Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Nivå 2
/ Breddning Ma2
Logaritmlagarna och logaritmekvationer
Innehåll
I den här lektionen lär vi oss mer om logaritmlagarna och logaritmekvationer. Vi går igenom tre viktiga logaritmlagar och ser hur vi tillämpar dessa i några enkla exempel.
Vad ska vi ha logaritmlagarna till?
En logaritm kan vi tänka oss ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi använder alltså logaritmen för att kunna lösa en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.
Men ibland är ekvationerna vi ska lösa inte på formen av $a=b^x$a=bx , där $a$a och $b$b är konstanter och $x$x vår variabel, utan kanske en summa eller differens av två logaritmer. Då kan vi med fördel använda logaritmlagarna, för att effektivisera våra beräkningar.
Logaritmlagar
När du jobbar med logaritmer så kan det vara bra att ha reglerna/lagarna för att räkna med logaritmer framför sig. Lagarna kommer från potensreglerna och kan bevisas med hjälp av dem.
Logaritmlagar
$\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B
$\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg A−lg B=lg AB
$\text{lg }x\text{ }^p=p\cdot\text{lg }x$lg x p=p·lg x
Lösa exponentialekvationer med logaritmer
I lektionen Lösa exponentialekvationer med logaritmer tittade vi på hur vi löser ekvationer med logaritmer. Vi använder följande definition av logaritmen.
Förutsättningen för omskrivningen är att $y$y alltid är ett positiv tal. Det vill säga $y>0$y>0 .
Återvänd till lektionen om detta känns oklart.
Exempel på beräkning med hjälp av logaritmlagar
Här följer två exempel där logaritmlagarna används för att lösa ekvationer.
Lös ekvationen $\lg1000+\lg x=\lg10$lg1000+lgx=lg10
Lösning
Vi använder logaritmlagarna.
$\lg1000+\lg x=\lg10$lg1000+lgx=lg10 skriv om VL med logaritmlag för addition
$\lg1000\cdot x=\lg10$lg1000·x=lg10 skriv om VL och HL på basen tio
$10^{\lg1000\cdot x}=10^{\lg10}$10lg1000·x=10lg10 förenkla med $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a
$1000\cdot x=10$1000·x=10 dividera båda led med $1000$1000
$x=0,01$x=0,01
Lös ekvationen $\lg x^2-\lg x=5$lgx2−lgx=5
Lösning
Vi använder logaritmlagarna.
$\lg x^2-\text{ }\lg x=5$lgx2− lgx=5 skriv om VL med logaritmlag för subtraktion
$\text{lg }\frac{x^2}{x}=5$lg x2x =5 förenkla VL
$\lg x=5$lgx=5 skriv om VL och HL på basen tio
$10^{\lg x}=10^5$10lgx=105 förenkla VL med $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a
$x=100\text{ }000$x=100 000
Bevis av logaritmlagar
$A\cdot B=A\cdot B$A·B=A·B ⇔ $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B
Vi kan nu använda potensregeln $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ax·ay=ax+y i HL och får att
$10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B ⇔ $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A+\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A+lg B
Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B
$\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$AB =AB ⇔ $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B
Vi kan nu använda potensregeln $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},(a\ne0)$axay =ax−y,(a≠0) i HL och får att
$10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B ⇔ $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=10^{\text{lg }A-\text{lg }B}$10lg AB =10lg A−lg B
Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg A−lg B=lg AB
$\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp ⇔ $\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{lg\left(x^{^p}\right)}$(10lg x)p=10lg(xp)
Vi kan nu använda potensregeln $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$(ax)y=ax·y i VL och får att
$\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{\text{ }p\cdot\text{lg }x}$(10lg x)p=10 p·lg x
Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp
Exempel i videon
- Hur vi skriver om $ log2^x $
- Hur vi skriver om $ log3 \cdot 9 $
- Hur vi skriver om $ log\frac{5}{7} $
- Lös ekvationen $ 0,5^x = 0,2 $
- Lös ekvationen $log7+logx= log21$
- Lös ekvationen $loga - log8= log64$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Beräkna, utan räknare, $\text{lg }2+\text{lg }5$lg 2+lg 5.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: logaritm logaritmlagarnaRättar...2. Premium
Beräkna utan räknare $\lg32-\lg2$lg32−lg2 .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: logaritm logaritmlagarnaRättar...3. Premium
Lös ekvationen $\text{lg }a-\text{lg }100=\text{lg }50$lg a−lg 100=lg 50
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $\lg x+\lg9=\lg27$lgx+lg9=lg27
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Lös ekvationen $\lg(9x)-\lg(3)=\lg(x+4)$lg(9x)−lg(3)=lg(x+4)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Du och dina två kompisar har fått i uppgift att lösa ekvationen $6\cdot3^x=72$6·3x=72 utan räknare. Detta är är era tre lösningar.
