Nationellt prov Matematik 2b vt 2015 DEL D

En linje går genom punkterna $(0,\text{ }0)$(0, 0) och  $(3;\text{ }6,45)$(3; 6,45). En annan linje har ekvationen $y=2,15x+3$y=2,15x+3. Visa att linjerna är parallella.

För funktionen f gäller att $f\left(x\right)=x^2-4x+C$ƒ (x)=x²−4x+C  där $C$C är en konstant. Punkten $\left(5,\text{ }7\right)$(5, 7) ligger på funktionens graf. Bestäm koordinaterna för en annan punkt som också ligger på grafen

Lådagrammet visar resultatet från ett stickprov. Stickprovet anger antalet timmar en person sov per natt under en period av $15$15 nätter.

Värdena i stickprovet nedan är angivna i storleksordning. Två värden har ersatts med $x$x respektive $y$y.

$x,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }7,\text{ }7,\text{ }y,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }8,\text{ }9,\text{ }9,\text{ }13$x, 5, 6, 6, 7, 7, 7, y, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 13

Vilka värden har $x$x och $y$y ?

Motivera ditt svar.

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År $1900$1900 fanns det ungefär $239\text{ }000$239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2\text{ }300$2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än $200$200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt.

(a-uppgift.) Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av  $1800$1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och Beauforttalet $B$B ges av formeln $v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·B³² 

Stormen Hilde drabbade stora delar av Sverige den 16 november 2013. Högsta vindhastigheten uppmättes då till $29$29m/s. Vid beräkning av $B$B avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet $B$B för vindhastigheten $29$29 m/s.

(b-uppgift.) Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av  $1800$1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet.

I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och Beauforttalet $B$B ges av formeln $v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·B³² 

För extrema vindstyrkor finns det andra skalor. En sådan är TORRO-skalan som används för vindstyrkor upp mot $130$130m/s. Sambandet mellan vindhastighet $v$v m/s och talet $T$T enligt TORRO-skalan ges av formeln $v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot\left(T+4\right)^{\frac{3}{2}}$v=0,8365·√8·(T+4)³²    

där $T$T är avrundat till ett heltal. Ange en formel för $B$B uttryckt i $T$T .

Förenkla så långt som möjligt.

För en funktion $f$ƒ  där $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m gäller att

•  $f\left(x+2\right)-f\left(x\right)=3$ƒ (x+2)−ƒ (x)=3    och     $f\left(4\right)=2m$ƒ (4)=2m

Bestäm funktionen $f$ƒ .

En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

Vid ett experiment släpptes $1478$1478 kulor ner i en Galtonbräda med $16$16 fack. I fack $6$6 hamnade $136$136 kulor, i fack $7$7 hamnade $223$223 kulor och i fack $8$8 hamnade $281$281 kulor. Hur många kulor bör ha hamnat i fack $5$5?

Ett företag tillverkar anslagstavlor av olika storlekar. Varje anslagstavla består av en rektangulär platta omgiven av en ram. Ramen består av fyra delar som sågas till av en $5$5 cm bred trälist. Delarnas ändar är sågade med vinkeln $45$45° och trälistens utseende gör att delarna bara kan monteras på ett sätt. Ramen monteras så att den går $2$2 cm in över plattans framsida. Se figur. Materialkostnaden för en anslagstavla beror på plattans area och trälistens längd. Priset för plattan anges i kr/m $^2$² och för trälisten i kr/m. Materialkostnaden för en anslagstavla med bredden $36$36 cm och längden $46$46 cm är $59$59 kr. För en anslagstavla med bredden $46$46 cm och längden $56$56 cm är materialkostnaden $81$81 kr. Se figur.

Teckna ett generellt uttryck för den totala materialkostnaden för anslagstavlor som har bredden $a$a m och längden $b$b m.