I den här lektionen lär vi oss mer om logaritmlagarna och logaritmekvationer. Vi går igenom tre viktiga logaritmlagar och ser hur vi tillämpar dessa i några enkla exempel.

En logaritm kan man tänka sig ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi använder alltså logaritmen för att kunna lösa en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

Men ibland är ekvationerna vi ska lösa inte på formen av $a=b^x$ a=b^x , där $a$ a och $b$ b är konstanter och $x$ x vår variabel, utan kanske en summa eller differens av två logaritmer. Då kan vi med fördel använda logaritmlagarna, för att effektivisera våra beräkningar.

När du jobbar med logaritmer så kan det vara bra att ha reglerna/lagarna för att räkna med logaritmer framför sig. Lagarna kommer från potensreglerna och kan bevisas med hjälp av dem.

Logaritmlagar

$\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$ lg A+lg B=lg A·B

$\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$ lg A−lg B=lg AB

$\text{lg }x\text{ }^p=p\cdot\text{lg }x$ lg x ^p=p·lg x

I lektionen Lösa exponentialekvationer med logaritmer tittade vi på hur vi löser ekvationer med logaritmer. Vi använder följande definition av logaritmen.

Tiologaritmen av ett tal

y

y är den exponent

x

x man måste upphöja basen

10

10 till, för att få talet

y

y.

Förutsättningen för omskrivningen är att

y

y alltid är ett positiv tal. Det vill säga

y>0

y>0 .

Återvänd till lektionen om detta känna oklart.

Här följer två exempel där logaritmlagarna används för att lösa ekvationer.

Exempel 1

Lös ekvationen $\lg1000+\lg x=\lg10$ lg1000+lgx=lg10

Lösning

Vi använder logaritmlagarna.

$\lg1000+\lg x=\lg10$ lg1000+lgx=lg10 skriv om VL med logaritmlag för addition

$\lg1000\cdot x=\lg10$ lg1000·x=lg10 skriv om VL och HL på basen tio

$10^{\lg1000\cdot x}=10^{\lg10}$ 10^lg1000·x=10^lg10 förenkla med $10^{\text{lg }a}=a$ 10^{lg a}=a

$1000\cdot x=10$ 1000·x=10 dividera båda led med $1000$ 1000

$x=0,01$ x=0,01

Exempel 2

Lös ekvationen $\lg x^2-\lg x=5$ lgx²−lgx=5

Lösning

Vi använder logaritmlagarna.

$\lg x^2-\text{ }\lg x=5$ lgx²− lgx=5 skriv om VL med logaritmlag för subtraktion

$\text{lg }\frac{x^2}{x}=5$ lg x²x =5 förenkla VL

$\lg x=5$ lgx=5 skriv om VL och HL på basen tio

$10^{\lg x}=10^5$ 10^lgx=10⁵ förenkla VL med $10^{\text{lg }a}=a$ 10^{lg a}=a

$x=100\text{ }000$ x=100 000

Med hjälp av vetskapen att

x=10^{\lg x}

x=10^lgx kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$A\cdot B=A\cdot B$ A·B=A·B ⇔ $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$ 10^{lg A·B}=10^{lg A}·10^{lg B}

Vi kan nu använda potensregeln $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ a^x·a^y=a^x+y i HL och får att

$10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$ 10^{lg A·B}=10^{lg A}·10^{lg B} ⇔ $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A+\text{lg }B}$ 10^{lg A·B}=10^{lg A+lg B}

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$ lg A+lg B=lg A·B

Med hjälp av vetskapen att

x=10^{\text{lg }x}

x=10^{lg x} kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$ AB =AB ⇔ $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$ 10^{lg AB}=10^{lg A}10^{lg B}

Vi kan nu använda potensregeln $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},(a\ne0)$ a^xa^y =a^x−y,(a≠0) i HL och får att

$10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$ 10^{lg AB}=10^{lg A}10^{lg B} ⇔ $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=10^{\text{lg }A-\text{lg }B}$ 10^{lg AB}=10^{lg A−lg B}

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$ lg A−lg B=lg AB

Med hjälp av vetskapen att

x=10^{\text{lg }x}

x=10^{lg x} kan vi skriva om VL och HL till tiopotenser på två olika vis.

