräkna vad en läsk respektive en godispåse kostar.

Bestäm ekvationen för en rät linje som skär $x$x -axeln då $x=5$x=5 och som har en positiv lutning.

Petter ska bestämma antalet nollställen till tre andragradsfunktioner $f,\text{ }g$ƒ , g och $h$h. Han har ritat funktionerna med hjälp av en grafräknare. Bilden visar fönstret på grafräknaren.

Petter säger: ”Jag måste ändra inställningen på axlarna, så jag kan se mer av graferna.”

Petters lärare John säger: ”Det behöver du inte, du kan redan nu se hur många nollställen var och en av andragradsfunktionerna har.”

Ange antalet nollställen till var och en av funktionerna  $f,\text{ }g$ƒ , g och $h$h samt förklara hur du kan bestämma detta med hjälp av den givna bilden.

I friidrott tävlar deltagarna i tiokamp i tio olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om till poäng.

Vid poängberäkning i grenen spjut används följande formel:

 $P=10,14\left(D-7\right)^{1,08}$P=10,14(D−7)^1,08 

där $P$P är antalet poäng och $D$D är uppmätt resultat i meter.

Ashton Eaton, världsrekordhållare i tiokamp, vann OS-guld i London $2012$2012.
I spjut satte han då personligt rekord med ett kast på $61,96$61,96 m.

a) Beräkna hur många poäng Eaton fick i spjut med sitt kast på $61,96$61,96 m.

Eatons totalpoäng vid OS i London var $8869$8869 poäng. Silvermedaljören Trey Hardee fick totalt $8671$8671 poäng. I spjut kastade Hardee $66,65$66,65 m.

b) Hur långt hade Hardee behövt kasta i spjut för att slå Eatons totalpoäng $8869$8869? Utgå från att hans resultat i de andra grenarna är oförändrade.

Medianen för tre heltal är $34$34. Medelvärdet är $26$26 och variationsbredden $30$30.

Vilka är de tre talen?

Ett av Sveriges miljömål är att minska koldioxidutsläppet. År$1990$1990 var koldioxidutsläppet $7,29\cdot10^7$7,29·10⁷ ton.
År $2011$2011 hade utsläppet minskat till $6,63\cdot10^7$6,63·10⁷ ton. Anta att koldioxidutsläppet har minskat enligt det exponentiella sambandet

 $y=C\cdot a^x$y=C·a^x 

där $y$y motsvarar koldioxidutsläppet i ton och $x$x motsvarar antalet år efter $1990$1990.

a) Bestäm konstanten $C$C i sambandet ovan. Endast svar krävs.

b) Beräkna den årliga procentuella minskningen mellan år $1990$1990 och år $2011$2011.

Målet är att minska koldioxidutsläppet med $40\text{ }\%$40 % från år $1990$1990 till år $2020$2020.

c) Anta att den årliga procentuella minskningen är $1\text{ }\%$1 % från och med år $2011$2011 då utsläppet var $6,63\cdot10^7$6,63·10⁷ ton. Hur många år kommer det att ta, räknat från år $2011$2011, innan koldioxidutsläppet är $40\text{ }\%$40 % lägre än år $1990$1990?

Emelie gör en statistisk undersökning om sina 18 klasskamraters längd. Hon beräknar sedan medelvärdet av längderna och får det till $175,5$175,5 cm.
Emelie presenterar sina resultat i ett histogram. Se nedan.

Emelie visar histogrammet för Anton. Han beräknar medelvärdet med hjälp av histogrammet och får då medelvärdet till $176,1$176,1 cm. Både Emelie och Anton räknar rätt men får olika medelvärden.

Förklara varför medelvärdet blir olika med de olika metoderna.

En liksidig triangel är ritad i ett koordinatsystem. Den har sina hörn i punkterna $\left(0,\text{ }h\right),\left(-s,\text{ }0\right)$(0, h),(−s, 0)  och  $\left(s,\text{ }0\right)$(s, 0) 

Bestäm den liksidiga triangelns area $A$A uttryckt endast i $s$s.

Bilden visar en fontän i Sydkoreas huvudstad Seoul.

Avståndet längs vattenytan från en stråles start till dess att strålen träffar vattnet är ungefär $2,3$2,3 m. Strålens högsta höjd över vattenytan är ungefär $3,1$3,1 m.
Anta att strålens bana har samma form som grafen till en andragradsfunktion.

Bestäm en funktion som beskriver strålens bana.