...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2
 /   Geometri

Topptriangelsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.

Parallelltransversal och topptrianglar

Så fungerar Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen är en geometrisk sats om likformighet i trianglar. Förutsättningen för förståelse av denna sats är förståelse av likformighet. Topptriangelsatsen är även tätt kopplad till transversalsatsen vilken vi tittar på i kommande lektion.

För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

transversal

En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.

Parallelltransversal

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att triangeln $ABC$ABC är likformig med triangeln $CDE$CDE vilket vi med matematiska symboler skriver som

 $\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup CDE$ABCCDE.

Som följd av detta gäller att sidorna förhåller sig till varandra enligt följande samband

 $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$DEAB =CDCA =CECB  

Sidorna/längderna $DE$DE och $AB$AB sägs varar likbelägna. Det vill säga motsvarar längder/sidor i trianglarna som uppstår mellan två vinklar som är lika stora i de två trianglarna. Sidorna $CD$CD  och $CA$CA är också likbelägna, samt sidorna $CE$CE och $CB$CB

De likbelägna sidorna förhåller sig alltså till varandra på samma sätt, det vill säga uppfyller likformighet.

Det ger förutsättningen för att kunna bestämma okända längder.

Exempel 1

Exempel 1

 $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan $x$x.

Lösning

Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet

 $\frac{x}{9}=\frac{3}{8}$x9 =38  

Vi multiplicera båda led med $9$9 

 $\frac{9\cdot x}{9}=\frac{9\cdot3}{8}$9·x9 =9·38  

I vänsterledet kan vi förkorta $3$3:an och får då

 $x=$x= $\frac{9\cdot3}{8}=$9·38 =$3,375$3,375 cm 

Det är bra att alltid ta för vana att kontrollera att svaret är rimligt. Då basen $9$9 cm är lite längre än sidan $8$8 cm på den stora triangel och basen $3,375$3,375  är lite längre än sidan $3$3 cm på topptriangeln så verkar svaret rimligt. Närmare bestämt

 $\frac{3,375}{3}=\frac{9}{8}=$3,3753 =98 =$1,125$1,125 gånger större.

Trianglarna är alltså likformiga, vilket är följden av att en paralelltranseversal har ”skapat” en topptriangel.

Det fiffiga med likformigheten är att det inte spelar någon roll exakt ”vart” vi placerar de olika sidorna. Vi skulle alltså lika gärna kunna lösa uppgiften utifrån likheten

$\frac{x}{3}=\frac{9}{8}$x3 =98  och få samma resultat.

Det vill säga ”förhållandet mellan sidorna i topptriangeln ska förhålla sig till varandra på samma sätt som likbelägna sidor i den stora triangeln”.

Exempel 2

Exempel 2 topptriangelsatsen

$DE$DE är en parallelltransversal.  $CE=3,3\text{ }cm$CE=3,3 cm,  $CD=2,8\text{ }cm$CD=2,8 cm och $BC=3,4\text{ }cm$BC=3,4 cm

Bestäm längden av sträckan $AC$AC.

Lösning

Vi kallar $x=AC$x=AC  och ställer upp följande samband

$\frac{x}{3,3}=\frac{3,4}{2,8}$x3,3 =3,42,8 

Multiplicera bägge leden med $3,3$3,3

$\frac{3,3\cdot x}{3,3}=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}$3,3·x3,3 =3,4·3,32,8 

I vänsterledet kan vi förkorta med $3,3$3,3 och får då

$x=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}\approx4,01\text{ }cm$x=3,4·3,32,8 4,01 cm 

Exempel 3

exempel3

$DE$DE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan $x$x.

Lösning

Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av topptriangelsatsen.

$\frac{8+x}{x}=\frac{20}{12}$8+xx =2012  

Här kan vi multiplicera med $x$x i bägge leden. Då får vi

$\frac{x\left(8+x\right)}{x}=\frac{20x}{12}$x(8+x)x =20x12  

Förkorta med $x$x i vänsterledet

  $8+x=$8+x= $\frac{20x}{12}$20x12  

Nu multiplicerar vi bägge leden med $12$12 och får

  $12\cdot8+12\cdot x=$12·8+12·x= $\frac{20x\cdot12}{12}$20x·1212  

I högerledet kan vi förkorta med $12$12 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.

 $12\cdot8+12\cdot x=20x$12·8+12·x=20x 

 $96+12x=20x$96+12x=20x 

Subtrahera båda led med $12x$12x 

 $96=8x$96=8x 

Dividera båda led med $8$8 

  $x=$x= $\frac{96}{8}=$968 = $12\text{ }$12 cm 

Kommentarer

K

Ska man dela sidorna i samma triangel eller i motsvarande triangel? Ni tillämpar olika tillvägagångssätt. Jämför tex exemplet i videon med fråga 3/exempel 1.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vad är en transversal?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: transversal
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vad är en parallelltransversal?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: parallelltransversal transversal
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Exempel 1

    DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $x$x .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur lång är sidan  $AB$AB då  $AD=2$AD=2,  $AE=4$AE=4 ,  $DE=3$DE=3 och  $BC=3,5$BC=3,5?


    Figuren är ej proportionerlig.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Geometri Likformighet
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna längden på sidan $x$x . Bilden är ej proportionerlig. 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgift topptriangelsatsen

    $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $y$y.

    Avrunda svaret till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Likformighet topptriangelsatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 2
    K
    M NP INGÅR EJ

    I en rätvinklig triangel $ABC$ABC finns en blå kvadrat $AEFD$AEFD inritad. Sträckan $BE$BE är $4$4 cm och sträckan $CD$CD är $2$2 cm. Se figur.

    Kan man bevisa att den blå kvadratens area är $8$8 cm$^2$2

    Träna på att försöka genomföra beviset och svara sedan  Ja eller Nej. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Topptriangelsatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/4/0)
    E C A
    B
    P
    PL 3
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Rickard har fått i uppgift att bestämma höjden på ett hus. För att göra detta tar han hjälp av en gran som står framför huset.

    Rickard ställer sig så att han ser toppen på granen och toppen på taket sammanfalla. Han gör en markering där han står. Därefter tar han mått på nödvändiga sträckor och skriver in dem i skissen nedan.

    NP Ma2c hu12 uppgift 22

    Svara med en decimals noggrannhet.
    NpMa2 ht2012

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Övningsuppgift topptriangelsatsen

     $AB$AB är en parallelltransversal. Vilket förhållande mellan $a$a och $b$b stämmer?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Likformighet topptriangelsatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar rektangeln $ABCD$ABCD med en punkt $P$P på sidan $BC$BC. När sträckorna $DP$DP och $AB$AB förlängs skär de varandra i punkten $Q$Q.

    Bestäm $\frac{AB}{AQ}$ABAQ  om $BP=a$BP=a och $PC=3a$PC=3a.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Topptriangelsatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se