$\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$ lg x ^p=lg x^p ⇔ $\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{lg\left(x^{^p}\right)}$ (10^{lg x})^{^p}=10^{lg(x^{^p})}

Vi kan nu använda potensregeln $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$ (a^x)^y=a^x·y i VL och får att

$\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{\text{ }p\cdot\text{lg }x}$ (10^{lg x})^{^p}=10^{p·lg x}

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$ lg x ^p=lg x^p

Hur vi skriver om $log2^x$
Hur vi skriver om $log3 \cdot 9$
Hur vi skriver om $log\frac{5}{7}$
Lös ekvationen $0,5^x = 0,2$
Lös ekvationen $log7+logx= log21$
Lös ekvationen $loga – log8= log64$

Jonas Pettersson

2022-02-16

Önskar filmerna kunde uppdateras till nya formatet. De gamla känns som en ungdomsgård 2003. 4:3-formatet passar inte i webläsaren heller.

Simon Rybrand (Moderator)

2022-06-20

Alla våra filmer uppdateras kontinuerligt, den här är fortfarander lite äldre beroende på att innehållet inte längre ingår så tydligt i ämnesplanerna.

Christin Andersson

2019-04-17

Hej!
Tror ni borde titta på fråga 2, när man rättar står det att man svarat fel och inte vilket alternativ som ska vara rätt. I er förklaring skriver ni: ”D.v.s log 32−log 2=log (322)=log 16(≈1,2)”
Men eftersom svarsalternativen bara visade ex. log 16, log 30 etc, borde väl log 16 anser vara rätt svar på denna frågan?

Simon Rybrand (Moderator)

2019-04-23

Tack för din synpunkt där, vi ändrar lite i förklaringen där för att förtydliga detta!

Jakob Nilsson

2018-02-02

På Uppgift 4 står det ”subtrahera båda leden med 4” men det ser mer ut att man har subtraherat med x eller har jag missat nått?

Simon Rybrand (Moderator)

2018-02-12

Hej
Det stod fel där, vi korrigerar det.

Anders Glans

2017-11-12

Logaritmekvationsregler mm. Är lite osäkert när ni kräver att man skriver lösningar på ekvationer som svar: x=2 .men ibland räcker det med svar:2. Har ni några regler ni förhåller er till? Om det är kodningen med att ta ut värden ur text rekommenderar jag att ni förklarar att endast siffror skall skrivas på svarsraden.

Simon Rybrand (Moderator)

2017-11-13

Hej
Vi försöker generellt skriva frågorna så att x=2 skall gälla. Dock finns det några lite äldre uppgifter där vi inte har hunnit ordna detta.
Tack för att du påpekade detta.

John Hörnvall

2017-01-26

På uppgift 4 är svaret x=2, medans på uppgift 3 är svaret bara 3 och inte x=3?

Simon Rybrand (Moderator)

2017-01-27

Vi fixar det, tack för att du sade till!

Johanna Forslind

2017-01-15

Hej!
på fråga 3 har jag svarat x=3 men ändå fått fel
och lika på fråga 4 där jag svarat x = 2.

/Johanna

Simon Rybrand (Moderator)

2017-01-17

Vi fixar det! tack för att du sade till!

Hanna Henriksson

2016-09-22

Hej igen, uppgift 6 får jag till 9, e detta fel eller är det fel i facit som det är ibland, förstår inte i såfall hur svaret kan bli 3, tacksam för hjälp, mvh Hanna, ps tack än en gång för jättebra sida.

Simon Rybrand (Moderator)

2016-09-23

Det var fel i facit och vi har korrigerat detta!

