Författare:
Simon Rybrand
Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
- Kort om logaritmer
- Tiologaritmens graf
- Beräkna en tiologaritm
- Lös exponentialekvationer med potensreglerna
- Att lösa exponentialekvationer med tiologaritmen
- Olika skrivsätt för tiologaritmen
- Vem kom på logaritmer?
- En omatematisk beskrivning av tiologaritmen
- Skriva om tal till tiologaritmen
- Tiologaritmen som lösningsmetod för alla exponentialekvationer
- Nödvändiga förkunskaper
- Exempel i videon om tiologaritmen
- Kommentarer
Här går vi igenom vad tiologaritmen är. VI tittar även kort på hur vi använder dem för att lösa enklare exponentialekvationer.
Kort om logaritmer
I matematik 1 lärde vi oss om exponentialfunktioner och hur vi löser dessa grafiskt. Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Det vill säga med våra olika räkneregler bestämma värdet på det som är okänt.
Med hjälp av logaritmlagar kan vi skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen.
Man säger att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Med det menas förenklat att ”de tar ut varandra” på liknande vis som addition och subtraktion eller division och multiplikation är varandras inversa operationer.
Tiologaritmens graf
En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera grafen till y=10xy=10x och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där xx så väl som yy är okända. Detta eftersom att grafen visar att vi kan skriva alla positiva tal som en tiopotens.
Vi vet att 10=10x10=10x ger lösningen x=1x=1. Det vet vi eftersom att vi söker upp punkten där y=10y=10 på grafen och läser av det tillhörande xx-värdet x=1x=1 som lösning.
På liknade vis kan vi lösa ekvationen 100=10x100=10x. Punkten (2, 100)(2, 100) på grafen ger oss lösningen x=2x=2 .
Sammanfattningsvis innebär det att när vi löser en ekvation med logaritmer grafiskt, bestämmer vi värdet på lgylgy genom att läsa av tillhörande xx-koordinat till yy-värdet i punkten på grafen. Mer om det i nästa lektion där vi upprepat kommer använda sambandet nedan.
10x=y10x=y ⇔ x=lgyx=lgy där y>0y>0
Logaritmer är bara definierade för positiva tal, eftersom att y>0y>0. Ekvivalensen ovan gäller eftersom att lg10x=xlg10x=x.
Beräkna en tiologaritm
Som vi nyss nämnde är logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Därför kan vi enkelt beräkna tiologaritmen för potenser med basen tio.
Exempel 1
Beräkna logaritmen lg100lg100
Lösning
Eftersom att 100=102100=102 kan vi beräkna logaritmen så här.
lg100=lg102=2lg100=lg102=2
Det beror på att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Det vill säga lglg och basen tio ”tar ut” varandra och kvar blir bara en tvåa.
Exempel 2
Beräkna logaritmen
lg1 000 000lg1 000 000
Lösning
Eftersom att 1 000 000=1061 000 000=106 kan vi beräkna logaritmen så här.
lg1 000 000=lg106=6lg1 000 000=lg106=6
lglg och basen tio ”tar ut” varandra och kvar blir bara en sexa.
Exempel 3
Beräkna logaritmen lg0,001lg0,001
Lösning
Eftersom att 0,001=10−30,001=10−3 kan vi beräkna logaritmen så här.
lg0,001=lg10−3=−3lg0,001=lg10−3=−3
Känner du dig osäker på hur du skriver om talen till en tiopotens så återvänd till lektionen Grundpotensform.
Lös exponentialekvationer med potensreglerna
Vi ska nu börja titta på några exempel på hur man kan lösa vissa exponentialekvationer med hjälp av potensreglerna.
Ekvationen 10x=1 000 00010x=1 000 000 kan vi lösa genom att skriva en miljon som tiopotensen 106106.
Exempel 4
Lös ekvationen 10x=10010x=100
Lösning
Eftersom att 100=102100=102 kan vi lösa ekvationen så här.
