Logik och Bevisföring

Matematiker har i alla tider sökt sanningen. Eller i alla fall sätt att motivera och beskriva det man anser vara sant. För att nya matematiska upptäckter och ideér skulle, och ska, accepteras måste de vara, vad man kallar, logiska. 

Logik är i grunden studien om vad som gör vissa argument och resonemang giltiga eller inte. Ett matematiskt påstående är alltid antingen sant eller falskt. För att besluta vilket använder man sig av så kallade logiska resonemang. 

I mattematiken utgår vi ständigt från dessa logiska resonemang för att göra beräkningar och uppskattningar av verkligheten. 

I denna lektion ska vi titta och öva på hur man genomför dessa resonemang. Med för att förtydliga och underlätta detta arbete behövs, som vanligt, ett antal begrepp införas och förtydligas.

För att kunna göra beräkningar som alla vågar lita på är sanna och korrekta, har man genom logiska resonemang och ett otaligt antal beräkningar över tid kommit överens om olika ”matematiska sanningar”. Dessa sanningar kallas definitioner.

Som komplement till definitionerna finns ett antal grundsatser som kallas för axiom. Det är matematiska påståenden som vi genom historien hålls som sanningar. Definitionerna och axiomen lägger i sin tur grunden för nya satser och påståenden som väntar på att bli sanningsförklarade.

Axiomen och definitionerna gäller alltid och behöver inte bevisa var gång man gör en uträkning eller löser ett problem. Definitioner kan hänvisas till och på så vis utgöra motiveringen till problemlösningens resultat.

Ett exempel på en definition är följande.

Utifrån olika axiom och definitioner kan man teckna samband och påståenden. När dessa påståenden visats som gällande kallas de för satser. Förvandlingen från påstående till sats sker genom logisk argumentation om varför påståendet stämmer. Det vi kallas för ett bevis.

En sats som uttrycker ett enkelt resultat som främst används vid bevis av andra satser kallas även för lemma. Och ett resultat som man enkelt kan får utifrån en annan sats kallas för en följdsats.

Påståendet har i nuläget cirka fyra hundra olika bevis. Så satsen är väl bevisad. Vill du se ett av alla hittar du det i lektionen om Pythagoras sats.

Ett matematiskt bevis är en följd av ett antal slutledningar. Det bygger på logiska resonemang utan luckor. Dessa görs utifrån olika bestämda axiom och givna premisser och leder fram till en slutsats som alltid blir den samma och stämmer. 

Ett påstående, som är obevisat, kallas för en förmodan. Ett bevis gäller så länge ingen har kunnat ger ett logiskt argument som motbevisar påståendet. Historiskt sett har det hänt att fel upptäckts i publicerade bevisförsök för satser, som tidigare betraktats som giltiga. 

Det kan vara bra att notera att matematiska bevis är inte fullt jämförbara med betydelsen av bevis i andra vetenskaper. 

För att effektivt och tydligt kunna genomföra bevis har man, som man ofta gör i matematiken, ersatt meningar och betygelser med symboler. Detta görs för att minska mängden tecken som krävs för att få fram önskad information. Syftet med teckna är även att minska tolkningsmöjligheterna på vad som menas. Vid bevisföring är två flitigt använda tecken  ⇒  och ⇔.

Tecknet för implikationen ska tolkas som ”Om påståendet till vänster om implikationen gäller, gäller även påståendet till höger.”

Implikationen kan skrivas i valfri riktning. Så här, $\Leftarrow$⇐ eller  $\leftarrow$←, och då ska det tolkas som att ”Om påståendet till höger om implikationen gäller, gäller även påståendet till vänster.”

Vi utläser implikationen som ”Om en gräsmatta har en kvadratisk form, gäller att gräsmattans fyra sidor är lika långa.”

Vi utläser ekvivalensen som ”Om en figur har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor, gäller att figuren är en kvadrat. Och är figuren en kvadrat, gäller även att figuren har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor.” Implikationen gäller i båda riktningarna.

En implikation eller ekvivalens anses som giltig, då man inte kan hitta några motbevis. Motbevis är en väl använd metod för att formulera satser och definitioner.

Vi undersöker om påståendet i exempel 3 är en ekvivalens.

Till en början kan det kännas lite trögt att genomföra olika bevis men med en del träning, som med allt annat, brukar det fungera!

Stämmer resonemanget: ”Simon köper en pizza. $⇒$ Han köper en kebabpizza”?

$3x+1=10 \,\, \Box \,\, x = 3 $, vilken symbol skall användas i rutan $\Box$?

$x>2 \,\, \Box \,\, \text{x är större än 2} $, vilken symbol skall användas i rutan $\Box$?

Bevisa att yttervinkelsatsen stämmer.