Tiologaritmen

I matematik 1 lärde vi oss om exponentialfunktioner och hur vi löser dessa grafiskt. Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Det vill säga med våra olika räkneregler bestämma värdet på det som är okänt.

Med hjälp av logaritmlagar kan vi skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen.

Vi säger att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Med det menas förenklat att "de tar ut varandra" på liknande vis som addition och subtraktion eller division och multiplikation är varandras inversa operationer.

En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera grafen till $y=10^x$y=10^x och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där $x$x så väl som $y$y är okända. Detta eftersom grafen visar att vi kan skriva alla positiva tal som en tiopotens.

Vi vet att $10=10^x$10=10^x ger lösningen $x=1$x=1. Det vet vi eftersom vi söker upp punkten där $y=10$y=10 på grafen och läser av det tillhörande $x$x-värdet $x=1$x=1 som lösning.

På liknande vis kan vi lösa ekvationen $100=10^x$100=10^x. Punkten $\left(2,\text{ }100\right)$(2, 100) på grafen ger oss lösningen $x=2$x=2 .

Sammanfattningsvis innebär det att när vi löser en ekvation med logaritmer grafiskt, bestämmer vi värdet på $\lg y$lgy genom att läsa av tillhörande $x$x-koordinat till $y$y-värdet i punkten på grafen. Mer om det i nästa lektion där vi upprepat kommer använda sambandet nedan.

Logaritmer är bara definierade för positiva tal, eftersom $y>0$y>0. Ekvivalensen ovan gäller eftersom $\lg10^x=x$lg10^x=x.

Som vi nyss nämnde är logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering. Därför kan vi enkelt beräkna tiologaritmen för potenser med basen tio.

Känner vi oss osäkra på hur vi skriver om talen till en tiopotens går vi tillbaka till lektionen Grundpotensform.

Vi ska nu börja titta på några exempel på hur vi kan lösa vissa exponentialekvationer med hjälp av potensreglerna.

Ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10^x=1 000 000 kan vi lösa genom att skriva en miljon som tiopotensen $10^6$10⁶.

Sammanfattningsvis svarar alltså ekvationernas lösningar ovan på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli hundra, en miljon eller en tusendel.

Vi fortsätter nu med att studera hur vi kan använda tiologaritmen för att lösa en exponentialekvation. Som ett exempel tar vi $10^x=100$10^x=100 igen och ställer en särskild fråga för att lösa ekvationen.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli hundra?”. Det fiffiga är då, att svaret ”Två.” ger oss lösningen till ekvationen. Alltså är logaritmen av $100$100 lika med två. Matematiskt skriver vi det så här.

Om $x=2$x=2 är $VL=HL$VL=HL vilket då är en lösning till ekvationen.

På liknande vis löser vi det andra exemplet och ställer frågan för att lösa ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10^x=1 000 000.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli en miljon?”. Då är svaret ”Sex.” Det svaret ger oss att, logaritmen av $1\text{ }000\text{ }000$1 000 000 lika med $6$6. Matematiskt skriver vi det så här.

Om $x=6$x=6 är $VL=HL$VL=HL vilket därför är en lösning till ekvationen.

Vi kan med fördel hoppa över skrivningen med VL som tiopotens och istället direkt använda huvudräkning för $\lg10^x=x$lg10^x=x,$\lg1\text{ }000\text{ }000=6$lg1 000 000=6 och $\lg100=2$lg100=2.

Men vi gjorde så här för att förtydliga att exponenten är lösningen! Exempelvis räcker det när vi har övat ett tag att vi löser den i tre steg.

$10^x=1\text{ }000\text{ }000$10^x=1 000 000 logaritmera båda leden

$x=\lg1\text{ }000\text{ }000$x=lg1 000 000

$x=6$x=6

Klart! Inte så krångligt som det till en början verkade hoppas vi.

