Problemlösning Andragradsfunktioner

Din vän ska sy en rektangulär tygpåse. Runt påsen tänker han sy ett dekorationsband. Men detta band har en begränsad längd. Det gör att om påsens ena sida är $x$x cm lång, så kan den andra bara vara $54-x$54−x  lång.

Vilken är den största möjliga area påsen kan anta?

Vilken av följande funktioner har en maximipunkt i punkten $(0,6)$(0,6)?

Öva på att motivera svaret på ett papper.

 Jossan och Rosita ska ta fram symmetrilinjen för funktionen $f\left(x\right)=-x^2-5x+5$ƒ (x)=−x²−5x+5.

Jossan säger att symmetrilinjen till funktionen kan beräknas genom  $x_{sym}=$x_sym= $-\frac{5}{2}$−52   
Rosita säger att den beräknas genom $x_{sym}=$x_sym= $-\left(\frac{-5}{2}\right)$−(−52 )  

Vem anser ni har rätt?

Ange svaret med personens namn. Träna på att motivera svaret.

En andragradsfunktion har alltid en andragradsterm, men har ofta även en förstagradsterm och en konstantterm. 
Använd ett digitalt hjälpmedel för att rita funktionen

 $f\left(x\right)=x^2+x+1$ƒ (x)=x²+x+1 

Prova nu och ändra koefficienterna framför de olika termerna en i taget och se vad som händer.

Vilken term tillhör den koefficient man ska förändra för att parabeln ska förflytta sig i höjdled utan att symmetrilinjen flyttas?

Vilket alternativ skulle kunna beskrivas med följande graf?

I figuren är funktionen $y=f(x)$y=ƒ (x) utritad.

Vilket alternativ ska vi ange som svar om uppgiften är att lösa ekvationen $f(x)=0$ƒ (x)=0 med hjälp av figuren?

En nyårsraket har en höjd som kan beskrivas av funktionen $f(t)=20t-2t^2$ƒ (t)=20t−2t², där $t$t är tiden i sekunder och $f(t)$ƒ (t) är raketens höjd i meter. Hur lång tid tar det innan raketen landar och hur högt når raketen som högst?

Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c och där $a$a, $b$b och $c$c är konstanter.

a) Bestäm konstanten $c$c med hjälp av figuren. Motivera.

b) Vilket av funktionsvärdena $f\left(-5\right)$ƒ (−5) eller $f\left(10\right)$ƒ (10) är minst? Motivera.

En rektangulär hage ska byggas mot en mur. Det finns $52$52 meter stängsel som ska räcka till tre av sidorna eftersom den fjärde sidan utgörs av muren.
Se figur.

Teckna ett uttryck för arean och bestäm vilka mått hagen ska ha för att dess area ska bli så stor som möjligt.

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ  och en andragradsfunktion $g$g.

Besvara frågorna med hjälp av graferna.

För vilka värden på $x$x gäller att $g\left(x\right)<3$g(x)<3?

Använd figuren och bestäm $f\left(-2\right)+f\left(1\right)$ƒ (−2)+ƒ (1) 

Träna på att motivera svaret.

För en andragradsfunktion gäller att $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 har lösningarna $x_1=-4$x₁=−4 och $x_2=6$x₂=6. 

För vilket $x$x-värde har funktionen sitt största värde?

En varm dag vattnar din pappa äppleträdet med en vattenspridare. Vattnets stråle har formen av en båge, en parabel, som kan beskrivas med funktionen $h\left(x\right)=-0,17x^2+1,02x+0,42$h(x)=−0,17x²+1,0‍2x+0,42 , där $h\left(x\right)$h(x) är strålens höjd över marken $x$x meter ut från vattenspridaren. Du och din bror tävlar om vem som kan springa under strålen utan att bli blöt.

Hur långt ut från vattenspridaren ska du springa för att ha störst chans att inte bli blöt?

En andragradsfunktion går genom punkten $\left(-4,10\right)$(−4,10) och har nollställena $x_1=-5$x₁=−5 och  $x_2=1$x₂=1.

Bestäm funktionens formel på formen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c.

En andragradsfunktion  $x^2+\left(a+4\right)x+\left(b+5\right)=0$x²+(a+4)x+(b+5)=0 har lösningarna  $x_1=1$x₁=1 och  $x_2=-3$x₂=−3 .

Bestäm värdet på konstanterna  $a$a och  $b$b.                                                                       

För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att

 $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2

a) Bestäm för vilka värden på $b$b som $f$ƒ  endast har ett nollställe.

I figuren nedan ser vi graferna till funktionen $f$ƒ   för några olika värden på $b$b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$g, se figur.

Du vill bygga en rektangulär odlingslåda i din trädgård mot sidan av ditt växthus. Du har köpt virke som räcker till en sträcka av $9$9 meter. Du behöver endast virke för kanterna på lådan, eftersom jorden utgör botten. Då ena sidan är mot växthuset behöver du bara använda virket till tre sidor.

