Vad är skillnaderna mellan definition, sats, bevis och formel?

2018-10-03 Av Simon Rybrand 2 kommentarer

När man pluggar matte så möts man en ganska stor mängd formler, satser, definition och andra begrepp som kan vara svåra att hålla isär. En stor del av att lära sig matematik är också att lära sig ett nytt språk. Det matematiska språket. På det viset liknar matematikstudier till viss del det sätt man lär sig språk på.

Så i det här blogginlägget tänkte jag reda ut några av de begrepp som är väldigt grundläggande för att beskriva matematiska samband. Jag tänkte att vi med ord och exempel skall reda ut vad definitioner, satser, lemma och formler har för skillnader.

Definition

För att förstå begreppen här nedan så är det bra att utgå ifrån vad en definition är. Ordet definition används inom många olika områden och inte bara i matematiken så här är det viktigt att nämna att vi pratar om en matematisk definition.

Man kan säga att en definition är en mycket precis beskrivning av ett begrepp eller någon slags matematisk idé. Exempelvis kan vi definiera ett primtal på följande vis:

Talet är större än 1 och det är endast jämnt delbart med sig självt och 1

En definition är alltså mer en mycket precis beskrivning av något och inte något som sedan behöver bevisas.

Matematisk sats

En matematisk sats eller ett teorem är en matematisk sanning som kan bevisas. Det går alltså inte att säga att en matematisk sanning är en sats innan den är bevisad. Exempel på några satser som du möter på högstadiet eller gymnasiet kan vara pythagoras sats eller randvinkelsatsen.

Bevis

I matematiken är ett bevis ett antal olika logiska steg, slutledningar, som leder fram till att något kan ses som sant. Det finns många olika tekniker för att göra bevis. Några exempel på sådan metoder kan vara direkt bevis, induktionsbevis eller motsägelsebevis.

I ett direkt bevis använder man tidigare kunskaper från definitioner och satser för att göra sitt bevis. Ett enkelt sådant direkt bevis kan vara att visa att summan av två jämna tal alltid är jämn.

Låt talen a och b vara två jämna tal. Eftersom de är jämna så kan de skrivas som $a=2n$a=2n och $b=2m$b=2m, där n och m är heltal.

Summan av dessa två tal blir  $a+b=2n+2m=2\left(n+m\right)$a+b=2n+2m=2(n+m).

Eftersom att n+m är ett heltal så kommer $2\left(n+m\right)$2(n+m) att vara ett jämnt heltal.

Formel

En formel kan vara en matematisk sats men behöver inte vara det. Formeln är en samling av symboler, tal och bokstäver som beskriver något samband. Men det behöver inte vara en matematisk sats för det. Du skulle själv kunna skriva något algebraiskt uttryck som inte uttrycker någon större matematisk sanning och kalla det för en formel.

Fler liknande begrepp

Det finns även en hel del till sådana här begrepp inom matematiken. Dessa används sällan på högstadiet eller gymnasiet så det är lite överkurs för dig som pluggar på de nivåerna. Om du däremot går vidare för att studera matematik på högskola så kommer du säkerligen även att möta dessa begrepp.

Lemma

Ett lemma kan ses som ett lite mindre steg i ett matematiskt bevis. Det kan exempelvis användas som ett steg till att bevisa en matematisk sats.

Axiom

I vardagligt språk brukar axiom vara en slags sanningar som inte kan betvivlas. I matematik och logik ses de som ett slags grundsatser som alla är överens om inom det matematiska området som de beskriver.

Förmodan / Antagande

En förmodan eller ett antagande kan ses som det som kommer innan en sats. Man antar här att något kan vara sant men har ännu inget bevis för det. Om man sedan bevisar antagandet så blir det istället en matematisk sats.