...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Geometri

Avståndsformeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Med hjälp av avståndsformeln kan du beräkna avståndet mellan två punkter. Du behöver känna till de bägge punkternas koordinater.

Denna formel ingår i det som kallas för koordinatgeometri vilket är en del av geometrin som behandlar koordinatsystem och deras punkter.

Om du vill beräkna mittpunkten mellan två punkter så används istället mittpunktsformeln.

Avståndsformeln

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Avståndsformeln

Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Exempeluppgifter på att beräkna avstånd mellan punkter

Exempel 1

Exempel avståndsformeln

Beräkna avståndet mellan de två punkterna.

Lösning

Vi läser först av de bägge punkternas koordinater

Den nedre punkten har koordinaterna $\left(-1,\text{ }-1\right)$(1, 1).

Den övre punkten har koordinaterna $\left(3,\text{ }2\right)$(3, 2).

Avståndet ges av avståndsformeln

 $d=\sqrt{\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}$d=(3(1))2+(2(1))2$=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(2+1\right)^2}$=(3+1)2+(2+1)2 

$=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$=42+32=16+9=25=5

Exempel 2

Punkten $P_1=\left(x,\text{ }6\right)$P1=(x, 6)  ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(-3,\text{ }2\right)$P2=(3, 2) .

Bestäm $x$x.

Lösning

Vi kallar avståndet till origo för $d_1$d1 och avståndet till $P_2$P2 för $d_2$d2.

Då gäller att $d_1=d_2$d1=d2.

Med hjälp av avståndsformeln kan vi ställa upp följande ekvation.

 $\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2}$(x0)2+(60)2=(x(3))2+(62)2 

Vi kan börja med att kvadrera bägge leden. Vi förenklar samtidigt vänsterledet.

 $x^2+6^2=\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(6-2\right)^2$x2+62=(x(3))2+(62)2 

Nu förenklar vi innehållet i högerledets parenteser

 $x^2+6^2=\left(x+3\right)^2+4^2$x2+62=(x+3)2+42 

Nu utvecklar vi högerledets kvadrater

 $x^2+6^2=x^2+6x+9+16$x2+62=x2+6x+9+16 

Subtrahera med $x^2$x2 

 $6^2=6x+9+16$62=6x+9+16

 $36=6x+25$36=6x+25

 $6x=11$6x=11 

 $x=\frac{11}{6}$x=116   

Härledning av avståndsformeln

Avståndsformeln kan ses som en omskrivning av pythagoras sats. Betrakta först följande bild.

Härledning av avståndsformeln med pythagoras sats

Avståndet i  $x$x-led beskriver vi som  $\Delta x=x_2-x_1$Δx=x2x1  och avståndet i  $y$y-led som $\Delta y=y_2-y_1$Δy=y2y1. Detta sätt att beskriva avstånd i fördjupar vi något nedan.

Om vi söker avståndet $d$d så kan vi ställa upp följande samband med hjälp av pythagoras sats.

 $d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$d2=(x2x1)2+(y2y1)2 

Vi tar roten ur bägge leden

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2

Vilket alltså är avståndet mellan de bägge punkterna.

Det är egentligen bättre att beskriva avstånd mellan två punkter i x-led eller y-led med hjälp av absolutbelopp. Absolutbeloppet för ett reellt tal $a$a definieras som $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$|a|=a2. Exempelvis gäller att $\left|-2\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2}=2$|2|=(2)2=2. Därför är absolutbeloppet alltid positivt.

Ett bättre sätt att beskriva kateterna i den rätvinkliga triangeln här ovan skulle därför vara  $\left|x_2-x_1\right|$|x2x1| och $\left|y_2-y_1\right|$|y2y1|. Då hamnar vi inte fall där vi skulle få negativa avstånd i $x$x-led eller  $y$y-led. Om vi exempelvis har punkterna $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(-2,\text{ }3\right)$(x2, y2)=(2, 3) och $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(2,\text{ }4\right)$(x1, y1)=(2, 4) så skulle kateternas längder bli$\left|x_2-x_1\right|=\left|-2-2\right|=\left|-4\right|=4$|x2x1|=|22|=|4|=4 och  $\left|y_2-y_1\right|=\left|3-4\right|=\left|-1\right|=1$|y2y1|=|34|=|1|=1. Dvs längden på kateten blir då alltid positiv. Men det går som sagt lika bra att använda Pythagoras sats som absolutbeloppet för att förstå avståndsformeln..

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna avståndet mellan de bägge punkterna.

    Avrunda ditt svar till 2 decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm avståndet mellan hörnen $A$A och $C$C i den utritade triangeln.

    Avrunda ditt svar till två decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm avståndet mellan punkterna  $\left(-5,\text{ }-8\right)$(5, 8) och $\left(-100,\text{ }-1\right)$(100, 1)

    Avrunda ditt svar till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Är triangeln med hörn i  $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1),  $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och $\left(1,\text{ }5\right)$(1, 5) liksidig eller likbent?

    Svara Likbent eller Liksidig

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Punkten $P_1=\left(x,\text{ }3\right)$P1=(x, 3) ligger lika långt från origo som från punkten $P_2=\left(7,\text{ }-1\right)$P2=(7, 1) .

    Bestäm $x$x.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Är triangeln med hörn i $\left(5,\text{ }5\right)$(5, 5)$\left(10,\text{ }6\right)$(10, 6) och $\left(9;15\right)$(9;15) rätvinklig?

    Svara Ja eller Nej

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/4)
    ECA
    B1
    P
    PL2
    M
    R
    K1

    På linjen $y=2x-5$y=2x5 ligger en punkt $P$P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten $P$P och origo är $10$10 längdenheter. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
    Svara exakt.

    (NP Ma2b,c vt12)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se