Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Induktionsbevis
Vad är ett induktionsbevis?
Ett induktionsbevis kan liknas vid dominobrickor som faller. Vi vill i denna typ av bevis göra det tydligt att om en bricka faller så kommer även nästa bricka att falla. Sedan ska detta medföra att alla brickor faller. Vanligt är att vi har ett påstående som vi vill visa stämmer.
Till exempel en likhet eller en olikhet som ska gälla. Vi visar då att det stämmer för ett första fall och sedan att om det stämmer för ett generellt fall så ska också nästföljande fall stämma.
Om det stämmer för det första fallet och sedan det generella så har vi visat att påståendet stämmer med hjälp av induktion.
Strategi för ett induktionsbevis
Den strategi som används när ett induktionsbevis genomförs är följande.
- Induktionsbas: Visa att påståendet gäller för $n = a$.
- Antagande: Antag att det gäller för $n = p$.
Induktionssteg: Visa att det då gäller för $n = p + 1$. - Slutsats: Eftersom det gäller för $n = a$ (steg 1) och två på varandra följande fall (steg 2) så stämmer påståendet.
När vi har genomfört och visat de tre stegen i strategin så kan induktionsbeviset sägas vara klart och vi har då visat att ett påstående stämmer.
Exempel 1
Visa att $\sum_{k=1}^n2^{k-1}$∑k=1n2k−1 $=2^n-1$ för alla heltal $n \ge 1$.
Lösning
Vi ska med ett induktionsbevis visa att påståendet gäller. Summan kan skrivas som $1+2+4+...+2^{n-1}$.
Induktionsbas, n = 1
$VL:2^{1-1}=2^0=1$VL:21−1=20=1
$HL:2^1-1=2-1=1$HL:21−1=2−1=1
$VL=HL$VL=HL och det stämmer för basfallet.
Induktionsantagande
Vi antar att det stämmer för $n=p$n=p , det vill säga att $1+2+4+...+2^{p-1}=2^p-1$1+2+4+...+2p−1=2p−1
Påstående
Vi vill nu visa att det stämmer för $n=p+1$n=p+1 , det vill säga att $1+2+4+...+2^{p-1}+2^p=2^{p+1}-1$.
Med hjälp av antagandet kan vi skriva om $VL$VL enligt
$VL=1+2+4+...+2^{p-1}+2^p=2^p-1+2^p=2\cdot2^p-1=2^{p+1}-1=HL$
Alltså gäller att $VL = HL$.
Slutsats
Enligt principen för induktionsbevis ger induktionsbas och induktionssteg att påståendet stämmer.
Exempel i videon
- Visa att $ \sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1) $ för alla heltal $n \ge 1$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vad kallas det första steget i ett induktionsbevis?
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar...2. Premium
Är påståendet sant eller falskt?
Ett induktionsbevis är detsamma som ett indirekt bevis.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 Talteori TalteoroiRättar...3. Premium
Stämmer det att $ \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^n-1 $ för alla heltal $n ≥ 1$?
Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Nedan ser vi ett påbörjat induktionsbevis för att
$1+2+3+4+...+n = \frac {n(n+1)}{2}$ för alla heltal $n$.
När inträffar det första felet?
Ange en bokstav a-g.
a) Induktionsbas, n = 1: $VL: 1 $ $HL: \frac {1(1+1)}{2}=\frac {2}{2}=1$
b) $VL = HL$ och det stämmer för basfallet.
c) Induktionsantagande: Vi antar att det stämmer för $n = p$, det vill säga att $ 1+2+3+...+p = \frac {p(p+1)}{2}$
d) Påstående: Vi vill nu visa att det stämmer för $n = p + 1$,
e) det vill säga att $ 1+2+3+...+p+p+1 = \frac {(p+1)(p+1)}{2}$.
f) Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt: $ 1+2+3+...+p+p+1 = $
g) $=\frac {p(p+1)}{2}+p+1 = \frac {p(p+1)+(p+1)}{2} = $
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Stämmer det att ett tal som kan skrivas på formen: $11^n-6$, där $n$ är ett positivt heltal, alltid är delbart med $5$?
Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar... -
6. Premium
Stämmer det att ett heltal som kan skrivas på formen $7^n -2$ (där $n$ är ett positivt heltal) alltid är delbart med $5$?
Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar... -
7. Premium
Stämmer det att för ett heltal $n$ så gäller följande formel
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$?
Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Stämmer det att alla positiva heltalspotenser av $6$ har slutsiffran $6$?
Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Induktionsbevis Matematik 5 TalteoriRättar...
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Alexander Mårlöv
Fattar inte hur man bryter ut och gör täljaren korrekt i uppgift 7 där det står såhär.
Ett smart knep är att få täljaren som vi har i antagandet att dyka upp i påståendet. På så sätt kommer vi enklare kunna använda antagandet för att bevisa påståendet. Vi kan t ex skriva HL i påståendet som:
6
2p
3
+9p
2
+13p+6
=
6
6p
2
+12p+6+p(p+1)(2p+1)
Skriver vi nu ut vårt påstående igen så har vi: 1
2
+2
2
+⋯p
2
+(p+1)
2
=
6
6p
2
+12p+6+p(p+1)(2p+1)
.
Max Shade
rad 1
2+4+...+2p=p(p+1)
rad 2
2+4+...+2p+2(p+1)=(p+1)((p+1)+1)
förklara vad rad 2 kommer ifrån
och svara inte att de kommer från
n=p+1
det är ingen bra förklaring
Lukas Mattsson
På fråga 6. hur blir 7^(p+1)−2=7⋅5⋅m+12=5(11⋅m+2)−2.
borde det inte bli 5(7m+2)+2 ?
mikaelhagfeldt@gmail.com
Äsh då, blev fel:
Hänger inte med i lösningen efter
”Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt:” …
Uträkningarna stämmer inte för mig, hur kan 2^(p-1)+2^(p) utvecklas till 2*2^(p)-1?
Bäst av hälsningar,
Pedro Veenekamp
Videon fungerar inte ...
Chrome
Version 40.0.2214.115 m
Windows 8
Pedro Veenekamp
Det måste vara något fel på min dator. Har försökt titta på videon på mobilen och det gick.
Tack!! Jag behövde faktiskt den här videon!
Fråga:
Varför byter man 'a' till 'p' i steg 2? Bokstav 'a' brukas använda till en term av talföljden. Jag vet (eller tror) att vilket bokstav man använder spelar egentligen inte en stor roll men varför byter man från 'a' till 'p'? Skulle man inte kunna hoppa över n = p och gå direkt till n = a + 1?
Det kanske är en "dum" fråga men jag fastade just på det och kommer inte vidare. Skulle bli jättetacksam om du kan upplysa mig på nåt sätt!
Tack!!
mikaelhagfeldt@gmail.com
Hänger inte med i lösningen efter
"Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt:" ...
Uträkningarna stämmer inte för mig, hur kan 2^(p-1)+2^(p) utvecklas till 2*2^(p)-1?
Bäst av hälsningar,
mikael
svaret på frågan ovan ges redan i själva frågan. Ett misslyckat försök att bevisa med induktion betyder inte att utsagan är falsk. kvar står endast svarsalternativ ja.
itgmatte
Väldigt bra genomgång, hjälpte en hel del!
Endast Premium-användare kan kommentera.