...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2
 /   Linjära funktioner

Linjära ekvationssystem, Vad är det?

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen går vi igenom vad ett linjärt ekvationssystem är. Vi förklarar hur du skriver ett ekvationssystem och dess lösning.

Vad är ett linjärt ekvationssystem?

Ett linjärt ekvationssystem består av två eller flera linjära ekvationer, där varje ekvation innehåller en eller flera variabler.

Linjära ekvationssystem

De värden på variablerna, som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt, motsvarar ekvationssystemets lösning.

Nödvändiga förkunskaper

I arbetet med linjära ekvationssystem behöver du känna till räta linjens ekvation och grunderna i linjär ekvationslösning.

I den här lektionen introduceras linjära ekvationssystem. Vi beskriver vad ett linjärt ekvationssystem är, hur det skrivs och hur du skriver en lösning till systemet. I kommande lektioner fördjupar vi hur man löser dem grafiskt och algebraiskt. 

Så skrivs ett linjärt ekvationssystem

Det vanligaste skrivsättet för att markera att flera ekvationer tillhör samma ekvationssystem, är att använda sig av en stor klammer. Den ser ut så här { och skrivs vanligtvis till vänster om ekvationerna.

Genom att markera ekvationerna med (1) och (2)  kan man förtydliga redovisningen, genom att referera till ekvationerna som (1) och (2) i lösningen.

Så här skrivs ekvationssystemet för de linjära ekvationerna  $y=-x+2$y=x+2 och  $y=x+4$y=x+4:

$\begin{cases} y=-x+2 \quad (1) \\ y=x+4 \quad (2) \end{cases}$

I ekvationssystem markeras den översta ekvationen med (1) och den nedersta med (2).

Algebraisk kontroll av lösning

Som vi tidigare nämnde gäller att ekvationssystemets lösning motsvarar de värden på variablerna som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt.Vi visar ett exempel för att förtydliga vad vi menar.

Exempel 1

Kontrollera algebraiskt om

$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$

är en lösning till ekvationssystemet

$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}$

Lösning

Om vänsterleden är lika med högerleden i de bägge ekvationerna, när vi ersätter $x$x och $y$y  med sina värden, är det en lösning.

Vi numrerar ekvationerna för att lättar kunna särskilja dem.

$\begin{cases} y=-x+2 \,\,\,(1)\\ y=x+4\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{cases}$

Sedan sätter vi in värdena $x=-1$x=1 och $y=3$y=3 i respektive ekvation och undersöker om värdena uppfyller likheterna.

Kontroll ekvation (1)

$\text{ }3=-\left(-1\right)+2$ 3=(1)+2
$3=1+2$3=1+2 
$3=3$3=3 
Likheten stämmer!

Kontroll ekvation (2)

$3=-1+4$3=1+4 
$3=3$3=3 
Likheten stämmer!

Den föreslagna lösningen till ekvationssystemet stämmer, eftersom att $x$x och $y$y uppfyller likheten i båda ekvation.

Grafisk kontroll av lösning

I linjära ekvationssystem motsvarar alltid ekvationernas graferna räta linjer. Rita du ut de bägge linjerna i ett koordinatsystem, återfinns alltid lösningen till systemet i koordinaterna där linjerna skär varandra. Eller som nedan uttryckt på ett annat sätt.

Ekvationssystemets lösning

Ekvationssystemets lösning återfinns alltid i grafernas skärningspunkter.

När du anger lösningen till ekvationssystemet så anger du både $x$x-värdet och  $y$y-värdet som lösning.

Du skriver även lösningen med en klammer.

Exempel 2

Kontrollera grafiskt om

$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$

är en lösning till ekvationssystemet

$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}$

Lösning

En grafisk lösning innebära att man ritar in ekvationerna i ett ekvationssystem och läser av svaret i grafen. Vi börjar med att rita ut de två ekvationerna som räta linjer.

$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}$ motsvarar de två linjerna  $y=-x+2$y=x+2  och  $y=x+4$y=x+4. Vi ritar grafen till   $y=-x+2$y=x+2 blå och  $y=x+4$y=x+4 röd. 
Linjärt ekvationssystem
Ekvationssystemets lösning återfinns i linjernas skärningspunkter. Här ovan ser vi att de bägge linjerna skär varandra i punkten  $\left(-1,\text{ }3\right)$(1, 3)vilket ger oss att lösningen för ekvationssystemet är  $x=-1$x=1 och $y=3$y=som vi kan skriva som $\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$

Antal lösningar till linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem kan ha tre olika typer av lösningar. Antingen exakt en lösning, vilket inträffar då graferna skär varandra i en punkt. Systemet kan annars ha oändligt antal lösningar, vilket inträffar när de bägge ekvationerna representerar samma linje. Slutligen kan ekvationssystemet sakna lösningar, vilket i sin tur inträffar då graferna till ekvationerna är parallella och har olika $m$m-värden.

Lär dig mer om detta i vår kommande lektion om att lösa linjära ekvationssystem med grafisk metod.

Att lösa linjära ekvationssystem 

I denna kurs kommer vi lära oss hur man löser linjära ekvationssystem grafiskt och algebraiskt. De algebraiska metoder som presenteras är substitutionsmetoden och additionsmetoden. Dessa metoder kan även användas för att lösa ekvationssystem med tre obekanta.

Matriser och Gausselimination

Det finns ytterligare en metod för att lösa linjära ekvationssystem som kallas gausselimination. Man ställer då upp ekvationssystemet i en så kallad matris och utför radoperationer som radbyten, radmultiplikation och radaddition i matrisen för att hitta alla lösningar till ekvationssystemet.

Metoden används framförallt i högskolematematik inom kursen linjär algebra, och ingår alltså inte i gymnasiekurserna.

Kommentarer

Marcus

4. enkelt stavfel på ”ersäta”.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur löser man ett linjärt ekvationssystem grafiskt?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figuren nedan beskriver graferna till ett ekvationssystem.

    Ange koordinaten till den punkt där man kan hitta lösningen till ekvationssystemet.

    Linjärt ekvationssystem

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket av följande alternativ är inte en algebraisk lösningsmetod för linjära ekvationssystem?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Linjära ekvationssystem
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur kan man kontrollera om värdena $x=2$x=2 och $y=3$y=3 är en lösning till ett ekvationssystem?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Är $\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$ en lösning till

    $\begin{cases} y=x \\ y=-x+2  \end{cases}$

    Ange här svaret med ja eller nej, men träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Algebra Linjära ekvationssystem
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se