...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen går vi igenom hur du löser andragradsekvationer med en metod som kallas nollproduktmetoden. 

Nollproduktmetoden

Metoden lämpar sig för alla andragradsekvationer skrivna i faktorform. 

Så fungerar Nollproduktmetoden

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Nollproduktmetoden bygger på att vi får en produkt med värdet noll, om en eller flera av faktorerna är lika med noll.

Matematiskt kan vi beskriva detta som att om $a·b=0$ gäller att $a=0$ och/eller $b=0$.

Med hjälp av denna kunskap kan du ta fram lösningen till ekvationen, eftersom du vet att om en av faktorerna är lika med noll, så är även produkten lika med noll.

Exempel 1

Lös ekvationen  $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$(x2)(x+1)=0 

Lösning

Om en av faktorerna är lika med noll, är hela produkten lika med noll. Uttrycket i VL består av två faktorer. Nämligen de två parenteserna. Om någon av parenteserna antar värdet noll, kommer produkten anta värdet noll.

Så lösningen till ekvationen får vi om 

$ (x-2)=0 $ eller om $ (x+1)=0 $.

Den första parentesen, som alltså är detsamma som den första faktorn, $ (x-2) $ får värdet noll då $x=2$x=2. Detta är en av lösningarna till ekvationen.

Den andra parentesen, som alltså är detsamma som den andra faktorn, $ (x+1) $ får värdet noll då  $x=-1$x=1 . Detta är den andra lösningen till ekvationen.

Nollproduktmetoden ger därmed att ekvationens lösning är

$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-1  \end{cases}$

Vi kan kontrollera våra lösningar för att vara på den säkra sidan.

 Då  $x=2$x=2  får vi att VL=$ (2-2)(x+1)=0\cdot(x+1)=0$=HL. Lösningen stämmer!
 Då  $x=-1$x=1   får vi att VL=$ (x-2)((-1)+1)=(x-2)\cdot 0=0$=HL. Lösningen stämmer!

Faktorisera innan Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste ena ledet bestå enbart av faktorer och andra vara lika med noll. Detta kallas att ekvationen står i faktorform.

Ibland behöver du därför skriva om ekvationen innan du använder nollproduktmetoden. Är ena leden lika med noll fixar du det andra genom att faktorisera, alltså bryta ut något gemensamt ur termerna, så att det bildas två eller fler faktorer i ena ledet.

Nollproduktmetoden lämpar sig extra bra på andragradsekvationer som saknar en konstantterm. Alltså ekvationer på följande from.

$ax^2+bx=0$

där $a$ och $b$ är konstanter skilda från noll.

Men i kommande lektioner kommer vi gå igenom hur vi kan faktorisera alla andragradsekvationer. Men i nuläget fokuserar vi på att använda metoden på de ekvationer som saknar konstantterm eller redan står i faktorform.

Vi tar nu ett exempel på när vi först faktoriserar för att se lösningarna.

Exempel

Exempel 2

Lös ekvationen $ x^2+2x = 0 $

Lösning

För att tillämpa nollproduktmetoden måste ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi faktorisera därför VL.

$ x^2+2x = 0 $             Bryt ut $x$ i VL

$ x(x+2) = 0 $

Nollproduktmetoden ger att om en eller flera av faktorerna, som i detta fall motsvarar de två parenteserna i VL, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Detta gäller då

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2  \end{cases}$

För att tillämpa nollproduktmetoden måste alltså ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi tar ett exempel till direkt, där vi behöver göra båda dessa steg.

Exempel 3

Lös ekvationen $3x^2=27x$

Lösning

Ekvationen innehåller en andragradsterm, en förstagradsterm och saknar konstantterm och lämpar sig därför ypperligt för nollproduktmetoden. Vi skriver om den i faktorform.

$3x^2=27x$       Subtrahera båda leden med $27x$ för att få ena ledet lika med noll

$3x^2-27x=0$            Bryt ut $3x$ i VL

$3x(x-9)=0$

Nollproduktmetoden ger att då en  eller flera av faktorerna, i vårt fall parenteserna, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Det ger oss att ekvationens lösningar är 

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=9  \end{cases}$

Nu är det bara att börja öva! 

I Matematik 3 kommer vi utveckla användningsområdena av nollproduktmetoden, så det är bra om du redan nu, i Matematik 2, känner att du behärskar metoden.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $x^2-x=0$
  • Lös ekvationen $2x^2+8x=0$
  • Lös ekvationen $10x^2=-20x$
  • Lös ekvationen $(3x+2)(x-7)=0$

Kommentarer

Marcus

Jag fick dessutom aldrig klart för mig, vad innebär alla dessa X3:or i svars alternativen i jämföresle till X1?

Marcus

”Exempel 1
Lös ekvationen”

Ekvationen beskrivs inte utöver detta utanför lösningen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (14)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $2x^2-4x$2x24x ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $36x-18x^2$36x18x2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Din vän har fått tillbaka ett läxförhör och frågar dig vad som blivit fel. Välj det alternativ du tycker stämmer bäst.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $3x+9x^2$3x+9x2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En av lösningarna till ekvationen  $4x+2x^2=0$4x+2x2=0  är  $x=0$x=0

    Vilken är den andra?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En av lösningarna till ekvationen  $3x^2+15x=0$3x2+15x=0  är  $x=0$x=0 

    Vilken är den andra?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2+10x=0$x2+10x=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2-3x=0$x23x=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $3x^2+6x=0$3x2+6x=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $3x=12x^2$3x=12x2 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen 

     $x_{_1}=2$x1=2  och  $x_{_2}=-5$x2=5 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen  

     $x_{_1}=3$x1=3  och  $x_{_2}=4$x2=4 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $(2x-8)(x-4)=0$(2x8)(x4)=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R1
    K

    Anna spelar brännboll. Bollens bana i luften kan beskrivas med ekvationen $h\left(t\right)=8t-2t^2$h(t)=8t2t2 , där $h$h är bollens höjd i luften och $t$t är tiden i sekunder efter att bollen slagits iväg. Modellen börjar dock gälla först efter  $0,2$0,2 sekunder.

    Efter hur många sekunder slår bollen i marken, om inte någon tar lyra?

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $2x^3-8x=0$2x38x=0 

    Ange svaret med x=… , x=… , x=… osv.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ax^2-bx=0$ax2bx=0 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm $a$a så att andragradsekvationen $(ax+\frac{1}{2})(3-x)=0$(ax+12 )(3x)=0 har en lösning $x=$x=$\frac{3}{2}$32 

    Svara på formen a/b eller -a/b.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se