00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Tiologaritmen

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här går vi igenom vad tiologaritmen är. VI tittar även kort på hur vi använder dem för att lösa enklare exponentialekvationer.

Kort om logaritmer

I matematik 1 lärde vi oss om exponentialfunktioner och hur vi löser dessa grafiskt. Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Det vill säga med våra olika räkneregler bestämma värdet på det som är okänt.

Med hjälp av logaritmlagar kan vi skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen.

Man säger att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Med det menas förenklat att ”de tar ut varandra” på liknande vis som addition och subtraktion eller division och multiplikation är varandras inversa operationer.

Tiologaritmens graf

En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera grafen till  y=10xy=10^xy=10x och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där xxx så väl som yyy är okända. Detta eftersom att grafen visar att vi kan skriva alla positiva tal som en tiopotens.

Tiologaritmens graf

Vi vet att 10=10x10=10^x10=10x ger lösningen x=1x=1x=1. Det vet vi eftersom att vi söker upp punkten där y=10y=10y=10 på grafen och läser av det tillhörande xxx-värdet x=1x=1x=1 som lösning.

På liknade vis kan vi lösa ekvationen 100=10x100=10^x100=10x. Punkten  (2, 100)\left(2,\text{ }100\right)(2, 100) på grafen ger oss lösningen x=2x=2x=2 .

Sammanfattningsvis innebär det att när vi löser en ekvation med logaritmer grafiskt, bestämmer vi värdet på lgy\lg ylgy genom att läsa av tillhörande xxx-koordinat till yyy-värdet i punkten på grafen. Mer om det i nästa lektion där vi upprepat kommer använda sambandet nedan.

10x=y10^x=y10x=y     ⇔      x=lgyx=\lg yx=lgy   där  y>0y>0y>0

Logaritmer är bara definierade för positiva tal, eftersom att y>0y>0y>0. Ekvivalensen ovan gäller eftersom att lg10x=x\lg10^x=xlg10x=x.

Beräkna en tiologaritm

Som vi nyss nämnde är logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Därför kan vi enkelt beräkna tiologaritmen för potenser med basen tio.

Exempel 1

Beräkna logaritmen  lg100\lg100lg100

Lösning

Eftersom att 100=102100=10^2100=102  kan vi beräkna logaritmen så här.

lg100=lg102=2\lg100=\lg10^2=2lg100=lg102=2

Det beror på att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Det vill säga lg\lglg och basen tio ”tar ut” varandra och kvar blir bara en tvåa.

Exempel 2

Beräkna logaritmen

lg1 000 000\lg1\text{ }000\text{ }000lg1 000 000

Lösning

Eftersom att 1 000 000=1061\text{ }000\text{ }000=10^61 000 000=106 kan vi beräkna logaritmen så här.

lg1 000 000=lg106=6\lg1\text{ }000\text{ }000=\lg10^6=6lg1 000 000=lg106=6

lg\lglg och basen tio ”tar ut” varandra och kvar blir bara en sexa.

Exempel 3

Beräkna logaritmen  lg0,001\lg0,001lg0,001

Lösning

Eftersom att  0,001=1030,001=10^{-3}0,001=103  kan vi beräkna logaritmen så här.

lg0,001=lg103=3\lg0,001=\lg10^{-3}=-3lg0,001=lg103=3

Känner du dig osäker på hur du skriver om talen till en tiopotens så återvänd till lektionen Grundpotensform.

Lös exponentialekvationer med potensreglerna

Vi ska nu börja titta på några exempel på hur man kan lösa vissa exponentialekvationer med hjälp av potensreglerna.

Ekvationen 10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000 kan vi lösa genom att skriva en miljon som tiopotensen 10610^6106.

Exempel 4

Lös ekvationen  10x=10010^x=10010x=100

Lösning

Eftersom att  100=102100=10^2100=102  kan vi lösa ekvationen så här.

10x=10010^x=10010x=100     skriv om HL till en tiopotens

10x=10210^x=10^210x=102

Eftersom att både VL och HL och höger ledet har samma bas, så måste exponenterna anta samma värde för att det ska vara en likhet mellan VL och HL. Vi kan helt enkelt ”titta” på ekvationen och se att om xxx är en tvåa blir VL=HL.

Därför är  x=2x=2x=2  lösningen till ekvationen.

Exempel 5

Lös ekvationen 10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000

Lösning

Eftersom att 1 000 000=1061\text{ }000\text{ }000=10^61 000 000=106 kan vi lösa ekvationen så här.

10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000     skriv om HL till en tiopotens

10x=10610^x=10^610x=106

VL och HL har samma bas, så om exponenterna antar samma värde råder likhet mellan VL och HL.

Därför är x=6x=6x=6  lösningen till ekvationen.

Exempel 6

Lös ekvationen 10x=0,00110^x=0,00110x=0,001

Lösning

Vi får att

10x=0,00110^x=0,00110x=0,001     skriv om HL till en tiopotens

10x=10310^x=10^{-3}10x=103

Likhet i basen ger att  x=3x=-3x=3

Sammanfattningsvis svarar alltså ekvationernas lösningar ovan på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli hundra, en miljon eller en tusendel.

