Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Linjära funktioner
Linjära ekvationssystem med tre obekanta
Innehåll
I den här lektionen lär du dig att lösa linjära ekvationssystem med tre okända (obekanta) variabler.
När du har tre obekanta variabler i ett ekvationssystem så krävs det några fler steg för att lösa detta. Du har i ett sådant ekvationssystem tre okända variabler, t ex $x$x, $y$y och $z$z. När du anger lösningen så anger du alla dessa variablers värden.
Du kommer på vägen att använda dig av substitutionsmetoden och/eller additionsmetoden så det är bra om du har övat på dessa metoder innan.
Möjlig metod för att lösa ekvationssystem med 3 okända
Nedan anges en möjlig metod för att lösa dessa ekvationssystem. Det kan vara bra att utgå från listan när du gör dina första lösningar. Du kommer dock märka att det kan finnas flera olika vägar att gå.
- Välj en lämplig ekvation och lös ut en variabel.
- Substituera in i de andra två ekvationerna.
- Nu har du fått ett nytt ekvationssystem med två ekvationer med två obekanta.
- Detta löser du med en lämplig algebraisk metod, välj substitutionsmetoden eller additionsmetoden.
- Du får nu ut två av variablernas värden och kan använda dessa för att lösa ut den tredje.
Värt att nämna är att det ibland är enklare att börja med additionsmetoden och ibland blir substitutionsmetoden enklare. Träna gärna på att variera dig mellan metoderna så att du blir bättre på att se vilken metod som är enklast att använda för olika ekvationssystem.
Exempel 1
Lös ekvationssystemet
$ \begin{cases} x+2y+2z = 2 \quad (1) \\ x-2y-z = 3 \quad (2) \\ 2x – 2y + 2z = 8 \quad (3) \end{cases} $
Lösning
Vi använder ekvation (3) och löser ut $x$x ur denna ekvation.
$2x-2y+2z=8$2x−2y+2z=8 Dela med 2
$x-y+z=4$x−y+z=4 Addera med y och subtrahera med z
$x=4+y-z$x=4+y−z
Nu sätter vi $x=4+y-z$x=4+y−z i ekvation (1) och ekvation (2)
Ekvation (1)
$x+2y+2z=2$x+2y+2z=2 Substituera
$\left(4+y-z\right)+2y+2z=2$(4+y−z)+2y+2z=2 Förenkla VL
$4+3y+z=2$4+3y+z=2 Subtrahera med 4
$3y+z=-2$3y+z=−2
Ekvation (2)
$x-2y-z=3$x−2y−z=3 Substituera
$\left(4+y-z\right)-2y-z=3$(4+y−z)−2y−z=3 Förenkla VL
$4-y-2z=3$4−y−2z=3 Subtrahera med 4
$-y-2z=-1$−y−2z=−1
Nu har vi två nya ekvationer som kan användas för ett nytt ekvationssystem.
$ \begin{cases} 3y+z=-2 \quad (A) \\ -y-2z=-1 \quad (B) \end{cases} $
Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att göra det så multiplicerar vi först ekvation (A) med $2$2 för att få de motsatta talen/termerna $2z$2z och $-2z$−2z. När vi har multiplicerat (A) med två så får vi ekvationssystemet.
$ \begin{cases} 6y+2z=-4 \\ -y-2z=-3 \end{cases} $
Nu adderar vi ekvationerna
(6y+2z=-4)
+ ( -y-2z=-1)
——————
6y+2z-y-2z=-4-1
Nu elimineras $z$z och vi får
$6y-y=-4-1$6y−y=−4−1 Förenkla
$5y=-5$5y=−5
$y=-1$y=−1
Nu har vi $y=-1$y=−1 och kan sätta in detta i $3y+z=-2$3y+z=−2 (A) för att ta reda på $z$z. Vi får då
$-3+z=-2$−3+z=−2
$z=1$z=1
Slutligen kan vi sätta in $y$y och $z$z i ekvation $x+2y+2z=2$x+2y+2z=2 (1) för att lösa ut $x$x. Då får vi
$x-2+2=2$x−2+2=2
$x=2$x=2
Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 2 \\ y=-1 \\ z= 1 \end{cases}$
Exempel i videon
- Lös ekvationssystemet $ \begin{cases} x + 2y – z = 1 \quad (1) \\ x – y + z = 0 \quad (2) \\ x + y + z = 2 \quad (3) \end{cases} $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
c-uppgifter (5)
-
1. Premium
Lös ekvationssystemet.
$\begin{cases} 2x+3y=7+z\\2y-16=-2x-2z \\z=y+x \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
För tre tal gäller följande tre påståenden.
Medelvärdet av det största och det minsta talet är $7$7
Differensen mellan största och minsta talet är $10$10
Summan av de tre talen är $22$22Vilka är de tre talen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Lös ekvationssystemet $ \begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x – y – z = 8 \\ x – 2y + 2z = 2 \end{cases} $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 2x + y – z = 6 \\ x – y + z = -3 \\ x – 3y + z = -9 \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
5. Premium
Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x + y – z = -3 \\ 2x – 4y + z = 18 \\ 3x + 2y – 3z = -7 \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Jesper Kallin
1) −6–6y+3z=18
2) −9–y=−7
sen får de ut att y=-2, jag förstår inte hur de har burit sig åt, kan någon förklara.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Jesper,
Vi fortsätter från
$−9–y=−7$ addera y i båda leden
$−9=y−7$ addera $7$ i båda leden
$-2=y$ byt plats på leden
$y=-2$
Gick det att hänga med på?
Berkan991
oj:) jag mena övning 2
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej det kan inte finnas flera lösningar på ekvationssystemet. Antingen har du fel eller så har vi fel 😉
Stämmer ditt resultat i de övriga två ekvationerna?
Berkan991
Hej!
På b) där så fick jag x=-1 y=3 z=1
och när jag sätter in dessa i x-y+z=-3 så får jag resultatet -3. Blir detta samma sak som eran?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
När du skriver b) vilken uppgift menar du då? Vi har ju inga a) och b) uppgifter i den här lektionen.
Pedro Veenekamp
Fantastisk övning den där!!!
Det skulle kanske vara bra med en sådan övning till.
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra, då får vi lägga in fler!
larcenterkomvux
Hej, tack för fantastiska videos!
Jag hänger inte riktigt med i slutsteget. Vi har
8−3y+z=0
12−3y−3z=0
Varför multiplicerar vi med -1 för att kunna lösa ekvationen? Är det bara på det viset den kan lösas?
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det är för att få
$ (-1) \cdot (8−3y+z) = -8+3y-z $ så att y-termerna eliminerar varandra vid addition av ekvationerna. Då får vi endast en okänd.
Det kan göras på andra sätt också så länge du ordnar så att en variabel elimineras. Detta är inte enda sättet men det som kanske ser enklast ut utifrån hur systemet började att lösas.
Endast Premium-användare kan kommentera.