Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Linjära funktioner
Grafisk lösning av linjära ekvationssystem
Innehåll
I den här lektionen lär du dig hur man med grafisk metod löser linjära ekvationssystem. Lösningen till ett linjärt ekvationssystem är koordinaterna för skärningspunkten mellan två eller flera linjer.
Grafisk lösning
Ett linjärt ekvationssystem kan tolkas grafiskt som räta linjer i ett koordinatsystem. Lösningen till det linjära ekvationssystem är koordinaterna för linjernas skärningspunkter. Du anger både $x$x -värdet och $y$y -värdet i din lösning. För att lösa ekvationssystemet på detta sätt kan du antingen läsa av lösningen direkt eller rita ut linjerna och sedan läsa av lösningen.
Om linjerna skär varandra så finns det en lösning. Om de är parallella så kommer du inte ha någon lösning alls. Om linjerna är samma linje, dvs de har samma k-värde och m-värde, så kommer ekvationssystemet att ha oändligt antal lösningar.
Metod för att lösa ekvationssystemet grafiskt
Nedan visar vi två sätt att lösa linjära ekvationssystem. I det första exemplet är linjerna redan utritade och vi behöver då bara läsa av lösningen.
Exempel 1
Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y=3x-2,5 \quad (1) \\ y=-x+3,5 \quad (2) \end{cases}$
Graferna till ekvationssystemet är utritade i figuren nedan.
Lösning
Först kan vi notera koordinataxlarnas markering där vi ser att varje rutsteg representerar $0,5$0,5. Genom att avläsa vilken av linjerna som har positiv respektive negativ lutning ser vi att den röda linjen har ekvationen $y=3x-2,5$y=3x−2,5 och den blå linjen har ekvationen $y=-x+3,5$y=−x+3,5.
Vi läser av att linjerna skär varandra där $x=1,5$x=1,5 och $y=2$y=2.
Lösningen till ekvationssystemet är därmed
$\begin{cases} x=1,5 \\ y=2 \end{cases}$
Lägg märke till att även då lösningen motsvaras av en punkt i koordinatsystem så anger man lösningen till ett ekvationssystem på formen $\begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}$ eller $x=a$x=a och $y=b$y=b.
När vi inte får en färdig figur av graferna i ett koordinatsystem måste vi först rita ut linjerna. Sedan läser vi av lösningen.
Exempel 2
Lös det linjära ekvationssystemet grafiskt.
$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ y-5=-2x \quad (2) \end{cases}$
Lösning
Vi börjar med att skriva om ekvationerna på formen $y=kx+m$y=kx+m för att lättare kunna rita dem.
Ekvation (1)
$y-2x=1$y−2x=1 addera med 2x
$y=2x+1$y=2x+1
Linjen har lutningen $k=2$k=2 och skär y $y$y -axeln i $y=1$y=1
Ekvation (2)
$y-5=-2x$y−5=−2x addera med 5
$y=-2x+5$y=−2x+5
Linjen har lutningen $k=-2$k=−2 och skär $y$y -axeln i $y=5$y=5
Med denna information kan vi använda ett koordinatsystem, penna och linjal för att rita ut linjen.
Vi läser av linjernas skärningspunkt i $x=1$x=1 och $y=3$y=3. Lösningen till ekvationssystemet är därför
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
I vissa digital hjälpmedel så behöver du inte skriva om ekvationen utan verktyget löser det själv. Se hur du gör det i lektionen GeoGebra och Grafisk lösning.
Inga lösningar
Som nämns i början av lektionen kan ett linjärt ekvationssystem ha antingen inga, exakt en eller oändligt antal lösningar. Då linjerna är parallella har ekvationssystemet inga lösningar. Man säker att det saknar lösningar.
Detta inträffar då linjerna har samma lutning, men olika $m$m -värden.
Alltså då $k_1=k_2$k1=k2 och $m_1\ne m_2$m1≠m2.
Två linjer som är parallella skär aldrig varandra. Eftersom att lösningar till ett linjärt ekvationssystem infaller då linjerna skär varandra, blir följden att ett system med två parallella linjer saknar lösning.
Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som inte sammanfaller, saknar lösningar.
Ett exempel på ett sådant är följande ekvationssystem.
Exempel 3
Hur många lösningar har ekvationssystemet?
$\begin{cases} y=3x+1 \quad (1) \\ y=3x-1 \quad (2) \end{cases}$
Lösning
Vi ritar upp graferna till ekvationerna.
Bägge linjerna i ekvationssystemet har koefficienten $3$3 framför $x$x -termen och är skrivna på formen $y=kx+m$y=kx+m. De är därmed parallella och kommer aldrig att skära varandra i någon punkt. Ekvationssystemet saknar lösningar.
När du löser ett ekvationssystem där linjerna är parallella med en algebraisk metod kommer du att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att $x$x -termerna tar ut varandra. Undersök då om de är parallella genom att rita ut dem.
Oändligt antal lösningar
Ett linjärt ekvationssystem kan också ha oändligt antal lösningar. Det har ekvationssystemet om de bägge ekvationerna representerar samma linje.
Alltså då $k_1=k_2$k1=k2 och $m_1=m_2$m1=m2.
När man ritar ekvationssystemets två grafer kommer graferna att ”ligga på varandra”, alltså sammanfalla. Det gör att graferna skär varandra i oändligt många punkter, vilket medför att systemet har oändligt många lösningar, eftersom att alla varje skärningspunkt representerar en lösning till ekvationssystemet.
Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som sammanfaller, har oändligt antal lösningar.
Ibland kan man först behöva skriva om ekvationssystemet för att se att det är samma linje.
Exempel 4
Hur många lösningar har ekvationssystemet?
$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ 3y-3=6x \quad (2) \end{cases}$
Lösning
Vi skriver om ekvation (1) i $k$k -form
$y-2x=1$y−2x=1 addera båda leden med 2x
$y=2x+1$y=2x+1
Vi skriver om ekvation (2) i $k$k -form.
$3y-3=6x$3y−3=6x addera båda leden med 3
$3y=6x+3$3y=6x+3 dividera båda leden med 3
$y=2x+1$y=2x+1
Nu ser vi att de bägge ekvationerna egentligen beskriva samma linje, vilket innebär att ekvationssystemet kommer att ha oändligt antal lösningar.
När du löser ett ekvationssystem där båda ekvationerna beskriver samma linje kommer du att få omöjlig ekvation att lösa algebraiskt. Detta beror på att alla termer tar ut varandra. Skriv då om dem till formen $y=kx+m$y=kx+m och lös det grafiskt.
Rita en linje utifrån räta linjens ekvation y = kx+m
Nedan visas en metod för att rita ut en linje på egen hand.
Rita ut linjen $y=2x-2$y=2x−2
- Lutningen $k=2$k=2 och m-värdet är $m=-2$m=−2.
- Vi börjar med att använda oss av att $m=-2$m=−2. Detta betyder att linjen skär $y$y -axeln där $y=-2$y=−2. Då får vi den röda punkten $\left(0,-2\right)$(0,−2) nedan.
- Då lutningen är $2$2 gäller att för varje steg vi tar i x-led kommer vi två steg uppåt i y-led. Så tar vi ett steg från den röda punkten hamnar vi två steg uppåt i den gröna punkten $\left(1,0\right)$(1,0) i bilden nedan.
- Nu kan vi rita ut linjen genom att dra ett streck som går genom de bägge punkterna.
Använda grafräknare för att lösa ekvationssystemet
Nedan visar vi hur du kan använda en grafritande räknare för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Vi använder i detta fall en Texas TI-83. Instruktionen att göra detta på är följande:
- Tryck på Y=
- Skriv i de bägge linjerna på formen kx+m (Y=står redan)
- Tryck på GRAPH för att rita ut linjerna
- Du kan direkt läsa av en lösning om du har ställt in inställningarna i WINDOW korrekt.
- Om du vill läsa av skärningspunkten mer exakt kan du trycka på 2nd > CALC och välja intersect
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Figuren nedan beskriver graferna till ett ekvationssystem.