Peter Söderholm

2016-05-01

Hej, jag ska förenkla 2lg 5 + lg 4. Hur gör jag då?, svaret ska bli 2 men jag förstår inte hur. Jag tycker man borde ta 2 lg 5*4 men det blir bara fel 🙁

Simon Rybrand (Moderator)

2016-05-04

Du kan förenkla det på följande vis med logaritmlagarna:
$2\cdot\mathrm{lg5}+\mathrm{lg4}={\mathrm{lg5}}^{2}+\mathrm{lg4}=\mathrm{lg25}+\mathrm{lg4}=$
$lg\left(25·4\right) =\mathrm{lg}\left(100\right)=2$

Nadia Blomstrand

2016-01-20

hur kan jag lösa 52=281 ⋅ 10^x
sitter fast…

Simon Rybrand (Moderator)

2016-01-21

$52=281⋅10^x$
Dela först med 281
$0,185=10^x$
Logaritmera
$lg(0,185)=lg(10^x)$
Använd logaritmlagen $lgA^y=y·lgA$
$lg(0,185)=xlg(10)$
lg10 = 1 så vi får då
$lg(0,185)=x$
$x≈-0,7328$

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-11

Hej
Ett sätt att tänka där är att använda logaritmlagar och skriva om det som
$lg(80) = lg(8⋅10) = lg(8) + lg(10)$
Eftersom att $lg(10)=1$ får du
$lg(8) + 1$ .
Nu är frågan vad lg(8) har för närmevärde och här kan du tänka att det bör vara ett tal nära 1 då lg(10)=1. Här kan du också rita ut kurvan till $y=10^x$ och läsa av det x som ger att $10^x = 8$ .

Caroline

2015-05-11

Jag förstår fram tills lg(8) + 1.
Hur vet jag vad lg(8) har för närmevärde liksom?

Och måste man alltid rita ut en kurva? (Förstår inte mycket av kurvor fortfarande!) 🙁

Caroline

2015-05-11

JAHA!! Nu förstod jag!!!!
Om lg(10)=1 och då är lg(5) exempel, = 0,5.. Då är lg(8)=cirka 0,8
Så lg(10) + lg(8) = cirka 1,9 då som var det närmaste talet!
Tack Simon!!

En till fråga dock:
Ska man alltid skriva om logaritmlagen, alltså typ ”bryta ned” exempel lg(80) till = lg(8*10)?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-13

Nej det är svårt att säga att man skall alltid göra på det här viset. Denna uppgift är ju lite mer åt problemlösningshållet där du behöver hitta ett sätt att resonera dig fram till närmevärdet. Det är såklart möjligt att det kan komma liknande uppgifter men det är nog ingen generell regel att göra på detta vis.

Ålands Lyceum

2015-05-05

I regel nr 2 står det att logA*B=logA+logB vilket kan leda till missförstånd.
Det är ju faktiskt så att logA*B=B*logA (kommutativa lagen) vilket inte avses här; Ett bättre skrivsätt vore
log(A*B)=logA+logB
så behöver regeln inte missförstås

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-05

Hej
Tack för synpunkten och vi håller med om detta. Regeln skrivs så ibland i läroböcker så det är därifrån det kommer. Vi skriver upp att vi skall ändra detta i videon, i texten är det redan ordnat.

Christian Johansson

2015-02-18

Hej!

Jag saknar info om hur man använder lagarna i kombination med andra baser än 10.
frågan jag sitter på just nu är: Förenkla: 2lg50 – lg25, antar att jag ska använda den 3 lagen i filmen, men vet inte hur.
Vet att det ska sluta med lg100 men vet inte hur jag ska komma dit. Förklaring tack!
Mvh

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-20

Hej
I det exempel som du nämner så är det logaritmer på basen 10 som används. Däremot håller jag med om att det även bör finnas videos på logaritmer där andra baser än $10$ och $e$ (naturliga logaritmen) används. Vi lägger till det på listan över videos som skall göras.

I den förenklingen som du skall göra kan du kanske göra på följande vis:
${{2} \, {lg50}}-{lg25}=$ $2lg\left(\frac{100}{2}\right)-lg(\frac{100}{4}) =$
${2}(lg100-lg2)-(lg100-lg4) =$ ${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{lg2^{2}}=$
${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{{2} \, {lg2}}=$ $lg100=2$

HAYIR

2014-02-06

hey jag har en uppgift och jag fattar inte hur jag ska lösa den..

lg(1+x)-lg(1-x)=1

Simon Rybrand (Moderator)