10x=10010x=100 skriv om HL till en tiopotens
10x=10210x=102
Eftersom att både VL och HL och höger ledet har samma bas, så måste exponenterna anta samma värde för att det ska vara en likhet mellan VL och HL. Vi kan helt enkelt ”titta” på ekvationen och se att om xx är en tvåa blir VL=HL.
Därför är x=2x=2 lösningen till ekvationen.
Exempel 5
Lös ekvationen 10x=1 000 00010x=1 000 000
Lösning
Eftersom att 1 000 000=1061 000 000=106 kan vi lösa ekvationen så här.
10x=1 000 00010x=1 000 000 skriv om HL till en tiopotens
10x=10610x=106
VL och HL har samma bas, så om exponenterna antar samma värde råder likhet mellan VL och HL.
Därför är x=6x=6 lösningen till ekvationen.
Exempel 6
Lös ekvationen 10x=0,00110x=0,001
Lösning
Vi får att
10x=0,00110x=0,001 skriv om HL till en tiopotens
10x=10−310x=10−3
Likhet i basen ger att x=−3x=−3
Sammanfattningsvis svarar alltså ekvationernas lösningar ovan på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli hundra, en miljon eller en tusendel.
Att lösa exponentialekvationer med tiologaritmen
Vi fortsätter nu med att studera hur vi kan använda tiologaritmen för att lösa en exponentialekvation. Som ett exempel tar vi 10x=10010x=100 igen och ställer en särskild fråga för att lösa ekvationen.
”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli hundra?”. Det fiffiga är då, att svaret ”Två.” ger oss lösningen till ekvationen. Alltså är logaritmen av 100100 lika med två. Matematiskt skriver vi det så här.
Exempel 7
Lös ekvationen 10x=10010x=100
Lösning
Eftersom att 100=102100=102 och lg10x=xlg10x=x kan vi lösa ekvationen så här.
10x=10010x=100 logaritmera båda leden
lg10x=lg100lg10x=lg100 skriv om HL till en tiopotens
lg10x=lg102lg10x=lg102
skriv om VL och HL då du vet att lg10x=xlg10x=x och därmed även lg102=2lg102=2
x=2x=2
Om x=2x=2 är VL=HLVL=HL vilket då är en lösning till ekvationen.
Lösningen på ekvationen 10x=y10x=y kan vi hitta genom att upprepa frågan
”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli y?”. Ekvationens lösning är då svaret: ”x”
På likande vis löser vi det andra exemplet och ställer frågan för att lösa ekvationen 10x=1 000 00010x=1 000 000.
”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli en miljon?”. Då är svaret ”Sex.” Det svaret ger oss att, logaritmen av 1 000 0001 000 000 lika med 66. Matematiskt skriver vi det så här.
Exempel 8
Lös ekvationen 10x=1 000 00010x=1 000 000
Lösning
Vi löser exponentialekvationen med logaritmer
10x=1 000 00010x=1 000 000 logaritmera båda leden
lg10x=lg1 000 000lg10x=lg1 000 000 skriv om HL till en tiopotens
lg10x=lg106lg10x=lg106
skriv om VL och HL då du vet att lg10x=xlg10x=x och lg106=6lg106=6
x=6x=6
Om x=6x=6 är VL=HLVL=HL vilket därför är en lösning till ekvationen.
Man kan med fördel hoppa över skrivningen med VL som tiopotens och istället direkt använda huvudräkning för lg10x=xlg10x=x,lg1 000 000=6lg1 000 000=6 och lg100=2lg100=2.
Men vi gjorde så här för att förtydliga att exponenten är lösningen! Exempelvis räcker det när du övat ett tag att du löser den i tre steg.
10x=1 000 00010x=1 000 000 logaritmera båda leden
x=lg1 000 000x=lg1 000 000
x=6x=6
Klart! Inte så krångligt som det till en början verkade hoppas vi.
Olika skrivsätt för tiologaritmen
Vårt talsystem, det decimala talsystemet, är uppbyggt på basen tio. Därför är det vanligt att man använder tiologaritmen, alltså log10log10 för att lösa exponentialekvationer. Det är så vanligt att man till och med gett det en egen beteckning, lglg eller loglog. Det innebär att log10, loglog10, log och lglg är tre olika sätt att skriva exakt samma sak.