Vårt talsystem, det decimala talsystemet, är uppbyggt på basen tio. Därför är det vanligt att vi använder tiologaritmen, alltså $\log_{10}$log₁₀ för att lösa exponentialekvationer. Det är så vanligt att vi till och med gett det en egen beteckning, $\lg$lg eller $\log$log. Det innebär att $\log_{10},\text{ }\log$log₁₀, log och $\lg$lg är tre olika sätt att skriva exakt samma sak.

Det anses att det var skotten John Napier som uppfann logaritmer. Den ursprungliga nyttan med logaritmer var att förenkla långa jobbiga beräkningar. Det gjordes genom att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med sekvenser av additioner som var mindre tidskrävande att lösa. Logaritmen definieras så här.

Med matematik skriver vi det så här.

Som vi nämnt ovan tänker vi oss en logaritm ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi kallar det för den inversa funktionen till exponentiering. Vi använder alltså logaritmen när vi löser en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

Lite barnsligt och omatematiskt kan vi beskriva tiologaritmen som att den "äter upp" basen tio så att bara exponenten blir kvar. Det leder till att när basen försvinner "ramlar" exponenten ner i basen och "förvandlas" till lösningen på ekvationen.

På liknande sätt skulle vi kunna beskriva hur basen tio "befriar" den okända variabeln $x$x då den är "fångad" av logaritmen.

Genom att flytta upp logaritmen och "dess fångade tal" i exponenten och tillsätta basen tio, "befrias" talet som är "tillfångataget" av logaritmen. Både basen tio och logaritmen i exponenten "går upp i rök" och därmed lämnas talet som var "tillfångataget" ensamt kvar och "förvandlas" på så sätt till lösningen på ekvationen.

Kom ihåg, gör vi något i ena leden när vi löser en ekvation, måste vi göra exakt detsamma i det andra ledet! Vi utgår från $y=10^x$y=10^x och skapar en oändlig loop genom att först ta logaritmen i båda led och sedan skriva om på basen tio.

Tillbaka till där vi började. Detta är ingenting vi kommer använda vid beräkningar. Men kanske är det ett sätt att få kläm på logaritmen och hur vi använder logaritmer och basen tio för att skriva om uttryck och lösa ekvationer.

Eftersom tiologaritmen av ett tal motsvarar den exponent $x$x vi upphöjer basen tio till för att få talet, kan alla tal skrivas om till en potens med basen tio på följande vis.

Vi ser igen att $\lg$lgoch basen tio är varandras inverser, eller med andra ord, "tar ut varandra".

I exemplen ovan har vi fokuserat på exponentialekvationer med förändringsfaktorn tio. Eller med andra ord basen tio. Det vill säga, ekvationer som svarar på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en visst tal.

Men hur löser vi ekvationen $37^x=12$37^x=12? Med andra ord, hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Metoden med att skriva om till en potens på basen tio som vi nyss använde hjälper oss inte.

För exponentialekvationer fungerar inte samma metoder som för potensekvationer, det vill säga ekvationer där den okända variabeln är i exponenten istället för i basen.

Tidigare har vi löst exponentialekvationerna grafiskt. Det vill säga genom att ritat upp två grafer, en för HL och en för VL, och läsa av skärningspunktens $x$x-värde. I nästa lektion, Lösa exponentialekvationer med logaritmer lär vi oss använda logaritmer som metod för att lösa alla olika sorters exponentialekvationer!

För att lösa exponentialekvationerna är det bra att ha koll på det vi gick igenom i lektionen om potenser och potenslagar. Dessutom underlättar det att kunna vad en exponentialfunktion är.

Gå tillbaka till dessa lektioner vid osäkerhet.

1. Lös exponentialekvationen $10^x=100$10^x=100
2. Bestäm utan räknare $\lg1000$lg1000
3. Bestäm utan räknare $\lg0,001$lg0,001
4. Bestäm utan räknare $\lg10^7$lg10⁷
5. Bestäm utan räknare $10^{\lg100}$10^lg100