...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2b
 /   Geometri

Avståndsformeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 800+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
99 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Med hjälp av avståndsformeln beräknar du avståndet mellan två punkter. Du behöver känna till de bägge punkternas koordinater.

Denna formel ingår i det som kallas för koordinatgeometri, vilket är en del av geometrin som behandlar punkter i planet och rummet kombinerat med algebra.

När du beräknar mittpunkten mellan två punkter använder du istället mittpunktsformeln. Den går vi igenom i en kommande lektion.

Avståndsformeln

Avståndsformeln

Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Beräkna avståndet mellan två punkter

Men hjälp av avståndsformeln kan vi bestämma avståndet mellan två punkter.

Exempel 1

Beräkna avståndet mellan de två punkterna  $P$P och  $Q$Q .

Lösning

Vi läser först av de bägge punkternas koordinater

Punkten $P$P har koordinaterna $\left(-1,\text{ }-1\right)$(1, 1).

Punkten  $Q$Q har koordinaterna $\left(3,\text{ }2\right)$(3, 2).

Avståndet ges av avståndsformeln

 $d=\sqrt{\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}$d=(3(1))2+(2(1))2$=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(2+1\right)^2}$=(3+1)2+(2+1)2 

$=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$=42+32=16+9=25=5

Bestäm punktens koordinater med avståndsformeln

Du kan även avgöra vart punkter ska placeras i planet eller rummet för att få ett vissa avstånd till varandra.

Exempel 2

Punkten $P_1=\left(x,\text{ }6\right)$P1=(x, 6)  ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(-3,\text{ }2\right)$P2=(3, 2) .

Bestäm $x$x.

Lösning

Vi kallar avståndet till origo för $d_1$d1 och avståndet till $P_2$P2 för $d_2$d2.

Då gäller att $d_1=d_2$d1=d2.

Med hjälp av avståndsformeln kan vi ställa upp följande ekvation.

 $\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2}$(x0)2+(60)2=(x(3))2+(62)2 

Vi kan börja med att kvadrera bägge leden. Vi förenklar samtidigt vänsterledet.

 $x^2+6^2=\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2$x2+62=(x(3))2+(62)2 

Nu förenklar vi innehållet i högerledets parenteser

 $x^2+6^2=\left(x+3\right)^2+4^2$x2+62=(x+3)2+42 

Nu utvecklar vi högerledets kvadrater

 $x^2+6^2=x^2+6x+9+16$x2+62=x2+6x+9+16 

Subtrahera med $x^2$x2 

 $6^2=6x+9+16$62=6x+9+16

 $36=6x+25$36=6x+25

 $6x=11$6x=11 

 $x=$x=$\frac{11}{6}$116    

Om  $x=$x=$\frac{11}{6}$116  är avståndet mellan origo och punkterna $P_1=\left(x,\text{ }6\right)$P1=(x, 6)och $P_2=\left(-3,\text{ }2\right)$P2=(3, 2) lika långt.

Härledning av avståndsformeln

Avståndsformeln kan ses som en omskrivning av pythagoras sats. Betrakta först följande bild.

Härledning av avståndsformeln med pythagoras sats

Avståndet i  $x$x-led beskriver vi som  $\Delta x=x_2-x_1$Δx=x2x1  och avståndet i  $y$y-led som $\Delta y=y_2-y_1$Δy=y2y1. Detta sätt att beskriva avstånd i fördjupar vi något nedan.

Om vi söker avståndet $d$d så kan vi ställa upp följande samband med hjälp av Pythagoras sats.

 $d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$d2=(x2x1)2+(y2y1)2 

Vi tar roten ur bägge leden

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2

Vilket alltså är avståndet mellan de bägge punkterna.

Avstånd som absolutbelopp

Det är egentligen bättre att beskriva avstånd mellan två punkter i $x$x -led eller $y$y-led med hjälp av absolutbelopp. Absolutbeloppet för ett reellt tal $a$a definieras som $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$|a|=a2. Exempelvis gäller att $\left|-2\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2}=2$|2|=(2)2=2. Därför är absolutbeloppet alltid positivt.

Ett bättre sätt att beskriva kateterna i den rätvinkliga triangeln här ovan skulle därför vara som absolutbeloppen $\left|x_2-x_1\right|$|x2x1| och $\left|y_2-y_1\right|$|y2y1|. Det är bättre för att vi på detta sätt inte får negativa avstånd i $x$x-led eller $y$y-led.

Om vi exempelvis har punkterna $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(-2,\text{ }3\right)$(x2, y2)=(2, 3) och $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(2,\text{ }4\right)$(x1, y1)=(2, 4) så skulle kateternas längder bli $\left|x_2-x_1\right|=\left|-2-2\right|=\left|-4\right|=4$|x2x1|=|22|=|4|=4 och  $\left|y_2-y_1\right|=\left|3-4\right|=\left|-1\right|=1$|y2y1|=|34|=|1|=1. Det vill säga längden på kateten blir då alltid positiv.

Men det går som sagt lika bra att använda Pythagoras sats som absolutbeloppet för att förstå avståndsformeln. Då vi kvadrerar katetrarna så ger det också alltid ett positiv resultat.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Beräkna avståndet mellan de bägge punkterna.

    Avrunda ditt svar till 2 decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Bestäm avståndet mellan hörnen $A$A och $C$C i den utritade triangeln.

    Avrunda ditt svar till två decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Bestäm avståndet mellan punkterna  $\left(-5,\text{ }-8\right)$(5, 8) och $\left(-100,\text{ }-1\right)$(100, 1)

    Avrunda ditt svar till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Är triangeln med hörn i  $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1),  $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och $\left(1,\text{ }5\right)$(1, 5) liksidig eller likbent?

    Svara Likbent eller Liksidig

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Punkten $P_1=\left(x,\text{ }3\right)$P1=(x, 3) ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(7,\text{ }-1\right)$P2=(7, 1) .

    Bestäm $x$x.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Är triangeln med hörn i $\left(5,\text{ }5\right)$(5, 5)$\left(10,\text{ }6\right)$(10, 6) och $\left(9;15\right)$(9;15) rätvinklig?

    Svara Ja eller Nej

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP

    En rätvinklig triangels hörn har koordinaterna $\left(-2,\text{ }0\right),$(2, 0),  $\left(6,\text{ }0\right)$(6, 0) och $\left(0,\text{ }a\right)$(0, a) där $a>0$a>0.

    Bestäm det exakta värdet på $a$a

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/4)
    E C A
    B 1
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP

    På linjen $y=2x-5$y=2x5 ligger en punkt $P$P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten $P$P och origo är $10$10 längdenheter. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
    Svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    På en linje  $y=2x$y=2x finns en punkt  $P$P vars avstånd till origo är $24$24  längdenheter.

    Beräkna punkten  $P:s$P:s  $x$x -koordinat,  $x>0$x>0.

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se