Vilken är den största odlingsytan du kan få utifrån detta virke?

Svara med en decimals noggrannhet.

Låt säga att du har konstruerat en katapult som är höj- och sänkbar. När katapulten är upphöjd $10$10 m slungar den iväg en kula som följer en kaströrelse som kan beskrivas med funktionen  $f\left(x\right)=2x-0,05x^2+10$ƒ (x)=2x−0,05x²+10, där  $f(x)$ƒ (x) motsvarar kulans höjd i meter över marken $x$x sekunder efter att kulan slungats iväg.

Rita parabeln som beskriver kaströrelsen i just detta läge och ange dess definitions och värdemängd.

Vilket påstående ska du välja för att öka avståndet mellan katapulten och nedslaget för kulan, utan att förändra konstruktionen på själva katapulten?

Träna på att motivera svaret väl.

Två tal har summan $41$41 och produkten $238$238.

Vilka är talen?

För full poäng måste vi motivera svaret.  Att prova sig fram med hjälp av räknaren räcker inte för full poäng.

Du och din bror kan båda gå raklånga under vattenspridarens strålar, utan att träffas av vattnet. Er pappa, som är $1,90$1,90 m lång, vill prova om han kan det också - hur kommer det att gå?

Vattnets stråle har formen av en båge, en parabel, som kan beskrivas med funktionen $h\left(x\right)=-0,17x^2+1,02x+0,42$h(x)=−0,17x²+1,02x+0,42 , där $h\left(x\right)$h(x) är strålens höjd över marken $x$x meter ut från vattenspridaren.

Ozonskiktet som omger Jorden skyddar oss från UV-strålning. Ozonskiktets tjocklek mäts i enheten Dobson Unit (DU).

Sedan 1980-talet mäter SMHI ozonskiktets tjocklek över olika platser i Sverige, bland annat över Norrköping. Mätvärdena från 1 juni till 31 december år 2008 kan enligt en förenklad modell beskrivas av andragradsfunktionen

 $f\left(x\right)=0,0052x^2-1,4x+378$ƒ (x)=0,0052x²−1,4x+378,    $0\le x\le210$0≤x≤210 

där $f\left(x\right)$ƒ (x) är ozonlagrets tjocklek i enheten DU och $x$x är antal dagar efter 1 juni.

a) Bestäm $f\left(0\right)$ƒ (0)  och beskriv hur $f\left(0\right)$ƒ (0) kan tolkas i detta sammanhang.

När meteorologer talar om ozonhål menar de egentligen områden där ozonskiktets tjocklek är mindre än $220$220  DU. Det är alltså inte frågan om ett hål utan snarare om ett tunnare ozonskikt.

b) Uppstod det ett ozonhål i Norrköping under perioden 1 juni till 31 december 2008? Motivera svaret.

Bestäm de värden på $x$x där graferna till andragradsfunktionen $f\left(x\right)=3x^2-4x-29$ƒ (x)=3x²−4x−29 och linjen $g\left(x\right)=2x+16$g(x)=2x+16 skär varandra.

Ange en andragradsfunktion som har sin minimipunkt i punkten $(0,3)$(0,3)

Motivera valet av funktion.

Koordinatsystemet visar graferna till en rät linje $f$ƒ  och en andragradsfunktion $g$g.

Besvara frågan med hjälp av graferna.

För vilka värden på $x$x gäller att  $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ƒ (x)−g(x)=0 ?

Romeo ser att Julias fönster står öppet. Han vill kasta in en ros genom hennes fönster som är $2$2 meter högt och beläget $6$6 meter över marken.

Hans kaströrelse kan beskrivas med modellen $h\left(s\right)=2,1+3,4s-0,7s^2$h(s)=2,1+3,4s−0,7s² där $h\left(s\right)$h(s) motsvarar höjden över marken i meter och $s$s motsvarar rosens horisontella rörelse i meter, från den punkt rosen kastas. 

Hur långt ifrån väggen ska Romeo stå för att pricka fönstret rätt? 

Träna på att motivera svaret med matematiska beräkningar och resonemang.

För andragradsfunktionen $f$ƒ  gäller att

 $f\left(x\right)=-0,5x^2+bx-2$ƒ (x)=−0,5x²+bx−2 

I figuren nedan ser vi graferna till funktionen $f$ƒ  för några olika värden på $b$b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$g, se figur. 

b) Bestäm andragradsfunktionen $g$g .

Din vän säger att

 $f\left(x\right)=\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)$ƒ (x)=(x+p2 −√(p2 )²−q)(x+p2 +√(p2 )²−q) 

egentligen är samma funktion som

 $g\left(x\right)=x^2+px+q$g(x)=x²+px+q 

Undersök hur din vän kan ha gjort och välj sedan det alternativ som du tycker stämmer bäst.

Bestäm konstanten $a$a så att  $f\left(x\right)=ax^2-6x+a$ƒ (x)=ax²−6x+a har en symmetrilinje i  $x=18$x=18