Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Geometri
Topptriangelsatsen
Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.
Så fungerar Topptriangelsatsen
Topptriangelsatsen är en geometrisk sats om likformighet i trianglar. Förutsättningen för förståelse av denna sats är förståelse av likformighet. Topptriangelsatsen är även tätt kopplad till transversalsatsen vilken vi tittar på i kommande lektion.
För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.
En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.
En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.
Topptriangelsatsen
Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att triangeln $ABC$ABC är likformig med triangeln $CDE$CDE vilket vi med matematiska symboler skriver som
$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup CDE$△ABC∼△CDE.
Som följd av detta gäller att sidorna förhåller sig till varandra enligt följande samband
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$DEAB =CDCA =CECB
Sidorna/längderna $DE$DE och $AB$AB sägs varar likbelägna. Det vill säga motsvarar längder/sidor i trianglarna som uppstår mellan två vinklar som är lika stora i de två trianglarna. Sidorna $CD$CD och $CA$CA är också likbelägna, samt sidorna $CE$CE och $CB$CB.
De likbelägna sidorna förhåller sig alltså till varandra på samma sätt, det vill säga uppfyller likformighet.
Det ger förutsättningen för att kunna bestämma okända längder.
Exempel 1
$DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan $x$x.
Lösning
Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet
$\frac{x}{9}=\frac{3}{8}$x9 =38
Vi multiplicera båda led med $9$9
$\frac{9\cdot x}{9}=\frac{9\cdot3}{8}$9·x9 =9·38
I vänsterledet kan vi förkorta $3$3:an och får då
$x=$x= $\frac{9\cdot3}{8}=$9·38 =$3,375$3,375 cm
Det är bra att alltid ta för vana att kontrollera att svaret är rimligt. Då basen $9$9 cm är lite längre än sidan $8$8 cm på den stora triangel och basen $3,375$3,375 är lite längre än sidan $3$3 cm på topptriangeln så verkar svaret rimligt. Närmare bestämt
$\frac{3,375}{3}=\frac{9}{8}=$3,3753 =98 =$1,125$1,125 gånger större.
Trianglarna är alltså likformiga, vilket är följden av att en paralelltranseversal har ”skapat” en topptriangel.
Det fiffiga med likformigheten är att det inte spelar någon roll exakt ”vart” vi placerar de olika sidorna. Vi skulle alltså lika gärna kunna lösa uppgiften utifrån likheten
$\frac{x}{3}=\frac{9}{8}$x3 =98 och få samma resultat.
Det vill säga ”förhållandet mellan sidorna i topptriangeln ska förhålla sig till varandra på samma sätt som likbelägna sidor i den stora triangeln”.
Exempel 2
$DE$DE är en parallelltransversal. $CE=3,3\text{ }cm$CE=3,3 cm, $CD=2,8\text{ }cm$CD=2,8 cm och $BC=3,4\text{ }cm$BC=3,4 cm
Bestäm längden av sträckan $AC$AC.
Lösning
Vi kallar $x=AC$x=AC och ställer upp följande samband
$\frac{x}{3,3}=\frac{3,4}{2,8}$x3,3 =3,42,8
Multiplicera bägge leden med $3,3$3,3
$\frac{3,3\cdot x}{3,3}=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}$3,3·x3,3 =3,4·3,32,8
I vänsterledet kan vi förkorta med $3,3$3,3 och får då
$x=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}\approx4,01\text{ }cm$x=3,4·3,32,8 ≈4,01 cm
Exempel 3
$DE$DE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan $x$x.
Lösning
Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av topptriangelsatsen.
$\frac{8+x}{x}=\frac{20}{12}$8+xx =2012
Här kan vi multiplicera med $x$x i bägge leden. Då får vi
$\frac{x\left(8+x\right)}{x}=\frac{20x}{12}$x(8+x)x =20x12
Förkorta med $x$x i vänsterledet
$8+x=$8+x= $\frac{20x}{12}$20x12
Nu multiplicerar vi bägge leden med $12$12 och får
$12\cdot8+12\cdot x=$12·8+12·x= $\frac{20x\cdot12}{12}$20x·1212
I högerledet kan vi förkorta med $12$12 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.
$12\cdot8+12\cdot x=20x$12·8+12·x=20x
$96+12x=20x$96+12x=20x
Subtrahera båda led med $12x$12x
$96=8x$96=8x
Dividera båda led med $8$8
$x=$x= $\frac{96}{8}=$968 = $12\text{ }$12 cm
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vad är en transversal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: transversalRättar... -
2. Premium
Vad är en parallelltransversal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: parallelltransversal transversalRättar... -
3. Premium
DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $x$x .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri Likformighet topptriangelsatsenRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Hur lång är sidan $AB$AB då $AD=2$AD=2, $AE=4$AE=4 , $DE=3$DE=3 och $BC=3,5$BC=3,5?
Figuren är ej proportionerlig.Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri LikformighetRättar...c-uppgifter (4)
-
5. Premium
Beräkna längden på sidan $x$x . Bilden är ej proportionerlig.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri Likformighet topptriangelsatsenRättar... -
6. Premium
$DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $y$y.
Avrunda svaret till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Likformighet topptriangelsatsenRättar...7. Premium
I en rätvinklig triangel $ABC$ABC finns en blå kvadrat $AEFD$AEFD inritad. Sträckan $BE$BE är $4$4 cm och sträckan $CD$CD är $2$2 cm. Se figur.
Kan man bevisa att den blå kvadratens area är $8$8 cm$^2$2
Träna på att försöka genomföra beviset och svara sedan Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: TopptriangelsatsenLiknande uppgifter: Matematik 2 nationellt prov Nationellt prov Ma2b vt15 ProvRättar...8. Premium
Rickard har fått i uppgift att bestämma höjden på ett hus. För att göra detta tar han hjälp av en gran som står framför huset.
Rickard ställer sig så att han ser toppen på granen och toppen på taket sammanfalla. Han gör en markering där han står. Därefter tar han mått på nödvändiga sträckor och skriver in dem i skissen nedan.
Svara med en decimals noggrannhet.
NpMa2 ht2012Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri Likformighet topptriangelsatsenRättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
$AB$AB är en parallelltransversal. Vilket förhållande mellan $a$a och $b$b stämmer?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Likformighet topptriangelsatsenRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
K
Ska man dela sidorna i samma triangel eller i motsvarande triangel? Ni tillämpar olika tillvägagångssätt. Jämför tex exemplet i videon med fråga 3/exempel 1.
Endast Premium-användare kan kommentera.