Vem kom på logaritmer?
Man anser att det var skotten John Napier som uppfann logaritmer. Den ursprungliga nyttan med logaritmer var att förenkla långa jobbiga beräkningar. Det gjorde man genom att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med sekvenser av additioner som var mindre tidskrävande att lösa. Logaritmen definieras så här.
Logaritmen av ett tal yy är den exponent xx man måste upphöja basen aa till, för att få talet yy.
Med matematik skriver vi det så här.
ax=yax=y ⇔ x=loga(y)x=loga(y) där y>0y>0
Som vi nämnt ovan tänker man sig en logaritm ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi kallar det för den inversa funktionen till exponentiering. Vi använder alltså logaritmen när vi löser en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.
En omatematisk beskrivning av tiologaritmen
Lite barnsligt och omatematiskt kan man beskriva tiologaritmen som att den ”äter upp” basen tio så att bara exponenten blir kvar. Det leder till att när basen försvinner ”ramlar” exponenten ner i basen och ”förvandlas” till lösningen på ekvationen.
På liknande sätt skulle vi kunna beskriva hur basen tio ”befriar” den okända variabeln xx då den är ”fångad” av logaritmen.
Genom att flytta upp logaritmen och ”dess fångade tal” i exponenten och tillsätta basen tio, ”befrias” talet som är ”tillfångataget” av logaritmen. Både basen tio och logaritmen i exponenten ”går upp i rök” och därmed lämnas talet som var ”tillfångataget” ensamt kvar och ”förvandlas” på så sätt till lösningen på ekvationen.
Kom ihåg, gör man något i ena leden när man löser en ekvation, måste man göra exakt detsamma i det andra ledet! Vi utfår från y=10xy=10x och skapar en oändlig loop genom att först ta logaritmen i båda led och sedan skriva om på basen tio.
Tillbaka till där vi började. Detta är ingenting du kommer använda vid beräkningar. Men kanske är det ett sätt att få kläm på logaritmen och hur du använder logaritmer och basen tio för att skriva om uttryck och lösa ekvationer.
Skriva om tal till tiologaritmen
Eftersom att tiologaritmen av ett tal motsvarar den exponent xx man upphöjer basen tio till för att få talet, kan alla tal skriva om till en potens med basen tio på följande vis.
Exempel 9
Skriv om talen på basen tio.
a) 100100
b) 0,10,1
c) 77
Lösning
a) Eftersom att 100=102100=102 och lg100=2lg100=2 kan vi skriva om talet på basen tio på följande vis.
100=10lg100100=10lg100
Vi kontrollerar att det stämmer.
10lg100=102=10010lg100=102=100. Ser bra ut!
b) 0,1=10lg0,10,1=10lg0,1 eftersom att lg0,1=−1lg0,1=−1 och 10−1=0,110−1=0,1
c) 7=10lg77=10lg7 eftersom att lg7≈0,8451lg7≈0,8451 och 100,8451≈7100,8451≈7
Vi ser igen att lglgoch basen tio är varandras inverser, eller med andra ord, ”tar ut varandra”.
Tiologaritmen som lösningsmetod för alla exponentialekvationer
I exemplen ovan har vi fokuserat på exponentialekvationer med förändringsfaktorn tio. Eller med andra ord basen tio. Det vill säga, ekvationer som svarar på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en visst tal.
Men hur löser vi ekvationen 37x=1237x=12? Med andra ord, hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Metoden med att skriva om till en potens på basen tio som vi nyss använde hjälper oss inte.
För exponentialekvationer fungerar inte samma metoder som för potensekvationer, det vill säga ekvationer där den okända variabeln är i exponenten istället för i basen.
Tidigare har vi löst exponentialekvationerna grafiskt. Det vill säga genom att ritat upp två grafer, en för HL och en för VL, och läsa av skärningspunktens xx-värde. I nästa lektion, Lösa exponentialekvationer med logaritmer lär vi oss använda logaritmer som metod för att lösa alla olika sorters exponentialekvationer!
