KURSER /
Matematik 2
A/ Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Roten ur - Andragradsekvationer
Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan lösas med kvadratrotsmetoden.
På allmän form kan alla dessa andragradsekvationers utseende sammanfattas så här.
ax2+c=0
där a och c är konstanter och aa är skilt från noll.
Exempelvis är ekvationen 2x2−8=02x2−8=0 en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.
Längre ner i denna text kan du även se hur man effektivt löser ekvationer som (x−2)2=25(x−2)2=25 med kvatratsotsmetoden.
Roten ut ett positivt tal
Tänk på att när du drar roten ur ett tal så får du endast ett tal som resultat. Man definierar det på en snitsigt vis som att
Kvadratroten ur ett tal aa är det icke-negativa tal bb vars kvadrat är lika med aa.
Med symboler skriver vi meningen som a2=ba2=b. Känner du dig osäker på vad en kvadratrot är så kan du repetera genom att går till lektionen Kvadratrötter – roten ur. Det är bra att känna sig bekväm mer kvadratroten innan man börjar lösa ekvationer med dem.
Ekvationslösning med kvadratrötter
Vi konstaterade just att a√a endast har ett värde. Men vid ekvationslösning kan det däremot finnas två olika lösningar, nämligen även den negativa roten. Detta eftersom att ett negativt tal upphöjt i två blir ett positivt tal.
Att man kallar värdet a√a för just ”kvadratroten ur aa” beror på att det vi kan se det som en lösning till en ekvation. Ekvationens lösning kallas även för en rot. En ekvation av typen y=x2y=x2, en så kallad kvadratisk ekvation och har två lösningar.
Så nära man säger ”kvadratrot” menar man oftast den positiva lösningen. Och för att få med båda lösningarna till ekvationen, säger man ”den positiva och negativa kvadratroten”. Vi tar nu ett exempel på en sådan ekvation.
Detta är extra viktigt att komma ihåg när du använder räknare för att lösa en andragradsekvation med, eftersom den endast kommer visa den positiva lösningen.
Kvadratrotsmetoden
Kvadratrotsmetoden följer tre steg. Få andragradstermen själv i ena ledet. Fixa till så att koefficienten är lika med ett. Dra därefter kvadratroten ur båda leden, för att få dina två lösningar till ekvationen.
Exempel 1
Lös ekvationen x2=81
Lösning
Vi förbereder genom att kontrollera att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett. Båda villkoren är redan uppfyllda i vår ekvation. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.
x2=81 Dra roten ur båda leden
x=±81
x=±9
Vi kan också skriva svaret som
{x1=9x2=−9
Vi understryker igen att 81=9√81=9 medan ekvationens lösning motsvarar både den positiva kvadratroten 99 och den negativa kvadratroten −9−9.
Nu ett exempel som kräver lite mer jobb för att hitta sin lösning.
Exempel 2
Lös ekvationen 100x2=10000
Lösning
Vid kontroll av att andragradstermen står själv i ena ledet och att koefficienten är lika med ett, upptäcker vi att koefficienten är lika med hundra. Detta måste vi börja med att fixa till.
100x2=10000 Dividera båda leden med 100
x2=100 Dra roten ur båda leden
x=±10
Vi kan också ange rötterna som
{x1=10x2=−10
Kvadratrotsmetoden som en del av lösningen
Vid lösningen av vissa ekvationer krävs att man kombinerar olika metoder. Här kommer ett sådant exempel.
Exempel 3
Lös ekvationen (x−10)2=49
Lösning
Andragradstermen står själv i ena ledet och koefficienten är lika med ett. Därmed kan vi dra roten meddetsamma.
(x−10)2=49 Dra roten ur båda leden
(x−10)=±7
Då basen består av termer får vi två olika fall.
Fall 1
Antingen är x−10=7 vilket ger att
x=7+10=17
Fall 2
Eller är x−10=−7 vilket ger att
x=−7+10=3
Vi ange rötterna med en klammer.
{x1=3x2=17
I kommande lektioner tar vi oss en titt på hur vi löser ekvationer som innebär att vi måste dra roten ur ett negativ tal. Det ingår i Ma2c. Men mer om det då.
Exempel i videon
- Lös ekvationen x2=16
- Beräkna 16
- Lös ekvationen 10x2=100
- Lös ekvationen 2x2−8=0
- Lös ekvationen (x+4)2=100
Kommentarer
e-uppgifter (9)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna talet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2=9x2=9
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2=25x2=25
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2=169x2=169
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2−81=0x2−81=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x1=9 och x2=−9(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2−4=12x2−4=12
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen 36x2=32436x2=324
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen 5x2−44=100+x25x2−44=100+x2.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen 2x(3+x)=2(5x+10)−4(x−3)2x(3+x)=2(5x+10)−4(x−3)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (4)
10. Premium
(0/1/0)ME C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen (x−2)2=25(x−2)2=25
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x1=7 och x2=−3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen 10(x−9)2=9010(x−9)2=90
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Bestäm ett positivt aa så att (ax)2=16(ax)2=16 har en lösning x=2x=2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen ax2+b=0ax2+b=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
leof yohi
fel svaret ar +- 2 efter 4(x – 3) ar 4x – 12 och inte 4x + 12
David Admin (Moderator)
Hej,
det stämmer att 4(x−3)=4x−12. Men då det innan termen står en negation får vi att −4(x−3)=−(4x−12)=−4x+12.
Så uppgiften är korrekt löst i förklaringen.
Marcus
Är det inte okej på fråga 1 att svara med ”3, -3”? Tänkte att eftersom genomgången la lite tryck på det hela så var det relevant.
Lukas Klasson
tycker ni borde ta bort play-symbolen som hamnar mitt i videofönstret på era filmer, störande när man pausar för att läsa exemplet.
David Admin (Moderator)
Hej Lukas.
Tack för din feedback. Detta är något vi kollat på redan och och det är på gång. Vi hade bara någon mer justering vi ville göra innan vi la ut den nya videospelaren. Men jag meddelar utvecklingen att detta bör prioriteras upp. Genast!
Christian Vittaniemi
Det ska stå x² = 100 i Exempel 2.
Efter att man har delat båda leden med 100. Det var nog det Ahmad menade.
10000/100 = 100
Sedan roten ur 100 = ±10
Simon Rybrand (Moderator)
Ja det skall det förstås stå, vi har korrigerat detta!
Raqiya Qasin
ahmed det är 10000/100 ej 1000/100 kolla noggrant en gång till.
ahmad kahwi
Hej , på exempel nr 2 , hur kan 1000/100 ger 100?? Det borde vara 10 sedan dra roten ur 10 istället för roten ur 100 eller ?
Tack på förhand
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till, vi korrigerar detta!
Endast Premium-användare kan kommentera.