Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2b
/ Geometri
Avståndsformeln
Innehåll
Med hjälp av avståndsformeln beräknar du avståndet mellan två punkter. Du behöver känna till de bägge punkternas koordinater.
Denna formel ingår i det som kallas för koordinatgeometri, vilket är en del av geometrin som behandlar punkter i planet och rummet kombinerat med algebra.
När du beräknar mittpunkten mellan två punkter använder du istället mittpunktsformeln. Den går vi igenom i en kommande lektion.
Avståndsformeln
Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Beräkna avståndet mellan två punkter Premium
Men hjälp av avståndsformeln kan vi bestämma avståndet mellan två punkter.
Exempel 1
Beräkna avståndet mellan de två punkterna $P$P och $Q$Q .
Lösning
Vi läser först av de bägge punkternas koordinater
Punkten $P$P har koordinaterna $\left(-1,\text{ }-1\right)$(−1, −1).
Punkten $Q$Q har koordinaterna $\left(3,\text{ }2\right)$(3, 2).
Avståndet ges av avståndsformeln
$d=\sqrt{\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}$d=√(3−(−1))2+(2−(−1))2$=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(2+1\right)^2}$=√(3+1)2+(2+1)2
$=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$=√42+32=√16+9=√25=5
Bestäm punktens koordinater med avståndsformeln Premium
Du kan även avgöra vart punkter ska placeras i planet eller rummet för att få ett vissa avstånd till varandra.
Exempel 2
Punkten $P_1=\left(x,\text{ }6\right)$P1=(x, 6) ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(-3,\text{ }2\right)$P2=(−3, 2) .
Bestäm $x$x.
Lösning
Vi kallar avståndet till origo för $d_1$d1 och avståndet till $P_2$P2 för $d_2$d2.
Då gäller att $d_1=d_2$d1=d2.
Med hjälp av avståndsformeln kan vi ställa upp följande ekvation.
$\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2}$√(x−0)2+(6−0)2=√(x−(−3))2+(6−2)2
Vi kan börja med att kvadrera bägge leden. Vi förenklar samtidigt vänsterledet.
$x^2+6^2=\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2$x2+62=(x−(−3))2+(6−2)2
Nu förenklar vi innehållet i högerledets parenteser
$x^2+6^2=\left(x+3\right)^2+4^2$x2+62=(x+3)2+42
Nu utvecklar vi högerledets kvadrater
$x^2+6^2=x^2+6x+9+16$x2+62=x2+6x+9+16
Subtrahera med $x^2$x2
$6^2=6x+9+16$62=6x+9+16
$36=6x+25$36=6x+25
$6x=11$6x=11
$x=$x=$\frac{11}{6}$116
Om $x=$x=$\frac{11}{6}$116 är avståndet mellan origo och punkterna $P_1=\left(x,\text{ }6\right)$P1=(x, 6)och $P_2=\left(-3,\text{ }2\right)$P2=(−3, 2) lika långt.
Härledning av avståndsformeln Premium
Avståndsformeln kan ses som en omskrivning av pythagoras sats. Betrakta först följande bild.
Avståndet i $x$x-led beskriver vi som $\Delta x=x_2-x_1$Δx=x2−x1 och avståndet i $y$y-led som $\Delta y=y_2-y_1$Δy=y2−y1. Detta sätt att beskriva avstånd i fördjupar vi något nedan.
Om vi söker avståndet $d$d så kan vi ställa upp följande samband med hjälp av Pythagoras sats.
$d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Vi tar roten ur bägge leden
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Vilket alltså är avståndet mellan de bägge punkterna.
Avstånd som absolutbelopp Premium
Det är egentligen bättre att beskriva avstånd mellan två punkter i $x$x -led eller $y$y-led med hjälp av absolutbelopp. Absolutbeloppet för ett reellt tal $a$a definieras som $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$|a|=√a2. Exempelvis gäller att $\left|-2\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2}=2$|−2|=√(−2)2=2. Därför är absolutbeloppet alltid positivt.
Ett bättre sätt att beskriva kateterna i den rätvinkliga triangeln här ovan skulle därför vara som absolutbeloppen $\left|x_2-x_1\right|$|x2−x1| och $\left|y_2-y_1\right|$|y2−y1|. Det är bättre för att vi på detta sätt inte får negativa avstånd i $x$x-led eller $y$y-led.
Om vi exempelvis har punkterna $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(-2,\text{ }3\right)$(x2, y2)=(−2, 3) och $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(2,\text{ }4\right)$(x1, y1)=(2, 4) så skulle kateternas längder bli $\left|x_2-x_1\right|=\left|-2-2\right|=\left|-4\right|=4$|x2−x1|=|−2−2|=|−4|=4 och $\left|y_2-y_1\right|=\left|3-4\right|=\left|-1\right|=1$|y2−y1|=|3−4|=|−1|=1. Det vill säga längden på kateten blir då alltid positiv.
Men det går som sagt lika bra att använda Pythagoras sats som absolutbeloppet för att förstå avståndsformeln. Då vi kvadrerar katetrarna så ger det också alltid ett positiv resultat.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Beräkna avståndet mellan de bägge punkterna.
Avrunda ditt svar till 2 decimaler
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: MittpunktsformelnRättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm avståndet mellan hörnen $A$A och $C$C i den utritade triangeln.
Avrunda ditt svar till två decimaler
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: MittpunktsformelnRättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Bestäm avståndet mellan punkterna $\left(-5,\text{ }-8\right)$(−5, −8) och $\left(-100,\text{ }-1\right)$(−100, −1)
Avrunda ditt svar till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P PL 1 M R K Är triangeln med hörn i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1), $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och $\left(1,\text{ }5\right)$(1, 5) liksidig eller likbent?
Svara Likbent eller Liksidig
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: MittpunktsformelnRättar...c-uppgifter (2)
-
5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 1 PL 1 M R K Punkten $P_1=\left(x,\text{ }3\right)$P1=(x, 3) ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(7,\text{ }-1\right)$P2=(7, −1) .
Bestäm $x$x.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 1 PL 1 M R K Är triangeln med hörn i $\left(5,\text{ }5\right)$(5, 5), $\left(10,\text{ }6\right)$(10, 6) och $\left(9;15\right)$(9;15) rätvinklig?
Svara Ja eller Nej
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (3)
-
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/3)M NPE C A B P PL 2 M R K 1 En rätvinklig triangels hörn har koordinaterna $\left(-2,\text{ }0\right),$(−2, 0), $\left(6,\text{ }0\right)$(6, 0) och $\left(0,\text{ }a\right)$(0, a) där $a>0$a>0.
Bestäm det exakta värdet på $a$a.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/4)M NPE C A B 1 P PL 2 M R K 1 På linjen $y=2x-5$y=2x−5 ligger en punkt $P$P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten $P$P och origo är $10$10 längdenheter. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
Svara exakt.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer: MittpunktsformelnRättar...9. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/3)M NPE C A B P 1 PL 1 M 1 R K På en linje $y=2x$y=2x finns en punkt $P$P vars avstånd till origo är $24$24 längdenheter.
Beräkna punkten $P:s$P:s $x$x -koordinat, $x>0$x>0.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.