Lösa exponentialekvationer med logaritmer

När vi löser ekvationer med logaritmer använder vi oss av följande definition av logaritmen.

Tiologaritmen av ett tal $y$y är den exponent $x$x vi måste upphöja basen $10$10 till, för att få talet $y$y.

Förutsättningen för omskrivningen är att $y$y alltid är ett positiv tal. Det vill säga $y>0$y>0 .

Vi ska alldeles strax titta på hur vi använder detta för att lösa exponentialekvationer. Men vi börjar med varför det fungerar.

I lektionen Tiologaritmen lärde vi oss bland annat lösa ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10^x=1 000 000 genom att skriva en miljon som tiopotensen $10^6$10⁶.

$10^x=1\text{ }000\text{ }000$10^x=1 000 000 ⇔ $10^x=10^6$10^x=10⁶

Om VL ska bli identiskt med HL måste $x=6$x=6. Ekvationen svarar alltså på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en miljon.

Men hur löser vi ekvationen $37^x=12$37^x=12 ? Alltså hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Men metoden med att skriva om på basen tio hjälper oss fortfarande, även om det är lite krångligare denna gången. Men misströsta inte! Snart ska vi presentera en relativt enkel metod. Och med en del övning kommer vi snart att lösa vilken exponentialekvation som helst!

Värt att nämna är att vi inte behöver skriva om ekvationen på detta vis varje gång, utan utifrån detta exempel kan vi presentera den mycket användbara logaritmlagen

Se i exempel nedan.

Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Med hjälp av logaritmlagar kan vi skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen. Det innebär att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering.

För att hänga med i tanken vid ekvationslösningen kan en mening hjälpa. $\lg$lg kan utläsas som "det tal tio ska upphöjas till för att bli..."

Det gäller även för alla andra baser.

Vi kontrollerar vår lösning, det vi kallar för att verifiera lösningen.
$VL=10\cdot8^{\frac{\lg2,4}{\lg8}}=24$VL=10·8^lg2,4lg8 =24
$HL=24$HL=24

vilket ger att$VL=HL$‍VL=HL och $x=$x= $\frac{\lg2,4}{\lg8}$lg2,4lg8 är där med en lösning till ekvationen.

När vi ska lösa lite mer invecklade exponentialekvationer är det ofta till hjälp, eller rent av nödvändigt, att skriva om uttryck med potenslagarna.

En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera dess graf och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den blåa grafen motsvara funktionen $y=10^x$y=10^x. Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där $x$x så väl som $y$y är okända. Detta eftersom grafen visar att vi kan skriva alla positiva heltal som en tiopotens.

Vi vet att $10=10^x$10=10^x ger lösningen $x=1$x=1. Vi kan läsa av detta i grafen genom att leta reda på punkten där $y=10$y=10 och avläsa tillhörande $x$x-värdet som är $x=1$x=1.

På liknande vis kan vi lösa ekvationen $3,98=10^x$3,98=10^x. Vi söker upp punkten på grafen som har $y$y-värdet $y=3,98$y=3,98 och får en approximativ, det vill säga ungefärlig, lösningen $x\approx0,6$x≈0,6.

När vi söker värdet på $y=10^{0,6}$y=10^0,6 får vi att $y\approx3,98$y≈3,98. Det innebär då i omvänd ordning, att ekvationen $0,6=\lg y$0,6=lgy har lösningen $y\approx3,98$y≈3,98, då logaritmen står för "det tal tio ska upphöja till för att bli.."

I digitala verktyg finns automatiska funktioner som tar fram detta värde så att vi slipper det tidsödande arbetet att läsa av en graf eller tabell, för att ta reda på olika logaritmvärden.

Det är vanligt att vi glömmer att dividera bort en eventuell koefficient innan vi logaritmerar båda leden. Då blir det fel! Förenkla först så att vi har potensen $a^x$a^x själv i ena ledet, innan vi sätter i gång och löser ekvationen med hjälp av logaritmen.

Ett annat vanligt fel är att vi tror att $\frac{\lg A}{\text{ }\lg B}$lgA lgB är det samma som $\lg$lg$\frac{A}{B}$AB . Det är det inte!

Det ser vi t.ex. med hjälp av detta exempel.

$\frac{\lg10^3}{\lg10^2}=\frac{3}{2}=$lg10³lg10² =32 =$1,5$1,5

som inte är det samma som

$\lg\frac{10^3}{10^2}=\lg\frac{1000}{100}=$lg10³10² =lg1000100 = $\lg10=1$lg10=1

Här visar vi hur vi skriver$\frac{\text{ }\lg12}{\lg37}$ lg12lg37 på en TI83

Olika digitala hjälpmedel har lite olika sätt att skriva in logaritmer för att beräkningen ska bli rätt. Undersök och träna så att du är bekväm med just ditt hjälpmedel. Om du inte vet hur du ska göra kan du googla för att troligtvis hitta en instruktion eller video om hur du gör på just ditt hjälpmedel.

I lektionen exponentialfunktioner gick vi igenom vad som gör att en ekvation kallas exponentiell.

Formeln för en exponentialekvation kan skrivas på följande vis.

Det är dessa ekvationer vi behöver logaritmer till för att kunna lösa algebraiskt!

För att underlätta lösning av svårare ekvationer och beräkningar med logaritmer kan vi använda logaritmlagarna. För den som är intresserad hittar vi dem i lektionen Logaritmlagar och logaritmekvationer. Men de är inte längre ett lika tydligt centralt innehåll i denna kurs.

Det allmänna skrivsättet för logaritmen är $\log_a\left(b\right)$log_a(b). Vi beräknar med logaritmen det värde som motsvarar den exponent $x$x vi upphöjer basen $a$a till, för att få talet $b$b. Vanligt är, som vi redan nämnt, att använda logaritmen med basen tio. Men vi kan lika gärna använda en annan bas. Här följer några krångliga sätt att skriva talet tre på.

$3=\lg10^3=\log_5\left(5^3\right)=\log_e\left(e^3\right)=\log_a\left(a^3\right)$3=lg10³=log₅(5³)=log_e(e³)=log_a(a³) eftersom $x=\log_a\left(a^x\right)$x=log_a(a^x) .

I matematik 3 kommer den naturliga logaritmen, som har basen $e$e, att introduceras och användas mycket. Men det tar vi då.

Lös ekvationen $5^x=3$
Lös ekvationen $4^x=8$
Lös ekvationen $2\cdot6^x=13$