Kom igång med Algebra i kursen

Exempel 1

Förenkla uttrycket $2x^2+10x-x+5x^2$

Lösning

Vår uppgift är att addera och subtrahera termer av samma sort, så att uttrycket innehåller så få termer som möjligt. Vi kontrollerar variablerna och deras exponenter. Därefter markerar vi här termer av samma sort med samma färg.

och får att

$2x^2+10x-x+5x^2=7x^2+9x$

Vi observerar att exponenten inte är densamma, och detta räcker alltså inte för att ”slå ihop” termerna även om variabeln är densamma.

Det beror på att vi har

$2x^2+10x-x+5x^2=2\cdot x\cdot x+10\cdot x-1\cdot x+5\cdot x\cdot x$ om vi skriver uttrycket i utvecklad form.

och vi ser att första och sista termen inte anger ett antal $x$ utan antal ”$x$ i kvadrat”, vilket inte är detsamma.

Viktigt att förstå i detta sammanhang är att $ab$ och $7ba$ är av samma sort, även om det inte är riktigt lika tydligt att först se. Men multiplikationen är kommutativ, vilket betyder att faktorer kan byta ordning utan att ändra värde: $a\cdot b=b\cdot a$. Termerna innehåller därför variabler med samma exponent, även om de står i ombytt ordning. Alltså är de av samma sort.

Exempel 2

Förenkla uttrycket $x^2+10xy-yx-8-5x^2$

Lösning

Vår uppgift är, igen, att addera och subtrahera termer av samma sort, så att uttrycket innehåller så få termer som möjligt. Därför kontrollerar vi variablerna och exponenterna. Sedan markerar vi åter termer av samma sort med samma färg.

Termerna $10xy$ och $-yx$ innehåller variabler med samma exponent, eftersom multiplikationen mellan $xy$ och $yx$ är kommutativ, vilket gör att de kan subtraheras. Även andragradstermerna $x^2$ och $-5x^2$ kan slås samman. Vi får att

$x^2+10xy-yx-8-5x^2=-4x^2+9xy-8$

Sammanfattningsvis gäller att vid sammanslagning av termer kan koefficienterna till variabeln vara olika, men inte exponenterna.

Vi understryker som följd av detta att $2x$ och $x^2$ varken är samma sak eller av ”samma sort” då de har olika grad, dvs de har olika exponenter och motsvarar $2\cdot x$ respektive $x\cdot x$. Inte heller $xy^2$ och $xy$ är av samma sort, eftersom variabeln $y$ har olika exponenter.

Exempel 3

Förenkla

a) $x^3\cdot x^5$

b) $\frac{15a^4}{3a^2}$

c) $a^3\cdot b^5$

Lösning

Enligt potensreglerna får vi att

a) $x^3\cdot x^5=x^8$

b) Vi kan dividera koefficienterna för sig och sedan använda potensregeln på variablerna.

$\frac{15a^4}{3a^2}=\frac{15}{3}\cdot\frac{a^4}{a^2}=\frac{15}{3}\cdot a^{4-2}=5a^2$

c) Uttrycket $a^3\cdot b^5$ kan inte förenklas mer eftersom basen inte är densamma på de två potenserna.

Gå tillbaka till lektionen Potenser och Potenslagar vid osäkerhet.

Exempel 4

Lös ekvationen med hjälp av potenslagarna

a) $x^{\frac{1}{2}}=8$

b) $2x^3=54$

Lösning

a) Enligt potensreglerna får vi att $x^{\frac{1}{2}}=8$ är detsamma som $\sqrt{x}=8$ och vi får att $x=64$ eftersom

$x^{\frac{1}{2}}=8$ upphöj båda led till $2$

$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=8^2$ förenklar potensen i VL: $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=x^{\frac{1}{2}\cdot2}=x^{\frac{2}{2}}=x^1=x$

$x=64$

eller

$\sqrt{x}=8$ upphöj båda led till $2$

$\left(\sqrt{x}\right)^2=8^2$

$x=64$

b) Vi löser ekvationen

$2x^3=54$ dividera båda led med $2$

$x^3=27$ dra tredjeroten ur båda led eller upphöj till $\frac{1}{3}$

$x=3$

Vi kan lösa b) med huvudräkning då vi vet att $27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3$ vilket ger att $x^3=3^3$ och vi ser att $x=3$.

