Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2b
/ Andragradsekvationer
Nollproduktmetoden
Innehåll
I den här lektionen går vi igenom hur vi löser andragradsekvationer med en metod som kallas nollproduktmetoden.
Metoden lämpar sig för alla andragradsekvationer skrivna i faktorform.
Så fungerar Nollproduktmetoden
Nollproduktmetoden bygger på att vi får en produkt med värdet noll, om en eller flera av faktorerna är lika med noll.
Matematiskt kan vi beskriva detta som att om $a·b=0$ gäller att $a=0$ och/eller $b=0$.
Med hjälp av denna kunskap kan vi ta fram lösningen till ekvationen, eftersom vi vet att om en av faktorerna är lika med noll är även produkten lika med noll.
Exempel 1
Lös ekvationen $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$(x−2)(x+1)=0
Lösning
Om en av faktorerna är lika med noll, är hela produkten lika med noll. Uttrycket i VL består av två faktorer, nämligen de två parenteserna. Om någon av parenteserna antar värdet noll, kommer produkten anta värdet noll.
Lösningen till ekvationen får vi om
$ (x-2)=0 $ eller om $ (x+1)=0 $.
Den första parentesen, som alltså är detsamma som den första faktorn, $ (x-2) $ får värdet noll då $x=2$x=2. Detta är en av lösningarna till ekvationen.
Den andra parentesen, som alltså är detsamma som den andra faktorn, $ (x+1) $ får värdet noll då $x=-1$x=−1 . Detta är den andra lösningen till ekvationen.
Nollproduktmetoden ger därmed att ekvationens lösning är
$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-1 \end{cases}$
Vi kan kontrollera våra lösningar för att vara på den säkra sidan.
Då $x=2$x=2 får vi att VL=$ (2-2)(x+1)=0\cdot(x+1)=0$=HL. Lösningen stämmer!
Då $x=-1$x=−1 får vi att VL=$ (x-2)((-1)+1)=(x-2)\cdot 0=0$=HL. Lösningen stämmer!
Faktorisera innan Nollproduktmetoden
För att kunna använda nollproduktmetoden måste ena ledet bestå enbart av faktorer och andra vara lika med noll. Detta kallas att ekvationen står i faktorform.
Ibland behöver vi därför skriva om ekvationen innan vi använder nollproduktmetoden. Är ena ledet lika med noll fixar vi det andra genom att faktorisera, alltså bryta ut något gemensamt ur termerna, så att det bildas två eller fler faktorer i ena ledet.
Nollproduktmetoden lämpar sig extra bra på andragradsekvationer som saknar en konstantterm.
Alltså ekvationer på följande allmänna form.
$ax^2+bx=0$
där $a$ och $b$ är konstanter skilda från noll.
Men i kommande lektioner kommer vi att gå igenom hur vi kan faktorisera alla andragradsekvationer. Men i nuläget fokuserar vi på att använda metoden på de ekvationer som saknar konstantterm eller redan står i faktorform.
Vi tar nu ett exempel på när vi först faktoriserar för att se lösningarna.
Exempel
Exempel 2
Lös ekvationen $ x^2+2x = 0 $
Lösning
För att tillämpa nollproduktmetoden måste ena ledet vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi faktoriserar därför VL.
$ x^2+2x = 0 $ Bryt ut $x$ i VL
$ x(x+2) = 0 $
Nollproduktmetoden ger att om en eller flera av faktorerna, som i detta fall motsvarar de två parenteserna i VL, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Detta gäller då
$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2 \end{cases}$
För att tillämpa nollproduktmetoden måste alltså ena ledet vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi tar ett exempel till direkt, där vi behöver göra båda dessa steg.
Exempel 3
Lös ekvationen $3x^2=27x$
Lösning
Ekvationen innehåller en andragradsterm, en förstagradsterm och saknar konstantterm och lämpar sig därför ypperligt för nollproduktmetoden. Vi skriver om den i faktorform.
$3x^2=27x$ Subtrahera båda leden med $27x$ för att få ena ledet lika med noll
$3x^2-27x=0$ Bryt ut $3x$3x i VL
$3x(x-9)=0$
Nollproduktmetoden ger att då en eller flera av faktorerna, i vårt fall parenteserna, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Det ger oss att ekvationens lösningar är
$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=9 \end{cases}$
Nu är det bara att börja öva!
I Matematik 3bc kommer vi att utveckla användningsområdena av nollproduktmetoden, så det är bra om vi redan nu, i Matematik 2abc, behärskar metoden.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $x^2-x=0$
- Lös ekvationen $2x^2+8x=0$
- Lös ekvationen $10x^2=-20x$
- Lös ekvationen $(3x+2)(x-7)=0$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (15)
-
1. Premium
Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $2x^2-4x$2x2−4x ?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering Matematik 2 NollproduktmetodenRättar...2. Premium
Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $36x-18x^2$36x−18x2 ?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering Matematik 2 NollproduktmetodenRättar...3. Premium
Din vän har fått tillbaka ett läxförhör och frågar dig vad som blivit fel. Välj det alternativ du tycker stämmer bäst.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: felsökning NollproduktmetodenRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $3x+9x^2$3x+9x2 ?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering Matematik 2 NollproduktmetodenRättar...5. Premium
Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen
$x_{_1}=3$x1=3 och $x_{_2}=4$x2=4
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering Nollproduktmetoden resonemangRättar...6. Premium
Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen
$x_{_1}=2$x1=2 och $x_{_2}=-5$x2=−5
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering Nollproduktmetoden resonemangRättar...7. Premium
Lös ekvationen $(x-2)(x-3)=0$(x−2)(x−3)=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar...8. Premium
En av lösningarna till ekvationen
$3x^2+15x=0$3x2+15x=0 är $x_1=0$x1=0.
Vilken är den andra?
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering NollproduktmetodenRättar...9. Premium
En av lösningarna till ekvationen
$4x+2x^2=0$4x+2x2=0 är $x_1=0$x1=0
Vilken är den andra?
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Faktorisering NollproduktmetodenRättar...10. Premium
Lös ekvationen $x^2+10x=0$x2+10x=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar...11. Premium
Lös ekvationen $x^2-3x=0$x2−3x=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar...12. Premium
Lös ekvationen $3x^2+6x=0$3x2+6x=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar...13. Premium
Lös ekvationen $3x=12x^2$3x=12x2
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer Faktorisering NollproduktmetodenRättar...14. Premium
Lös ekvationen $(2x-8)(x-4)=0$(2x−8)(x−4)=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer Matematik 2 NollproduktmetodenRättar...15. Premium
Anna spelar brännboll. Bollens bana i luften kan beskrivas med ekvationen $h\left(t\right)=8t-2t^2$h(t)=8t−2t2 , där $h$h är bollens höjd i luften och $t$t är tiden i sekunder efter att bollen slagits iväg. Modellen börjar dock gälla först efter $0,2$0,2 sekunder.
Efter hur många sekunder slår bollen i marken, om inte någon tar lyra?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvation NollproduktmetodenRättar...c-uppgifter (3)
-
16. Premium
Lös ekvationen $2x^3-8x=0$2x3−8x=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar... -
-
17. Premium
Lös ekvationen $ax^2-bx=0$ax2−bx=0
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar... -
-
18. Premium
Bestäm $a$a så att andragradsekvationen $(ax+\frac{1}{2})(3-x)=0$(ax+12 )(3−x)=0 har en lösning $x=$x=$\frac{3}{2}$32 .
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svar💡 Tänk på att förkorta bråket till enklaste form💡 Räkna ut så långt du kan och slå ihop det som går💡 Bryt ut så mycket som möjligt — finns det något gemensamt kvar i parentesen?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra andragradsekvationer NollproduktmetodenRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Patrick Abde
Alla svarsalternativen på fråga 17 är x2= och x3= istället för x1=och x2=
Amir Ocuz
förstår inte fra 15, hur det finns x3 också i lösningen
Anonym
Blir aldrig rätt hur man än skriver svaret
3x+9x^2=3x(1+3x) blir fel av systemet även om det är rätt svar.
Tuva Rodahl
Hej
Varför får jag fel på övning 5 när jag skriver -2? När jag tittar i förklaringen så står det ju att svaret är -2?
evertgoran
Hej!
I uppgift 10, varför använder vi subtraktion för att flytta över 12x^2 till samma sida av = som 3x? Min uppfattning var att det var division man skulle använda för att göra det?
Tack på förhand!
Anonym
Jag tror att det finns något fel med lössning och förklaring.
det står så här: a.(3/2)=-1/2 multiplicera med (3/2) båda led
det bordde stå divition med både led inte multiplikation
Endast Premium-användare kan kommentera.