...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2
 /   Andragradsekvationer

Kvadratkomplettering

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen går vi igenom kvadratkomplettering som är en metod att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom pq-formeln.

Så fungerar kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett sätt att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom lösningsmetoden pq-formeln. Idén här är att lägga till en kvadrat (något upphöjt med 2) på bägge sidor om likhetstecknet för att därefter kunna faktorisera ena ledet med kvadreringsreglerna.

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Ett sätt att veta vad vi skall kvadratkomplettera med är att skriva om ekvationen så att vi endast har konstanten i högerledet och variabeltermerna i vänsterledet. Sedan kompletterar vi med halva koefficienten framför $x$x i kvadrat. Då kan du alltid faktorisera den i nästa steg.

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^2+8x-9=0$x2+8x9=0 med kvadratkomplettering.

Lösning

Vi har ekvationen  $x^2+8x-9=0$x2+8x9=0 och skriver nu om den som

$x^2+8x=9$x2+8x=9

Sedan kompletterar vi med halva koefficienten framför x i kvadrat, $\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2$(82 )2=42

$x^2+8x+4^2=9+4^2$x2+8x+42=9+42

Nu kan vänsterledet faktoriseras och högerledet förenklas

$\left(x+4\right)^2=25$(x+4)2=25

Nu tar vi roten ur

$x+4=\pm\sqrt{25}$x+4=±25

$x=-4\pm5$x=4±5

Lösningarna är alltså

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-9  \end{cases}$

Exempel 2

Lös ekvationen $x^2+4x-5=0$ med kvadratkomplettering.

Lösning

$x^2+4x-5=0$

Addera med 5

$x^2+4x=5$

Lägg till (kvadratkomplettera med) $(\frac{4}{2})^2=2^2$

$x^2+4x+2^2=5+2^2$

$x^2+4x+2^2=9$

Här kan vi nu faktorisera vänsterledet med den första kvadreringsregeln vilket ger oss

$(x+2)^2=9$

Nu tar vi roten ur

$x+2=\pm \sqrt{9}$

Subtrahera med $2$

$x=-2\pm \sqrt{9}$

$x=-2\pm 3$

Vi har alltså lösningarna

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-5  \end{cases}$

Exempel i videon

  • Lös $x^2-4x+3=0$ med kvadratkomplettering.
  • Härled pq-formeln med kvadratkomplettering utifrån ekvationen $x^2+px+q=0$

Kommentarer

Odai Shaar

Hej!

Frågan nummer 2 delade jag med 3 men det blev fel. Kan man dela med 3 istället för att skriva 3 utanför parentesen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det skall du inte göra där utan du skall bryta ut 3
    /Simon

Anders Glans

I fråga 5. Hon har ju lagt till kvadraterna i bägge leden(kvadratkompletterat). Nästa steg borde vara en faktorisering.
I förklaringen skriver ni att nästa steg är faktorisering av VL( då säkert så som kvadreringsreglerna påvisar).
Rätt svar är ändå kvadratkompletering(ngt hon redan gjort) Förklara er bums!! 😛

    Simon Rybrand (Moderator)

    Nu har vi förklarat oss 🙂
    Tack för att du påpekade felet!


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Faktorisera uttrycket $x^2+4x+4$x2+4x+4.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Faktorisera uttrycket $3x^2+18x+27$3x2+18x+27.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $x^2-12x+11=0$x212x+11=0 med hjälp av kvadratkomplettering

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $10x^2+10x=100$10x2+10x=100 med kvadratkomplettering.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP

    Sara skall härleda pq-formeln från uttrycket  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0  med hjälp av kvadratkomplettering.

    Hon gör följande steg:

     $x^2+px+q=0$x2+px+q=0 

    Subtrahera med  $q$q 
     $x^2+px=-q$x2+px=q 

    Nu lägger vi till kvadraten  $(\frac{p}{2})^2$(p2 )2 .
     $x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q$x2+px+(p2 )2=(p2 )2q 

    Här fastnar hon, vad skall hon göra härnäst?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se