Att lösa exponentialekvationer med tiologaritmen

Vi fortsätter nu med att studera hur vi kan använda tiologaritmen för att lösa en exponentialekvation. Som ett exempel tar vi 10x=10010^x=10010x=100  igen och ställer en särskild fråga för att lösa ekvationen.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli hundra?”. Det fiffiga är då, att svaret Två. ger oss lösningen till ekvationen. Alltså är logaritmen av 100100100 lika med två. Matematiskt skriver vi det så här.

Exempel 7

Lös ekvationen  10x=10010^x=10010x=100

Lösning

Eftersom att  100=102100=10^2100=102  och  lg10x=x\lg10^x=xlg10x=x kan vi lösa ekvationen så här.

10x=10010^x=10010x=100     logaritmera båda leden

lg10x=lg100\lg10^x=\lg100lg10x=lg100    skriv om HL till en tiopotens

lg10x=lg102\lg10^x=\lg10^2lg10x=lg102     

skriv om VL och HL då du vet att lg10x=x\lg10^x=xlg10x=x  och därmed även  lg102=2\lg10^2=2lg102=2

x=2x=2x=2

Om x=2x=2x=2  är VL=HLVL=HLVL=HL vilket då är en lösning till ekvationen.

Lösningen på ekvationen 10x=y10^x=y10x=y  kan vi hitta genom att upprepa frågan

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli y?”. Ekvationens lösning är då svaret: x

På likande vis löser vi det andra exemplet och ställer frågan för att lösa ekvationen 10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli en miljon?”. Då är svaret Sex. Det svaret ger oss att, logaritmen av 1 000 0001\text{ }000\text{ }0001 000 000 lika med 666. Matematiskt skriver vi det så här.

Exempel 8

Lös ekvationen  10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000

Lösning

Vi löser exponentialekvationen med logaritmer

10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000    logaritmera båda leden

lg10x=lg1 000 000\lg10^x=\lg1\text{ }000\text{ }000lg10x=lg1 000 000    skriv om HL till en tiopotens

lg10x=lg106\lg10^x=\lg10^6lg10x=lg106     

skriv om VL och HL då du vet att lg10x=x\lg10^x=xlg10x=x och lg106=6\lg10^6=6lg106=6

x=6x=6x=6

Om x=6x=6x=6 är VL=HLVL=HLVL=HL vilket därför är en lösning till ekvationen.

Man kan med fördel hoppa över skrivningen med VL som tiopotens och istället direkt använda huvudräkning för  lg10x=x\lg10^x=xlg10x=x,lg1 000 000=6\lg1\text{ }000\text{ }000=6lg1 000 000=6 och lg100=2\lg100=2lg100=2.

Men vi gjorde så här för att förtydliga att exponenten är lösningen! Exempelvis räcker det när du övat ett tag att du löser den i tre steg.

10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000    logaritmera båda leden

x=lg1 000 000x=\lg1\text{ }000\text{ }000x=lg1 000 000

x=6x=6x=6

Klart! Inte så krångligt som det till en början verkade hoppas vi.

Olika skrivsätt för tiologaritmen

Vårt talsystem, det decimala talsystemet, är uppbyggt på basen tio. Därför är det vanligt att man använder tiologaritmen, alltså log10\log_{10}log10 för att lösa exponentialekvationer. Det är så vanligt att man till och med gett det en egen beteckning, lg\lglg eller  log\loglog. Det innebär att log10, log\log_{10},\text{ }\loglog10, log och lg\lglg är tre olika sätt att skriva exakt samma sak.

Vem kom på logaritmer?

Man anser att det var skotten John Napier som uppfann logaritmer. Den ursprungliga nyttan med logaritmer var att förenkla långa jobbiga beräkningar. Det gjorde man genom att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med sekvenser av additioner som var mindre tidskrävande att lösa. Logaritmen definieras så här.

Logaritmen av ett tal yyy är den exponent xxx man måste upphöja basen aaa till, för att få talet yyy. 

Med matematik skriver vi det så här.

ax=ya^x=yax=y     ⇔      x=loga(y)x=\log_a(y)x=loga(y)   där  y>0y>0y>0

Som vi nämnt ovan tänker man sig en logaritm ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi kallar det för den inversa funktionen till exponentiering. Vi använder alltså logaritmen när vi löser en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

En omatematisk beskrivning av tiologaritmen

Lite barnsligt och omatematiskt kan man beskriva tiologaritmen som att den ”äter upp” basen tio så att bara exponenten blir kvar. Det leder till att när basen försvinner ”ramlar” exponenten ner i basen och ”förvandlas” till lösningen på ekvationen.

På liknande sätt skulle vi kunna beskriva hur basen tio ”befriar” den okända variabeln xxx då den är ”fångad” av logaritmen.