Gå tillbaka till lektionen Potensekvationer vid osäkerhet.

Exempel 5

Förenkla uttrycket $20-(x^2+x)+(2x^2+x)$

Lösning

Vi börjar med att ta bort parenteserna. Subtraktionstecknet innan parentesen medför att alla termer i parentesen får ombytt tecken. Additionstecknet medför ingen förändring.

$20-(x^2+x)+(2x^2+x)=20-x^2-x+2x^2+x$

Nu förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.

$20-x^2-x+2x^2+x=20+x^2$

Vi skriver det gärna på formen med termen med störst gradtal först, för att öka tydligheten av uttryckets karaktär, alltså som $x^2+20$. Men det andra sättet är inte fel, bara lite mindre tydligt.

Nu är det tid att börja öva på att förenkla uttryck. Vi kommer att ha stor användning av att behärska detta även i kommande kurser.

Gå till lektionen Förenkla algebraiska uttryck om vi vill repetera mer.

Exempel 6

Utveckla uttrycket $3a\left(b+4\right)$

Lösning

Att ”utveckla uttrycket” innebär att skriva det som en summa i stället för en produkt. Vi multiplicerar in $3a$ i parentesen för att lyckas med det. Kom ihåg att alla termer i parentesen ska multipliceras med $3a$.

$3a\left(b+4\right)=3\cdot a\cdot b+3\cdot a\cdot4=3ab+12a$

Exempel 7

Bryt ut största möjliga faktor ur $3x^2+2x$ och skriv som en produkt.

Lösning

Vi skriver först om varje term som ”tydliga” faktorer, för att lättare se vilka som är gemensamma och därmed kan brytas ut.

$3x^2+2x=3\cdot x\cdot x+2\cdot x$

Vi ser nu att termerna har en gemensam faktor $x$, vilket ger att vi kan bryta ut $x$ utanför en tillsatt parentes.

Vi kan skriva om uttrycket till produkten $x\left(3x+2\right)$ där $x$ och $\left(3x+2\right)$ är faktorer.

Viktigt att komma ihåg är att det ändå finns en etta kvar i parentesen när vi bryter ut en hel terms värde.

Exempel 8

Faktorisera uttrycket $2x^2+2x$ till två faktorer.

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och därmed kan brytas ut.

$2x^2+2x=2\cdot x\cdot x+2\cdot x$

Vi ser nu att termerna har två gemensamma faktorer, $2$ och $x$, vilket ger att vi kan bryta ut dem utanför parentesen. Tänk på att det måste finnas kvar en etta när vi bryter ut $2x$ ur andra termen. Annars får vi inte tillbaka likheten om vi multiplicerar in dem igen. Vi skriver dit den.

$2\cdot x\cdot x+2\cdot x\cdot1=2x(x+1)$

Hade vi inte skrivit med ettan i parentesen hade risken varit att vi fått $2x\left(x+0\right)=2x^2$, som alltså inte är rätt svar!

Exempel 9

Faktorisera uttrycket $6x+3x^2-12x^3$

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och därmed kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är $12=2\cdot6=2\cdot2\cdot3$ lämpligt att utnyttja.

$6x+3x^2-12x^3=2\cdot3\cdot x+3\cdot x\cdot x-3\cdot4\cdot x\cdot x\cdot x$

Vi ser nu att termerna har två gemensamma faktorer, $3$ och $x$, vilket ger att vi kan bryta ut dem utanför parentesen.

$2\cdot3\cdot x+3\cdot x\cdot x-3\cdot4\cdot x\cdot x\cdot x=3x(2+x-4x^2)$

vilket vi gärna även här skriver om i ordning med fallande grad som

$3x(-4x^2+x+2)$