2014-02-06

Här kan vi skriva 1 = lg 10 så att vi får ekvationen
$lg(1+x)-lg(1-x)= lg10 ⇔$ (Logaritmlag)
$lg\frac{1+x}{1-x}=lg10 ⇔$ (10^)
$\frac{1+x}{1-x}=10 ⇔$
$1+x=10-10x ⇔$
$11x=9 ⇔$
$x=9/11$

HAYIR

2014-02-06

tack 😀

Sebastian

2013-10-15

Hej hur löser man ut dessa två ekvationer:

lg(2 + x) + lg(2-x) = lg 3

2 lg x = lg 3x

Simon Rybrand (Moderator)

2013-10-16

Du behöver använda logaritmlagarna här, dvs de lagar som nämns ovan i video och text.

$lg(2+x) + lg(2-x) = lg 3$ (logaritmlag)
$lg((2+x)(2-x)) = lg 3$ (konjugatregeln)
$lg(4-x^2) = lg 3$
$4-x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x_1=1, x_2=-1$

viktorrydberg

2013-09-01

Hej.

Enligt logaritmlagen ska man subtrahera vid division men ändå dividerar du i exemplet 2.45 i videon, varför?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-02

Hej, det jag tror att du tänker på här är när man har följande
$lg(A/B) = lgA – lgB$

I videon där har vi följande:
$\frac{lgA}{lgB}$
och eftersom vi i videon känner till både A och B kan vi slå dessa logaritmer på en räknare och få ett svar.

nti_ma2

2013-05-27

hej
jag har här en ekvation

5^5x⋅10^2x= 12500
kan man lösa den så här

log 50^5x = log 12500
5x⋅log50 = log 12500
5x = log12500/log 50
5x= 2,41
x=2.41/5
x=0.48

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-29

Hej, Här blir det lite fel när du förenklar vänsterledet, det kan nog vara bättre att du använder de olika logaritmlagarna noggrant enligt:
$5^{5x}⋅10^{2x}=12500 ⇔$
$log(5^{5x}⋅10^{2x})=log(12500) ⇔$
$log(5^{5x}) + log(10^{2x})=log(12500) ⇔$
$5x⋅log(5) + 2x⋅log(10)=log(12500)$

Härifrån fortsätter du att lösa ut x

nti_ma2

2013-05-07

Hej
Kan du hjälpa med att läsa denna ekvation 321-10^x = 123
Tack

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-07

$321-10^x = 123$ (-321)
$-10^x = -198$
$10^x = 198$ (logaritmera)
$log10^x = log198$ (logaritmlag)
$xlog10 = log198$ (log10=1)
$x = log198$ (log10=1)
x = 2,297

dontomas

2013-04-08

Oj, min kritik var lite väl ensidig märkte jag 🙂 Du har ju även gjort ett fantastiskt arbete. Pedagogiskt lysande stundtals. Men det var just efter den här delen som jag kände att jag saknade lite verktyg att gå vidare med.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-04-09

Det är lugnt 🙂

dontomas

2013-04-08

Oj, nu råkade jag skriva fel i slutet.
Skulle stå:
x = -3 +- sqrt(9992+9)
x1 = 97

Simon Rybrand (Moderator)

2013-04-09

Hej! tack för dina tankar och funderingar här, kul att läsa att du verkligen vill förstå. Det är en mycket bra inställning.
Jag hjälper dig gärna vidare med dessa typer av lite svårare logaritmekvationer.

komvux_boras

2013-03-31

hejsan
hur löser man ekvationen (lgx)^2 – lgx^2 =99

Simon Rybrand (Moderator)

2013-04-03

Hej, är det $(lgx)^2 – lg(x^2)$ som du menar här? (parantes på andra termen..)

komvux_boras

2013-04-09

ja

Simon Rybrand (Moderator)

2013-04-10

Hej, här är det bra att substituera lgx = t så att vi får ekvationen
$t^2-2t=99$
$t^2-2t-99=0$ (pq)
$t = 1 ± \sqrt{1+99}$
$t = 1 ± \sqrt{100}$
$t = 1 ± 10$
Dvs vi har lösningarna
$t_1=11$ och $t_2 = -9$