Genom att flytta upp logaritmen och ”dess fångade tal” i exponenten och tillsätta basen tio, ”befrias” talet som är ”tillfångataget” av logaritmen. Både basen tio och logaritmen i exponenten ”går upp i rök” och därmed lämnas  talet som var ”tillfångataget” ensamt kvar och ”förvandlas” på så sätt till lösningen på ekvationen.

Kom ihåg, gör man något i ena leden när man löser en ekvation, måste man göra exakt detsamma i det andra ledet! Vi utfår från  y=10xy=10^xy=10x och skapar en oändlig loop genom att först ta logaritmen i båda led och sedan skriva om på basen tio.

 

Tillbaka till där vi började. Detta är ingenting du kommer använda vid beräkningar. Men kanske är det ett sätt att få kläm på logaritmen och hur du använder logaritmer och basen tio för att skriva om uttryck och lösa ekvationer.

Skriva om tal till tiologaritmen

Eftersom att tiologaritmen av ett tal motsvarar den exponent xxx man upphöjer basen tio till för att få talet, kan alla tal skriva om till en potens med basen tio på följande vis.

Exempel 9

Skriv om talen på basen tio.

a)  100100100

b)  0,10,10,1

c)  777

Lösning

a) Eftersom att 100=102100=10^2100=102 och lg100=2\lg100=2lg100=2  kan vi skriva om talet på basen tio på följande vis.

100=10lg100100=10^{\lg100}100=10lg100

Vi kontrollerar att det stämmer.

10lg100=102=10010^{\lg100}=10^2=10010lg100=102=100. Ser bra ut!

b)  0,1=10lg0,10,1=10^{\lg0,1}0,1=10lg0,1   eftersom att  lg0,1=1\lg0,1=-1lg0,1=1 och  101=0,110^{-1}=0,1101=0,1

c)  7=10lg77=10^{\lg7}7=10lg7   eftersom att  lg70,8451\lg7\approx0,8451lg70,8451  och  100,8451710^{0,8451}\approx7100,84517

Vi ser igen att lg\lglgoch basen tio är varandras inverser, eller med andra ord, ”tar ut varandra”.

Tiologaritmen som lösningsmetod för alla exponentialekvationer

I exemplen ovan har vi fokuserat på exponentialekvationer med förändringsfaktorn tio. Eller med andra ord basen tio. Det vill säga, ekvationer som svarar på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en visst tal.

Men hur löser vi ekvationen 37x=1237^x=1237x=12? Med andra ord, hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Metoden med att skriva om till en potens på basen tio som vi nyss använde hjälper oss inte.

För exponentialekvationer fungerar inte samma metoder som för potensekvationer, det vill säga ekvationer där den okända variabeln är i exponenten istället för i basen.

Tidigare har vi löst exponentialekvationerna grafiskt. Det vill säga genom att ritat upp två grafer, en för HL och en för VL, och läsa av skärningspunktens xxx-värde. I nästa lektion, Lösa exponentialekvationer med logaritmer lär vi oss använda logaritmer som metod för att lösa alla olika sorters exponentialekvationer!

Nödvändiga förkunskaper

För att lösa exponentialekvationerna är det bra att ha koll på det vi gick igenom i lektionen om potenser och potenslagar. Dessutom underlättar det att kunna vad en exponentialfunktion är.

Potenser

En potens är ett uttryck av typen axa^xax, där aaa och xxx kan vara både en variabel eller en konstant. aaa  kallas för bas och xxx för exponent. Tillsammans bildar de en potens.

Potenslagarna

axay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y}ax·ay=ax+y

axay=\frac{a^x}{a^y}=axay = axya^{x-y}axy

a0=1a^0=1a0=1

(ax)y=axy(a^x)^y=a^{x\cdot y}(ax)y=ax·y

(ab)x=axbx(a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x(a·b)x=ax·bx

ax=1ax, a0a^{-x}=\frac{1}{a^x},\text{ }a\ne0ax=1ax , a0

Exponentialfunktion

En funktion där den oberoende variabeln finns i exponenten. En exponentialfunktion skrivs på den allmänna formen y=Cakxy=C\cdot a^{kx}y=C·akx  där C, aC,\text{ }aC, a och kkk är konstanter och a>0a>0a>0. I Matematik 1 och 2 är det vanligt att k=1k=1k=1 och utelämnas därför då den inte påverkar funktionens värde.

Begrepp

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0
aaa motsvarar förändringsfaktorn
xxx  motsvarar ofta antalet förändringar

Den oberoende variabeln betecknas här xxx och den oberoende variabeln yyy. Exponentialfunktionen kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell (dock oftast inte linjärt proportionell) mot funktionsvärdet.

Återvänd till dessa lektioner om du känner dig osäker.

Exempel i videon om tiologaritmen

  1. Lös exponentialekvationen  10x=10010^x=10010x=100
  2. Bestäm utan räknare  lg1000\lg1000lg1000
  3. Bestäm utan räknare  lg0,001\lg0,001lg0,001
  4. Bestäm utan räknare  lg107\lg10^7lg107
  5. Bestäm utan räknare  10lg10010^{\lg100}10lg100