Ange koordinaten till den punkt där man kan hitta lösningen till ekvationssystemet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Linjära ekvationssystem, Vad är det?Liknande uppgifter: Algebra grafisk lösning Linjära ekvationssystem skärningspunktRättar...2. Premium
Vilken linje är utritad i koordinatsystemet?
Svara på formen $y=kx+m$y=kx+m.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Räta linjens ekvationRättar...3. Premium
I figuren nedan beskriver graferna till ekvationssystemet $\begin{cases} y=x+3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$
Vilket alternativ är lösningen till ekvationssystemet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: grafisk lösning linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystemRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
I figuren nedan beskriver graferna till ekvationssystemet $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+1 \end{cases}$
Vilket alternativ är lösningen till ekvationssystemet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: grafisk lösning linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystemRättar...5. Premium
Vilket är det linjära ekvationssystemet som du ser i bilden nedan?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpningar Linjära ekvationssystemRättar...6. Premium
Vilket koordinatsystem är den mest korrekta avbildningen av ekvationssystemet?
$\begin{cases} 3y=-6x+18 \\ y+2x=6 \end{cases}$
Träna på att motivera ditt svar, men ange svaret endast med en bokstav som motsvarar systemet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpningar Linjära ekvationssystemRättar...7. Premium
Har ekvationssystemet nedan noll, en eller oändligt antal lösningar?
$\begin{cases} y=3x+2 \\ y=3x \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: SubstitutionsmetodenLiknande uppgifter: Linjära ekvationssystem parallella linjerRättar...8. Premium
Har ekvationssystemet nedan noll, en eller oändligt antal lösningar?
$\begin{cases} y=3x+2 \\ y=2x \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: SubstitutionsmetodenLiknande uppgifter: ekvationssystemRättar...9. Premium
Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna $y=2x-8$y=2x−8 och $x+y=10$x+y=10.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Grafisk lösning av linjära ekvationssystemLiknande uppgifter: grafisk lösning koordinatsystem Linjära ekvationssystem Linjära funktioner skärningspunktRättar...c-uppgifter (4)
-
10. Premium
Lös det linjära ekvationssystemet $\begin{cases} y+x=-1 \\ y+7=2x \end{cases}$
grafiskt, alltså genom att rita ut linjerna och läsa av lösningen i koordinatsystemet.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: grafisk lösning linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystemRättar... -
11. Premium
Lös det linjära ekvationssystemet $\begin{cases} y+2x=6\\ 2y-2=x \end{cases}$
grafiskt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: grafisk lösning linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystemRättar... -
12. Premium
Ett linjärt ekvationssystem består av två ekvationer. I koordinatsystemet finns grafen till den ena ekvationen ritad.
a) Grafen till den andra ekvationen har lutningen $k=0,5$k=0,5. Rita grafen till denna ekvation så att ekvationssystemet får lösningen $\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases} $
b) Ange ekvationssystemet som nu finns avbildat i koordinatsystemet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra ekvationssystem Linjära funktioner Räta linjens ekvationRättar...13. Premium
Ekvationssystemet
$\begin{cases} x+y=a \\ y+ax=1 \end{cases}$
Har lösningen $x=-1$x=−1 och $y=5$y=5
Bestäm talet $a$a.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: grafisk lösning Linjära ekvationssystemRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Viktoria Almberg
Hej, jag har förstått allting med hur man räknar ut m och k-värde (på redan existerande linje t.ex), men jag undrar hur man tänker när man ritar ut linjerna själv, som i första exemplet ” Den röda linjen har ekvationen y=3x−2,5 och den blå linjen har ekvationen y=−x+3,5”
Vad utgår man ifrån när man ritar linjerna?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det kan vara bra att du kikar igenom vår lektion om räta linjens ekvation om du är osäker på detta: /lektioner/rata-linjens-ekvation/
Kortfattat (med exemplet y=3x−2,5) så brukar jag göra så här:
Jag gör även så att jag skriver en liknande guide i texten här ovan ifall det är någon mer som funderar på detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.