00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Roten ur - Andragradsekvationer

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan lösas med kvadratrotsmetoden

På allmän form kan alla dessa andragradsekvationers utseende sammanfattas så här.

ax2+c=0ax^2+c=0

där aa och cc är konstanter och  aaa är skilt från noll.

Exempelvis är ekvationen 2x28=02x^2-8=02x28=0  en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.

Längre ner i denna text kan du även se hur man effektivt löser ekvationer som (x2)2=25\left(x-2\right)^2=25(x2)2=25 med kvatratsotsmetoden.

Roten ut ett positivt tal

Tänk på att när du drar roten ur ett tal så får du endast ett tal som resultat. Man definierar det på en snitsigt vis som att

Kvadratroten ur ett tal aaa är det icke-negativa tal bbb vars kvadrat är lika med aaa.

Med symboler skriver vi meningen som a2=ba^2=ba2=b. Känner du dig osäker på vad en kvadratrot är så kan du repetera genom att går till lektionen Kvadratrötter – roten ur. Det är bra att känna sig bekväm mer kvadratroten innan man börjar lösa ekvationer med dem.

Ekvationslösning med kvadratrötter

Vi konstaterade just att  a\sqrt{a}a endast har ett värde. Men vid ekvationslösning kan det däremot finnas två olika lösningar, nämligen även den negativa roten. Detta eftersom att ett negativt tal upphöjt i två blir ett positivt tal.

Att man kallar värdet a\sqrt{a}a för just ”kvadratroten ur aaa” beror på att det  vi kan se det som en lösning till en ekvation. Ekvationens lösning kallas även för en rot. En ekvation av typen  y=x2y=x^2y=x2, en så kallad kvadratisk ekvation och har två lösningar.

Så nära man säger ”kvadratrot” menar man oftast den positiva lösningen. Och för att få med båda lösningarna till ekvationen, säger man ”den positiva och negativa kvadratroten”. Vi tar nu ett exempel på en sådan ekvation.

Detta är extra viktigt att komma ihåg när du använder räknare för att lösa en andragradsekvation med, eftersom den endast kommer visa den positiva lösningen.

Kvadratrotsmetoden

Kvadratrotsmetoden följer tre steg. Få andragradstermen själv i ena ledet. Fixa till så att koefficienten är lika med ett. Dra därefter kvadratroten ur båda leden, för att få dina två lösningar till ekvationen.

Exempel 1

Lös ekvationen x2=81 x^2 = 81

Lösning

Vi förbereder genom att kontrollera att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett. Båda villkoren är redan uppfyllda i vår ekvation. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.

x2=81 x^2 = 81         Dra roten ur båda leden

x=±81x= \pm\sqrt{81}

x=±9 x = \pm 9

Vi kan också skriva svaret som

{x1=9x2=9 \begin{cases} x_1=9 \\ x_2=-9  \end{cases}

Vi understryker igen att  81=9\sqrt{81}=981=9 medan ekvationens lösning motsvarar både den positiva kvadratroten 999 och den negativa kvadratroten 9-99

Nu ett exempel som kräver lite mer jobb för att hitta sin lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen 100x2=10000 100x^2 = 10\,000

Lösning

Vid kontroll av att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett, upptäcker vi att koefficienten är lika med hundra. Detta måste vi börja med att fixa till.

100x2=10000 100x^2 = 10\,000       Dividera båda leden med 100100

x2=100 x^2 = 100                 Dra roten ur båda leden

x=±10x = \pm 10

Vi kan också ange rötterna som

{x1=10x2=10 \begin{cases} x_1=10 \\ x_2=-10  \end{cases}

Kvadratrotsmetoden som en del av lösningen

Vid lösningen av vissa ekvationer krävs att man kombinerar olika metoder. Här kommer ett sådant exempel.

Exempel 3

Lös ekvationen (x10)2=49 (x-10)^2 = 49

Lösning

Andragradstermen står själv i ena ledet och koefficienten är lika med ett. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.

(x10)2=49 (x-10)^2 = 49         Dra roten ur båda leden

(x10)=±7 (x-10) = \pm 7

Då basen består av termer får vi två olika fall.

Fall 1

Antingen är  x10=7 x-10 = 7   vilket ger att
x=7+10=17x = 7+10=17

Fall 2

Eller är x10=7 x-10 = -7 vilket ger att
x=7+10=3x = -7+10=3

Vi ange rötterna med en klammer.

{x1=3x2=17 \begin{cases} x_1=3 \\ x_2=17  \end{cases}

I kommande lektioner tar vi oss en titt på hur vi löser ekvationer som innebär att vi måste dra roten ur ett negativ tal. Det ingår i Ma2c. Men mer om det då.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen x2=16x^2=16
  • Beräkna 16\sqrt{16}
  • Lös ekvationen 10x2=100 10x^2=100
  • Lös ekvationen 2x28=02x^2-8=0
  • Lös ekvationen (x+4)2=100(x+4)^2=100