Geometriska bevis

Utgå ifrån figuren och avgör vilket av sambanden som stämmer.

Träna även på att motivera svaret.

Stämmer det att $b=360^{\circ}-2a$b=360^∘−2a?

Träna på att motivera svaret men ange endast svaret Ja eller Nej.

Längden $c$c är en parallelltransversal. Stämmer det att $a=3b$a=3b?

Träna på att motivera svaret.

Triangeln $ABM$ABM är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$M.
Punkten $P$P ligger på linjen $AB$AB, se figur.

Bestäm vinkeln $v$v.

I koordinatsystemet är två exakt lika stora cirklar och en rektangel utritad. Rektangeln tangerar cirklarna.

Kalla cirklarnas gemensamma area för $C$C och rektangelns area för $R$R.

Stämmer det att $\frac{C}{R}=\frac{\pi}{4}$CR =π4  ?

Träna även på att motivera svaret.

Figuren visar fyrhörningen $PMQR$PMQR i en cirkel där $P,\text{ }Q$P, Q och $R$R ligger på cirkelns rand och $M$M är cirkelns medelpunkt. Vinklarna $a,\text{ }b$a, b och $c$c är markerade i figuren.

Visa att sambandet $a+b=c$a+b=c gäller för alla fyrhörningar $PMQR$PMQR där $P,\text{ }Q$P, Q och $R$R ligger på cirkelns rand och $M$M är cirkelns medelpunkt.

Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd:

Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln.

Triangeln $ABC$ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan $AC$AC är en diameter i cirkeln. Punkten $M$M är mittpunkt på sträckan $AC$AC . I figuren är även sträckan $BM$BM inritad.

a) Förklara varför de två vinklarna betecknade med $x$x är lika stora.

b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.

Någon har försökt att bevisa att vinkelsumman i figur B, som är en fyrhörning, är 720°. Följ beviset och avgör i vilket steg det blir fel.

Steg 1: Alla månghörningar kan delas upp i trianglar.

Steg 2:

Steg 3: Vinkelsumman i en triangel är 180° ⇒ Summan av vinklarna i tre trianglar är 3⋅180°=540° ⇒ Vinkelsumman i en femhörning är 540° 

Steg 4: Vinkelsumman i en triangel är 180° ⇒ Summan av vinklarna i fyra trianglar är 4⋅180°=720°  v.s.b

Någon har försökt att bevisa att vinkelsumman i en månghörning är  $(n-2)\cdot180°$(n−2)·180° , där $n$n motsvarar antalet hörn i månghörningen.
Följ beviset och avgör vad du tycker om det.

Vinkelsumman i en sexhörning är $720°⇒720°=4\cdot180°=(6-2)\cdot180°$720°⇒720°=4·180°=(6−2)·180° ⇒

Vinkelsumman i en månghörning är $(n-2)\cdot180°$(n−2)·180° där n motsvarar antalet hörn i månghörningen ⇒

Summan av vinklarna i fyra trianglar är $4\cdot180°=720°$4·180°=720° ⇒

Vinkelsumman i en triangel är $180°$180° ⇒

Man kan dela upp alla månghörningar i ett antal trianglar.  v.s.b.

En cirkel med radien $a$a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

Stämmer det att den mindre cirkelns radie är $a\left(\sqrt{2}-1\right)$a(√2−1) längdenheter?

Träna på att motivera svaret.

Triangeln $ABC$ABC är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$M. Sträckan $AC$AC är lika lång som cirkelns radie. Vinkeln $BAC=40^{\circ}$BAC=40^∘, se figur.

Bestäm vinkeln $v$v. 

En liksidig triangel är ritad i ett koordinatsystem. Den har sina hörn i punkterna $\left(0,\text{ }h\right),\left(-s,\text{ }0\right)$(0, h),(−s, 0)  och  $\left(s,\text{ }0\right)$(s, 0) 

Bestäm den liksidiga triangelns area $A$A uttryckt endast i $s$s.

Arkimedes är en av tidernas största matematiker och levde för två tusen år sedan. I en arabisk samling av Thabit ibn Currah finns det geometriska satser som med stor sannolikhet bevisats av Arkimedes. Figurerna nedan åskådliggör en sådan matematisk sats.

Figur 1 visar ett område som begränsas av fyra halvcirklar. Den grå cirkeln i figur 2 har diametern CD.

Visa att arean av den grå cirkeln i figur 2 är lika stor som arean av området i figur 1.