00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen lär du dig hur man med grafisk metod löser linjära ekvationssystem. Lösningen till ett linjärt ekvationssystem är koordinaterna för skärningspunkten mellan två eller flera linjer.

Grafisk lösning

Ett linjärt ekvationssystem kan tolkas grafiskt som räta linjer i ett koordinatsystem. Lösningen till det linjära ekvationssystem är koordinaterna för linjernas skärningspunkter. Du anger både xxx -värdet och yyy -värdet i din lösning. För att lösa ekvationssystemet på detta sätt kan du antingen läsa av lösningen direkt eller rita ut linjerna och sedan läsa av lösningen.

Antal lösningar till ekvationssystem

Om linjerna skär varandra så finns det en lösning. Om de är parallella så kommer du inte ha någon lösning alls. Om linjerna är samma linje, dvs de har samma k-värde och m-värde, så kommer ekvationssystemet att ha oändligt antal lösningar.

Metod för att lösa ekvationssystemet grafiskt

Nedan visar vi två sätt att lösa linjära ekvationssystem. I det första exemplet är linjerna redan utritade och vi behöver då bara läsa av lösningen.

Exempel 1

Lös ekvationssystemet {y=3x2,5(1)y=x+3,5(2)\begin{cases} y=3x-2,5 \quad (1) \\ y=-x+3,5 \quad (2) \end{cases}

Graferna till ekvationssystemet är utritade i figuren nedan.

Exempel 1 grafisk lösning

Lösning

Först kan vi notera koordinataxlarnas markering där vi ser att varje rutsteg representerar  0,50,50,5. Genom att avläsa vilken av linjerna som har positiv respektive negativ lutning ser vi att den röda linjen har ekvationen y=3x2,5y=3x-2,5y=3x2,5 och den blå linjen har ekvationen y=x+3,5y=-x+3,5y=x+3,5.

Vi läser av att linjerna skär varandra där x=1,5x=1,5x=1,5 och y=2y=2y=2.

Lösningen till ekvationssystemet är därmed

{x=1,5y=2\begin{cases} x=1,5 \\ y=2 \end{cases}

Lägg märke till att även då lösningen motsvaras av en punkt i koordinatsystem så anger man lösningen till ett ekvationssystem på formen {x=ay=b \begin{cases} x=a \\ y=b  \end{cases} eller  x=ax=ax=a och  y=by=by=b

När vi inte får en färdig figur av graferna i ett koordinatsystem måste vi först rita ut linjerna. Sedan läser vi av lösningen.

Exempel 2

Lös det linjära ekvationssystemet grafiskt.

{y2x=1(1)y5=2x(2)\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ y-5=-2x \quad (2) \end{cases}

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationerna på formen y=kx+my=kx+my=kx+m för att lättare kunna rita dem.

Ekvation (1)
y2x=1y-2x=1y2x=1 addera med 2x
y=2x+1y=2x+1y=2x+1
Linjen har lutningen k=2k=2k=2  och skär y yyy -axeln i y=1y=1y=1

Ekvation (2)
y5=2xy-5=-2xy5=2x addera med 5
y=2x+5y=-2x+5y=2x+5
Linjen har lutningen k=2k=-2k=2 och skär  yyy -axeln i y=5y=5y=5

Med denna information kan vi använda ett koordinatsystem, penna och linjal för att rita ut linjen.

Exempel 2 grafisk lösning

Vi läser av linjernas skärningspunkt i x=1x=1x=1 och y=3y=3y=3. Lösningen till ekvationssystemet är därför

{x=1y=3\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}

I vissa digital hjälpmedel så behöver du inte skriva om ekvationen utan verktyget löser det själv. Se hur du gör det i lektionen GeoGebra och Grafisk lösning.

Inga lösningar

Som nämns i början av lektionen kan ett linjärt ekvationssystem ha antingen inga, exakt en eller oändligt antal lösningar. Då linjerna är parallella har ekvationssystemet inga lösningar. Man säker att det saknar lösningar.

Detta inträffar då linjerna har samma lutning, men olika mmm -värden.

Alltså då  k1=k2k_1=k_2k1=k2 och  m1m2m_1\ne m_2m1m2.

Två linjer som är parallella skär aldrig varandra. Eftersom att lösningar till ett linjärt ekvationssystem infaller då linjerna skär varandra, blir följden att ett system med två parallella linjer saknar lösning.

Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som inte sammanfaller, saknar lösningar.

Ett exempel på ett sådant är följande ekvationssystem.

Exempel 3

Hur många lösningar har ekvationssystemet?

{y=3x+1(1)y=3x1(2)\begin{cases} y=3x+1 \quad (1) \\ y=3x-1 \quad (2) \end{cases}

Lösning

Vi ritar upp graferna till ekvationerna.

Parallella linjer, ingen lösning

Bägge linjerna i ekvationssystemet har koefficienten 333 framför  xxx -termen och är skrivna på formen y=kx+my=kx+my=kx+m. De är därmed parallella och kommer aldrig att skära varandra i någon punkt. Ekvationssystemet saknar lösningar.

När du löser ett ekvationssystem där linjerna är parallella med en algebraisk metod kommer du att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att  xxx -termerna tar ut varandra. Undersök då om de är parallella genom att rita ut dem.

Oändligt antal lösningar

Ett linjärt ekvationssystem kan också ha oändligt antal lösningar. Det har ekvationssystemet om de bägge ekvationerna representerar samma linje.

Alltså då  k1=k2k_1=k_2k1=k2 och  m1=m2m_1=m_2m1=m2.

När man ritar ekvationssystemets två grafer kommer graferna att ”ligga på varandra”, alltså sammanfalla. Det gör att graferna skär varandra i oändligt många punkter, vilket medför att systemet har oändligt många lösningar, eftersom att alla varje skärningspunkt representerar en lösning till ekvationssystemet.

Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som sammanfaller, har oändligt antal lösningar.

Ibland kan man först behöva skriva om ekvationssystemet för att se att det är samma linje.

Exempel 4

Hur många lösningar har ekvationssystemet?

{y2x=1(1)3y3=6x(2)\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ 3y-3=6x \quad (2) \end{cases}

Lösning

Vi skriver om ekvation (1) i  kkk -form

y2x=1y-2x=1y2x=1     addera båda leden med 2x
y=2x+1y=2x+1y=2x+1

Vi skriver om ekvation (2) i  kkk -form.

3y3=6x3y-3=6x3y3=6x      addera båda leden med 3
3y=6x+33y=6x+33y=6x+3      dividera båda leden med 3
y=2x+1y=2x+1y=2x+1

Nu ser vi att de bägge ekvationerna egentligen beskriva samma linje, vilket innebär att ekvationssystemet kommer att ha oändligt antal lösningar.

När du löser ett ekvationssystem där båda ekvationerna beskriver samma linje kommer du att få omöjlig ekvation att lösa algebraiskt. Detta beror på att alla termer tar ut varandra. Skriv då om dem till formen y=kx+my=kx+my=kx+m och lös det grafiskt.

Rita en linje utifrån räta linjens ekvation y = kx+m

Nedan visas en metod för att rita ut en linje på egen hand.

Rita ut linjen  y=2x2y=2x-2y=2x2

  1. Lutningen  k=2k=2k=2 och m-värdet är m=2m=-2m=2.
  2. Vi börjar med att använda oss av att m=2m=-2m=2. Detta betyder att linjen skär  yyy -axeln där y=2y=-2y=2. Då får vi den röda punkten (0,2)\left(0,-2\right)(0,2) nedan.
  3. Då lutningen är 222 gäller att för varje steg vi tar i x-led kommer vi två steg uppåt i y-led. Så tar vi ett steg från den röda punkten hamnar vi två steg uppåt i den gröna punkten (1,0)\left(1,0\right)(1,0) i bilden nedan.
  4. Nu kan vi rita ut linjen genom att dra ett streck som går genom de bägge punkterna.

Använda grafräknare för att lösa ekvationssystemet

Nedan visar vi hur du kan använda en grafritande räknare för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Vi använder i detta fall en Texas TI-83. Instruktionen att göra detta på är följande:

  1. Tryck på Y=
  2. Skriv i de bägge linjerna på formen kx+m (Y=står redan)
  3. Tryck på GRAPH för att rita ut linjerna
  4. Du kan direkt läsa av en lösning om du har ställt in inställningarna i WINDOW korrekt.
  5. Om du vill läsa av skärningspunkten mer exakt kan du trycka på 2nd > CALC och välja intersect