Linjära ekvationssystem, Vad är det?

Ett linjärt ekvationssystem består av två eller flera linjära ekvationer, där varje ekvation innehåller en eller flera variabler.

De värden på variablerna, som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt, motsvarar ekvationssystemets lösning.

I arbetet med linjära ekvationssystem behöver vi känna till räta linjens ekvation och grunderna i linjär ekvationslösning.

I den här lektionen introduceras linjära ekvationssystem. Vi beskriver vad ett linjärt ekvationssystem är, hur det skrivs och hur vi skriver en lösning till systemet. I kommande lektioner fördjupar vi hur vi löser dem grafiskt och algebraiskt.

Det vanligaste skrivsättet för att markera att flera ekvationer tillhör samma ekvationssystem är att använda sig av en stor klammer. Den ser ut så här { och skrivs vanligtvis till vänster om ekvationerna.

Genom att markera ekvationerna med (1) och (2) kan vi förtydliga redovisningen, genom att referera till ekvationerna som (1) och (2) i lösningen.

Så här skrivs ekvationssystemet för de linjära ekvationerna $y=-x+2$y=−x+2 och $y=x+4$y=x+4:

$\begin{cases} y=-x+2 \quad (1) \\ y=x+4 \quad (2) \end{cases}$

I ekvationssystem markeras den översta ekvationen med (1) och den nedersta med (2).

Som vi tidigare nämnde gäller att ekvationssystemets lösning motsvarar de värden på variablerna som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt. Vi visar ett exempel för att förtydliga vad vi menar.

I linjära ekvationssystem motsvarar ekvationernas grafer alltid räta linjer. Ritar vi ut de bägge linjerna i ett koordinatsystem återfinns alltid lösningen till systemet i koordinaterna där linjerna skär varandra. Eller som nedan uttryckt på ett annat sätt.

När vi anger lösningen till ekvationssystemet anger vi både $x$x-värdet och $y$y-värdet som lösning.

Vi skriver även lösningen med en klammer.

Ett linjärt ekvationssystem kan ha tre olika typer av lösningar: antingen exakt en lösning, vilket inträffar då graferna skär varandra i en punkt. Systemet kan annars ha oändligt antal lösningar, vilket inträffar när de bägge ekvationerna representerar samma linje. Slutligen kan ekvationssystemet sakna lösningar, vilket i sin tur inträffar då graferna till ekvationerna är parallella och har olika $m$m-värden.

Läs mer om detta i vår kommande lektion om att lösa linjära ekvationssystem med grafisk metod.

I denna kurs kommer vi att lära oss hur vi löser linjära ekvationssystem grafiskt och algebraiskt. De algebraiska metoder som presenteras är substitutionsmetoden och additionsmetoden. Dessa metoder kan även användas för att lösa ekvationssystem med tre obekanta.

Det finns ytterligare en metod för att lösa linjära ekvationssystem som kallas Gausselimination. Vi ställer då upp ekvationssystemet i en så kallad matris och utför radoperationer som radbyten, radmultiplikation och radaddition i matrisen för att hitta alla lösningar till ekvationssystemet.

Metoden används framförallt i högskolematematik inom kursen linjär algebra, och ingår alltså inte i gymnasiekurserna.