Nödvändiga förkunskaper
För att lösa exponentialekvationerna är det bra att ha koll på det vi gick igenom i lektionen om potenser och potenslagar. Dessutom underlättar det att kunna vad en exponentialfunktion är.
Potenser
En potens är ett uttryck av typen axax, där aa och xx kan vara både en variabel eller en konstant. aa kallas för bas och xx för exponent. Tillsammans bildar de en potens.
Potenslagarna
ax⋅ay=ax+yax·ay=ax+y
ayax=axay = ax−yax−y
a0=1a0=1
(ax)y=ax⋅y(ax)y=ax·y
(a⋅b)x=ax⋅bx(a·b)x=ax·bx
a−x=ax1, a=0a−x=1ax , a≠0
Exponentialfunktion
En funktion där den oberoende variabeln finns i exponenten. En exponentialfunktion skrivs på den allmänna formen y=C⋅akxy=C·akx där C, aC, a och kk är konstanter och a>0a>0. I Matematik 1 och 2 är det vanligt att k=1k=1 och utelämnas därför då den inte påverkar funktionens värde.
yy motsvarar funktionsvärdet
CC motsvarar startvärdet, funktionens värde när x=0x=0
aa motsvarar förändringsfaktorn
xx motsvarar ofta antalet förändringar
Den oberoende variabeln betecknas här xx och den oberoende variabeln yy. Exponentialfunktionen kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell (dock oftast inte linjärt proportionell) mot funktionsvärdet.
Återvänd till dessa lektioner om du känner dig osäker.
Exempel i videon om tiologaritmen
- Lös exponentialekvationen 10x=10010x=100
- Bestäm utan räknare lg1000lg1000
- Bestäm utan räknare lg0,001lg0,001
- Bestäm utan räknare lg107lg107
- Bestäm utan räknare 10lg10010lg100
Kommentarer
e-uppgifter (14)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm utan räknare lg10lg10.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm utan räknare lg109lg109
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 9(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm utan räknare lg1000lg1000
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm utan räknare lg10−6lg10−6
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm utan räknare lg0,01lg0,01
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Lös ekvationen 10x=10010x=100 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Lös ekvationen 10x=0,00110x=0,001 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=−3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Lös ekvationen lgx=5lgx=5 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=100 000(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Lös ekvationen lgx=−1lgx=−1 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=0,1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange ett närmevärde till lg10 000lg10 000 med hjälp av figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 4(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange ett närmevärde till lg100 000lg100 000 med hjälp av figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen utan räknare.
102x=100 000102x=100 000
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=2,5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Skriv talet fem som en potens med basen tio.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 10lg5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Skriv talet två som en potens med basen tio.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 10lg2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
15. Premium
(0/1/0)ME C A B P PL M R 1 K Linda säger att logaritmen för 25002500 måste vara större än två men mindre än tre. Har hon rätt eller fel?
Lös utan räknare och motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Linda har fel. Eftersom att lg1000=3 och lg10 000=4 och 2500 är ett värde där emellan måste lg2 500 vara ett värde mellan 3 och 4.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...16. Premium
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Beräkna utan räknare
lg1001+lg10lg1100 +lg√10
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −1,5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...17. Premium
(0/1/0)NPE C A B 1 P PL M R K Beräkna 10−x10−x om lgx=0lgx=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0,1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...18. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen utan räknare och svara med ett närmevärde med två decimaler
10x+10x+10x=30010x+10x+10x=300
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...19. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm xx om 10lgx−lg10=lg110lgx−lg10=lg1
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
20. Premium
(0/0/1)NPE C A B P PL 1 M R K Värdet på lg2lg2 är ungefär 0,3010,301
Bestäm ett värde på lg8lg8 med tre decimaler utan räknare.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 0,903(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: TiologaritmenRättar...21. Premium
(0/0/1)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen lg(lg(lgx))=0lg(lg(lgx))=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=1010(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Nurhussein Ahmed Nurhussein
super bra
Endast Premium-användare kan kommentera.