...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Geometri

Topptriangelsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.

Parallelltransversal och topptrianglar

Så fungerar Topptriangelsatsen

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Topptriangelsatsen är en geometrisk  sats om likformighet i trianglar. Det kan vara viktigt att förstå likformighet och att jämföra satsen med transversalsatsen.

För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.

En transversal är en rät linje som skär två andra räta linjer.

transversal

En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.

Parallelltransversal

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att $\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup CDE$ABCCDE  (ABC är likformig med CDE) och följande samband gäller.

 $\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{BC}$DEAB =DCAC =CEBC  

Exempel 1

Exempel 1

 $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan $x$x.

Lösning

Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet

$\frac{x}{3}=\frac{9}{8}$x3 =98  

Vi multiplicerar med 3 i bägge leden

$\frac{3\cdot x}{3}=\frac{9\cdot3}{8}$3·x3 =9·38  

I vänsterledet kan vi förkorta med 3 och får då

 $x=\frac{9\cdot3}{8}=3,375\text{ }cm$x=9·38 =3,375 cm 

Exempel 2

Exempel 2 topptriangelsatsen

$DE$DE är en parallelltransversal.  $CE=3,3\text{ }cm$CE=3,3 cm,  $CD=2,8\text{ }cm$CD=2,8 cm och $BC=3,4\text{ }cm$BC=3,4 cm

Bestäm längden av sträckan $AC$AC.

Lösning

Vi kallar $x=AC$x=AC  och ställer upp följande samband

$\frac{x}{3,3}=\frac{3,4}{2,8}$x3,3 =3,42,8 

Multiplicera bägge leden med $3,3$3,3

$\frac{3,3\cdot x}{3,3}=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}$3,3·x3,3 =3,4·3,32,8 

I vänsterledet kan vi förkorta med $3,3$3,3 och får då

$x=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}\approx4,01\text{ }cm$x=3,4·3,32,8 4,01 cm 

Exempel 3

exempel3

$DE$DE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan $x$x.

Lösning

Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av topptriangelsatsen.

$\frac{8+x}{x}=\frac{20}{12}$8+xx =2012  

Här kan vi multiplicera med $x$x i bägge leden. Då får vi

$\frac{x\left(8+x\right)}{x}=\frac{20x}{12}$x(8+x)x =20x12  

Förkorta med $x$x i vänsterledet

$8+x=\frac{20x}{12}$8+x=20x12  

Nu multiplicerar vi bägge leden med $12$12 och får

$12\cdot8+12\cdot x=\frac{20x\cdot12}{12}$12·8+12·x=20x·1212  

I högerledet kan vi förkorta med $12$12 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.

$12\cdot8+12\cdot x=20x$12·8+12·x=20x 

$96+12x=20x$96+12x=20x 

Subtrahera med $12x$12x 

$96=8x$96=8x 

Dela med $8$8 i bägge leden

$x=\frac{96}{8}=12\text{ }cm$x=968 =12 cm 

Kommentarer

K

Ska man dela sidorna i samma triangel eller i motsvarande triangel? Ni tillämpar olika tillvägagångssätt. Jämför tex exemplet i videon med fråga 3/exempel 1.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är en transversal?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är en parallelltransversal?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Exempel 1

    DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $x$x .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Hur lång är sidan  $AB$AB då  $AD=2$AD=2,  $AE=4$AE=4 ,  $DE=3$DE=3 och  $BC=3,5$BC=3,5?


    Figuren är ej proportionerlig.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna längden på sidan $x$x . Bilden är ej proportionerlig. 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Uppgift topptriangelsatsen

    $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $y$y.

    Avrunda svaret till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R2
    K

    I en rätvinklig triangel $ABC$ABC finns en blå kvadrat $AEFD$AEFD inritad. Sträckan $BE$BE är $4$4 cm och sträckan $CD$CD är $2$2 cm. Se figur.

    Kan man bevisa att den blå kvadratens area är $8$8 cm$^2$2Variant av NpMa2 vt2015

    Träna på att försöka genomföra beviset och svara sedan  Ja eller Nej. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/4/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K1

    Rickard har fått i uppgift att bestämma höjden på ett hus. För att göra detta tar han hjälp av en gran som står framför huset.

    Rickard ställer sig så att han ser toppen på granen och toppen på taket sammanfalla. Han gör en markering där han står. Därefter tar han mått på nödvändiga sträckor och skriver in dem i skissen nedan.

    NP Ma2c hu12 uppgift 22

    Svara med en decimals noggrannhet.
    NpMa2 ht2012

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Övningsuppgift topptriangelsatsen

     $AB$AB är en parallelltransversal. Vilket förhållande mellan $a$a och $b$b stämmer?

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se