Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem kan tolkas grafiskt som räta linjer i ett koordinatsystem. Lösningen till det linjära ekvationssystemet är koordinaterna för linjernas skärningspunkter. Vi anger både $x$x -värdet och $y$y -värdet i vår lösning. För att lösa ekvationssystemet på detta sätt kan vi antingen läsa av lösningen direkt eller rita ut linjerna och sedan läsa av lösningen.

Skär linjerna varandra finns det en lösning. Är de parallella kommer vi inte att ha någon lösning alls. Är linjerna samma linje, dvs har de samma k-värde och m-värde, kommer ekvationssystemet att ha oändligt antal lösningar.

Nedan visar vi två sätt att lösa linjära ekvationssystem. I det första exemplet är linjerna redan utritade och vi behöver då bara läsa av lösningen.

Lägg märke till att även då lösningen motsvaras av en punkt i koordinatsystemet anger vi lösningen till ett ekvationssystem på formen $\begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}$ eller $x=a$x=a och $y=b$y=b.

När vi inte får en färdig figur av graferna i ett koordinatsystem måste vi först rita ut linjerna. Sedan läser vi av lösningen.

Se hur det görs i lektionen GeoGebra och Grafisk lösning.

Som nämns i början av lektionen kan ett linjärt ekvationssystem ha antingen inga, exakt en eller oändligt antal lösningar. Då linjerna är parallella har ekvationssystemet inga lösningar. Vi säger att det saknar lösningar.

Detta inträffar då linjerna har samma lutning, men olika $m$m -värden.

Alltså då $k_1=k_2$k₁=k₂ och $m_1\ne m_2$m₁≠m₂.

Två linjer som är parallella skär aldrig varandra. Eftersom lösningar till ett linjärt ekvationssystem infaller då linjerna skär varandra, blir följden att ett system med två parallella linjer saknar lösning.

Ett exempel på ett sådant är följande ekvationssystem.

När vi löser ett ekvationssystem där linjerna är parallella med en algebraisk metod kommer vi att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att $x$x -termerna tar ut varandra. Undersök då om de är parallella genom att rita ut dem.

Ett linjärt ekvationssystem kan också ha oändligt antal lösningar. Det har ekvationssystemet om de bägge ekvationerna representerar samma linje.

Alltså då $k_1=k_2$k₁=k₂ och $m_1=m_2$m₁=m₂.

När vi ritar ekvationssystemets två grafer kommer graferna att ”ligga på varandra”, alltså sammanfalla. Det gör att graferna skär varandra i oändligt många punkter. Det medför att systemet har oändligt många lösningar, eftersom varje skärningspunkt representerar en lösning till ekvationssystemet.

Ibland kan vi först behöva skriva om ekvationssystemet för att se att det är samma linje.

När vi löser ett ekvationssystem där båda ekvationerna beskriver samma linje går det inte att lösa fram ett bestämt värde algebraiskt — vi får istället en ekvation som alltid är sann, till exempel $0=0$0=0. Detta beror på att alla termer tar ut varandra. Skriv då om ekvationerna till formen $y=kx+m$y=kx+m och lös det grafiskt, eller jämför deras k- och m-värden, för att bekräfta att det är samma linje.

Nedan visas en metod för att rita ut en linje på egen hand.

Nedan visar vi hur vi kan använda en grafritande räknare för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Vi använder i detta fall en Texas TI-83. Instruktionerna för att göra detta är följande:

1. Tryck på Y=
2. Skriv i de bägge linjerna på formen kx+m (Y=står redan)
3. Tryck på GRAPH för att rita ut linjerna
4. Du kan direkt läsa av en lösning om du har ställt in inställningarna i WINDOW korrekt.
5. Om du vill läsa av skärningspunkten mer exakt kan du trycka på 2nd > CALC och välja intersect