Lösning 1: $x=\text{lg }4$x=lg 4
Lösning 2: $x=\frac{\text{lg }12}{\text{lg }3}$x=lg 12lg 3
Lösning3: $x=\frac{\text{lg }72}{\text{lg }18}$x=lg 72lg 18
Lös själv ekvationen och välj vilket svarsalternativ nedan du anser är korrekt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
7. Premium
Beräkna utan räknare $\text{lg }49000-\text{lg }490+\text{lg }\sqrt{100}$lg 49000−lg 490+lg √100
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (3)
-
8. Premium
Beräkna värdet av $x$x utan räknare $\text{lg }x^5+\text{lg }81=\text{ lg }x^7$lg x5+lg 81= lg x7
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra logaritmekvationer logaritmer logaritmlagarRättar...9. Premium
Lös ekvationen
$\lg5+2\lg x=\lg80$lg5+2lgx=lg80
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Logaritmlagarna och logaritmekvationerLiknande uppgifter: Algebra logaritmerRättar...10. Premium
Lös ekvationen
$\lg\left(4-x\right)=\lg7-\lg\left(x+4\right)$lg(4−x)=lg7−lg(x+4)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Logaritmlagarna och logaritmekvationerLiknande uppgifter: Algebra logaritmerRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Jonas Pettersson
Önskar filmerna kunde uppdateras till nya formatet. De gamla känns som en ungdomsgård 2003. 4:3-formatet passar inte i webläsaren heller.
Christin Andersson
Hej!
Tror ni borde titta på fråga 2, när man rättar står det att man svarat fel och inte vilket alternativ som ska vara rätt. I er förklaring skriver ni: "D.v.s log 32−log 2=log (322)=log 16(≈1,2)"
Men eftersom svarsalternativen bara visade ex. log 16, log 30 etc, borde väl log 16 anser vara rätt svar på denna frågan?
Jakob Nilsson
På Uppgift 4 står det "subtrahera båda leden med 4" men det ser mer ut att man har subtraherat med x eller har jag missat nått?
Anders Glans
Logaritmekvationsregler mm. Är lite osäkert när ni kräver att man skriver lösningar på ekvationer som svar: x=2 .men ibland räcker det med svar:2. Har ni några regler ni förhåller er till? Om det är kodningen med att ta ut värden ur text rekommenderar jag att ni förklarar att endast siffror skall skrivas på svarsraden.
John Hörnvall
På uppgift 4 är svaret x=2, medans på uppgift 3 är svaret bara 3 och inte x=3?
Johanna Forslind
Hej!
på fråga 3 har jag svarat x=3 men ändå fått fel
och lika på fråga 4 där jag svarat x = 2.
/Johanna
Hanna Henriksson
Hej igen, uppgift 6 får jag till 9, e detta fel eller är det fel i facit som det är ibland, förstår inte i såfall hur svaret kan bli 3, tacksam för hjälp, mvh Hanna, ps tack än en gång för jättebra sida.