Då kan vi med detta även lösa ut x
lgx=11 vilket ger lösningen $x = 10^{11}$
lgx=-9 vilket ger lösningen $x = 10^{-9}$

dontomas

2013-03-26

Hej. Ett exempel jag håller på med är
10^0,5x +10^3 = 10^4

Svaret ska bli 7,91 men det får jag inte till 🙁
Kan du visa?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-03-27

Hejsan, du har alltså ekvationen
$10^{0,5x} +10^3 = 10^4 ⇔$
$10^{0,5x} + 1000 = 10000 ⇔$ (-1000)
$10^{0,5x} = 9000 ⇔$ (logaritmera)
$lg 10^{0,5x} = lg 9000 ⇔$
$0,5x⋅lg 10 = lg 9000 ⇔$ (lg10=1)
$0,5x = 3,954 ⇔$
$x = 3,954/0,5 = 7,9$

Hoppas att detta kan hjälpa dig på vägen och fortsatt lycka till!

dontomas

2013-03-28

Tack!

Anna Svensson

2017-01-19

Hej, får jag bara fråga.
Hur fick vi 0,5x⋅lg10=lg9000⇔0,5x⋅lg10=lg9000⇔ (lg10=1)
till
0,5x=3,954⇔
?
Hoppade vi över ett steg eller vad missar jag här? Hur blev 9000 till 3.954?
Tack på förhand

Simon Rybrand (Moderator)

2017-01-25

Hej
Det är $log(9000)≈3,954$ och sedan kan vi bara ”ta bort” $log(10)$ då det är lika med $1$ .

matematikkontot

2013-03-15

Varför kan man ” logga ut”?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-03-15

Hejsan, När man ”loggar ut” så logaritmerar man helt enkelt baklänges. Tanken med logaritmer är att man skriver om en ekvation så att bägge leden står på basen 10 (om man skall använda tiologaritmen), det går därför bra att även gå tillbaka från denna form till där leden inte står på basen tio.

annab87

2012-11-07

Förstår inte denna riktigt, känns lite rörigt=/

lgx-1=lg 2

mvh

Simon Rybrand (Moderator)

2012-11-07

Man skulle kunna jobba med den ekvationen så här:
lgx-1=lg 2 (+1)
lgx = lg 2 + 1 (-lg2)
lgx – lg 2 = 1 (logaritmlag 3 ovan)
lg(x/2) = 1
Här kan vi använda oss av att lg10 = 1 och då får vi att x = 20. Alternativt kan du ta ”baklängeslogaritm” på bägge leden och få fram att
x/2 = 10
x = 20

Matematik 2

Välj kurs

KURSER /

Matematik 2

/ Breddning Ma2

Logaritmlagarna och logaritmekvationer

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Logaritmlagar

Lösning

Lösning

Jonas Pettersson

Simon Rybrand (Moderator)

Christin Andersson

Simon Rybrand (Moderator)

Jakob Nilsson

Simon Rybrand (Moderator)

Anders Glans

Simon Rybrand (Moderator)

John Hörnvall

Simon Rybrand (Moderator)

Johanna Forslind

Simon Rybrand (Moderator)

Hanna Henriksson

Simon Rybrand (Moderator)

Peter Söderholm

Simon Rybrand (Moderator)

Nadia Blomstrand

Simon Rybrand (Moderator)

Simon Rybrand (Moderator)

Caroline

Caroline

Simon Rybrand (Moderator)

Ålands Lyceum

Simon Rybrand (Moderator)

Christian Johansson

Simon Rybrand (Moderator)

HAYIR

Simon Rybrand (Moderator)

HAYIR

Sebastian

Simon Rybrand (Moderator)

viktorrydberg

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma2

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma2

Simon Rybrand (Moderator)

dontomas

Simon Rybrand (Moderator)

dontomas

Simon Rybrand (Moderator)

komvux_boras

Simon Rybrand (Moderator)

komvux_boras

Simon Rybrand (Moderator)

dontomas

Simon Rybrand (Moderator)

dontomas

Anna Svensson

Simon Rybrand (Moderator)

matematikkontot

Simon Rybrand (Moderator)

annab87

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium