00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Potenser med rationella exponenter

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Potenser är tal som kan skrivas med en bas och en exponent. I den här lektionen går vi igenom hur du jobbar med potenser med rationella exponenter, dvs då exponenten är ett bråktal.

Potenser med rationella exponenter

När en potens har en rationell exponent så betyder det att basen upphöjs med en exponent som är ett bråktal, exempelvis 12\frac{1}{2}12  eller 47\frac{4}{7}47 . Ett annat namn för bråktal är rationellt tal, därav namnet.

Det finns ett viktigt samband mellan rationella exponenter och roten ur uttryck.

Potenslagar – roten ur och rationella exponenter

a12=a a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a}
a1n=an a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a}

Potenser med rationella exponenter

När potenser har exponenter som består av rationella expontenter (bråktal) så gäller samma regler som nämns ovan. Det kan dock krävas lite övning innan man vänjer sig vid att hantera dessa typer av exponenter. Du behöver känna till hur du hanterar potenser, adderar och subtraherar bråktal och multiplicerar och dividerar bråk.

Det är också viktigt att du förstår kopplingen mellan roten ur uttryck och potenser med rationella exponenter. Nedan visas ett antal exempel på där du kan se hur sådan här potenser hanteras.

Multiplikation

Vid beräkningar av uttryck som innehåller potenser med rationella exponenter tar du som sagt hänsyn till både bråkregler och potensregler. Här fölker ett exempel på multiplikation mellan potenserna.

Exempel 1

Skriv som en potens  x13x43x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}x13 ·x43  

Lösning

Här får vi använda multiplikationsregeln. Exponenterna adderas på samma sätt som två bråktal adderas.

 x13x43=x1+43=x53x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{1+4}{3}}=x^{\frac{5}{3}}x13 ·x43 =x1+43 =x53 

Roten ur

Regeln för potenser med rationella exponenter ger att  a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}a1n =na

Exempel 2

Skriv 5\sqrt{5}5 som en potens

Lösning

Vi använder regeln för roten ur och får

 5=512\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}5=512  

Division och olika nämnare

För att underlätta arbeten med mer avancerade uttryck kan du med fördel dela upp det i mindre enheter. Var bara noga med att skilja mellan om bråken är exponenter eller baser, eftersom att du behöver ta hänsyn till olika regler beroende på dess karaktär.

Exempel 3

Skriv om uttrycket som EN potens

  227  214\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}}

Lösning

Vi börjar att använda potensregeln för division

  227  214=22714\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac27-\frac14}

Nu förlänger vi exponenterna så att de har samma nämnare 282828. Vi gör det först och använder det för att skriva om potenserna.

 27=2474=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot4}{7\cdot4}=\frac{8}{28}27 =2·47·4 =828  och 14=1747=728\frac{1}{4}=\frac{1\cdot7}{4\cdot7}=\frac{7}{28}14 =1·74·7 =728   

Nu gör vi klart

 22714=2828728=21282^{\frac{2}{7}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{8}{28}-\frac{7}{28}}=2^{\frac{1}{28}}227 14 =2828 728 =2128  

Potens av en potens

I följande exempel använder vi regeln för potensen av en potens ger att (am)n=amn(a^m)^n=a^{m\cdot n}(am)n=am·n

Exempel 4

Skriv (214)23\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}(214 )23  som en potens

Lösning:

 (214)23=21423=2212=216\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{12}}=2^{\frac{1}{6}}(214 )23 =214 ·23 =2212 =216  

Potens av en produkt

Regeln för potens av en produkt ger att (ab)n=anbn(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n(a·b)n=an·bn

Exempel 5

Skriv (164)12\left(16\cdot4\right)^{\frac{1}{2}}(16·4)12  som ett heltal utan att använda räknare

Lösning

Vi använder regeln för en potens av en produkt

  161241216^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}1612 ·412 

Att upphöja något med 12\frac{1}{2}12  är samma sak som roten ur. 

  1612412=164=42=816^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=81612 ·412 =16·4=4·2=8 

Och till sist tittar vi på ett exempel som blandar några olik apotensregler.

Exempel 6

Förenkla 3914\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}3·914   till ett heltal.

Lösning

 3914=31291212=\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot9^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=3·914 =312 ·912 ·12 =  312(912)12=312312=31=33^{\frac{1}{2}}\cdot(9^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^1=3312 ·(912 )12 =312 ·312 =31=3 

Beräkna potenser med rationella exponenter i huvudet

Genom att dela upp det rationella talet i exponenten som en produkt av ett heltal och ett stambråk, det vill säga ett bråk med täljaren 111, kan vi beräkna ett något större antal potenser med huvudräkning.

Exempel 7

Beräkna med huvudräkning

a)  274327^{\frac{4}{3}}2743  

b)  (8116)34\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}}(8116 )34  

Lösning

a) Vi skriver om exponenten som 134\frac{1}{3}\cdot413 ·4

 2743=2713427^{\frac{4}{3}}=27^{^{\frac{1}{3}\cdot4}}2743 =2713 ·4 

Då vi enligt potensreglerna vet att  an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}na=a1n  kan vi skriva om potensen som 

   27134=(273)427^{^{\frac{1}{3}\cdot4}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^{^4}2713 ·4=(327)4 

vilket gör att vi med huvudräkning kan beräkna värdet av basen  273=3\sqrt[3]{27}=3327=3  och skriva om igen till

 (273)4=34\left(\sqrt[3]{27}\right)^{^4}=3^4(327)4=34 

och till sist beräkna

 34=3333=99=813^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=9\cdot9=8134=3·3·3·3=9·9=81 

b) Vi skriver om exponenten som  143\frac{1}{4}\cdot314 ·3 

 (8116)34=(8116)143\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}}=\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{1}{4}\cdot3}(8116 )34 =(8116 )14 ·3 

Då vi enligt potensreglerna vet att  (ax)y=axy(a^x)^y=a^{x\cdot y}(ax)y=ax·y ,  (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}(ab )x=axbx   och  an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}na=a1n    kan vi skriva om potensen som 

 (8116)143=((8116)14)3=\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{1}{4}\cdot3}=\left(\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^3=(8116 )14 ·3=((8116 )14 )3= (81141614)3=(814164)3\left(\frac{81^{^{\frac{1}{4}}}}{16^{^{\frac{1}{4}}}}\right)^{^3}=\left(\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}\right)^3(8114 1614  )3=(481416 )3  

vilket gör att vi med huvudräkning kan beräkna värdet av täljaren och nämnaren i parentesen

 (814164)3=(32)3\left(\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}\right)^3=\left(\frac{3}{2}\right)^3(481416 )3=(32 )3 

  och till sist beräkna

 (32)3=3323=278\left(\frac{3}{2}\right)^{^3}=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}(32 )3=3323 =278  

Övriga potenslagar

I lektionen Potenser och potenslagar går vi ingåender igenom de övriga potenslagarna. Men här nämner vi dem bara kort igen.

Potenslagarna

För alla reella tal xxx och yyy och positiva tal aaa och bbb gäller att

 axay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y}ax·ay=ax+y 

 axay\frac{a^x}{a^y}axay  =axy=a^{x-y}=axy 

 (ax)y=axy(a^x)^y=a^{x\cdot y}(ax)y=ax·y 

 (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}(ab )x=axbx  

 (ab)x=axbx(a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x(a·b)x=ax·bx 

 ax=a^{-x}=ax= 1ax\frac{1}{a^x}1ax    där  a0a\ne0a0

a0=1a^0=1a0=1

 a1x=axa^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{a}a1x =xa 

Vi påminner igen att du måste du ha samma bas för att potenslagarna skall kunna användas. Har potenserna inte samma bas kan man försöka skriva om dem så att de får samma bas med bibehållet värde. I exempel  101010 visar vi detta. Men det är inte alltid möjligt. I dessa fall får man beräkna uttrycken utan potensregler.

Exempel i videon

  • 213214 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}
  • 312332 \frac{ 3^{ \frac{1}{2} }}{ 3^{ \frac{3}{2} }}
  • (213)14 (2^{ \frac{1}{3} })^{\frac{1}{4}}
  • (312234)13 (3^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{3}{4} })^{ \frac{1}{3} }
  • 734 7^{ -\frac{3}{4} }
  • Hantera roten ur och bråk med rationella exponenter
  • Potensen och dess exponent