Peter Söderholm
Hej, jag ska förenkla 2lg 5 + lg 4. Hur gör jag då?, svaret ska bli 2 men jag förstår inte hur. Jag tycker man borde ta 2 lg 5*4 men det blir bara fel 🙁
Nadia Blomstrand
hur kan jag lösa 52=281 ⋅ 10^x
sitter fast...
Caroline
Jag förstår fram tills lg(8) + 1.
Hur vet jag vad lg(8) har för närmevärde liksom?
Och måste man alltid rita ut en kurva? (Förstår inte mycket av kurvor fortfarande!) 🙁
Caroline
JAHA!! Nu förstod jag!!!!
Om lg(10)=1 och då är lg(5) exempel, = 0,5.. Då är lg(8)=cirka 0,8
Så lg(10) + lg(8) = cirka 1,9 då som var det närmaste talet!
Tack Simon!!
En till fråga dock:
Ska man alltid skriva om logaritmlagen, alltså typ "bryta ned" exempel lg(80) till = lg(8*10)?
Ålands Lyceum
I regel nr 2 står det att logA*B=logA+logB vilket kan leda till missförstånd.
Det är ju faktiskt så att logA*B=B*logA (kommutativa lagen) vilket inte avses här; Ett bättre skrivsätt vore
log(A*B)=logA+logB
så behöver regeln inte missförstås
Christian Johansson
Hej!
Jag saknar info om hur man använder lagarna i kombination med andra baser än 10.
frågan jag sitter på just nu är: Förenkla: 2lg50 - lg25, antar att jag ska använda den 3 lagen i filmen, men vet inte hur.
Vet att det ska sluta med lg100 men vet inte hur jag ska komma dit. Förklaring tack!
Mvh
HAYIR
hey jag har en uppgift och jag fattar inte hur jag ska lösa den..
lg(1+x)-lg(1-x)=1
HAYIR
tack 😀
Sebastian
Hej hur löser man ut dessa två ekvationer:
lg(2 + x) + lg(2-x) = lg 3
2 lg x = lg 3x
viktorrydberg
Hej.
Enligt logaritmlagen ska man subtrahera vid division men ändå dividerar du i exemplet 2.45 i videon, varför?
nti_ma2
hej
jag har här en ekvation
5^5x⋅10^2x= 12500
kan man lösa den så här
log 50^5x = log 12500
5x⋅log50 = log 12500
5x = log12500/log 50
5x= 2,41
x=2.41/5
x=0.48
nti_ma2
Hej
Kan du hjälpa med att läsa denna ekvation 321-10^x = 123
Tack
dontomas
Oj, min kritik var lite väl ensidig märkte jag 🙂 Du har ju även gjort ett fantastiskt arbete. Pedagogiskt lysande stundtals. Men det var just efter den här delen som jag kände att jag saknade lite verktyg att gå vidare med.
dontomas
Oj, nu råkade jag skriva fel i slutet.
Skulle stå:
x = -3 +- sqrt(9992+9)
x1 = 97
komvux_boras
hejsan
hur löser man ekvationen (lgx)^2 - lgx^2 =99
komvux_boras
ja
dontomas
Hej. Ett exempel jag håller på med är
10^0,5x +10^3 = 10^4
Svaret ska bli 7,91 men det får jag inte till 🙁
Kan du visa?
dontomas
Tack!
Anna Svensson
Hej, får jag bara fråga.
Hur fick vi 0,5x⋅lg10=lg9000⇔0,5x⋅lg10=lg9000⇔ (lg10=1)
till
0,5x=3,954⇔
?
Hoppade vi över ett steg eller vad missar jag här? Hur blev 9000 till 3.954?
Tack på förhand
matematikkontot
Varför kan man " logga ut"?
annab87
Förstår inte denna riktigt, känns lite rörigt=/
lgx-1=lg 2
mvh
Endast Premium-användare kan kommentera.