Extrempunkter, extremvärden och största och minsta värde

Som vi tidigare nämnt kan derivatan ge förutsättningar att göra beräkningar och analysera matematiska modeller som beskriver hur olika skeenden och saker förändras.

Inte sällan är syftet att kunna maximera eller minimera olika skeenden. Intresset av att kunna förutse en utveckling eller kommande förändring, alternativt studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra intresserar många. Av olika anledningar.

Vid dessa så kallade optimeringsproblem, som är en central del av denna kurs, söker man alltså ofta en extrempunkt eller ett visst extremvärde, eller extremum som det också kallas. Dessa värden återfinns där derivatan är lika med noll eller i intervallets ändpunkter.

I de punkter där en funktion antar ett största eller minsta värde i förhållande till närliggande punkter på grafen, sägs förändringen tillfälligt vara lika med noll.

Eller med andra ord, en punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar, det vill säga där förändringen i punkten är lika med noll, kallas för en stationär punkt.

Stationär punkt är ett samlingsnamn för extrempunkter och terasspunkter. I alla dessa punkter $x=a$ antar derivatan värdet noll. Vi konstaterade ju nyss att förändringen, vilket just motsvarar derivatans värde i punkten, är lika med noll!

Extrempunkter i sin tur är detsamma som vi tidigare benämnt vertex i studier med parabler, alltså minimi- och maximipunkter.

Bra att notera är att punkter inte är detsamma som koordinater. En punkt kan anges i noll, en eller flera dimensioner. Vi utvecklar detta påstående i kommande stycke.

Extrempunkt är ett samlingsnamn för de punkter där funktionen har ett maximum eller minimum. 

När vi tittar på grafen till en funktion kommer maximipunkter återfinnas i de punkter där grafen når en ”högsta topp” och ”vänder” neråt.

I maximipunkter ändras derivatans värde från positiva för intilliggande värden som är mindre än extrempunkten, till negativ värden för derivatan.

Där funktionens graf har minimipunkter når grafen en ”lägsta dal” och ”vänder” uppåt igen.

I minimipunkter ändras derivatans värde från negativa för intilliggande värden som är mindre än extrempunkten, till positiva för $x$x-värden större än minimipunkten.

Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkter.

Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen  $+0+$ alternativ  $-0-$. Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största $y$y-värdet funktionen antal i ett visst intervall.

Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.

Som vi nämnde ovan är en punkt och koordinaterna till en punkt på grafen inte samma sak. Men de förväxlas lätt och det är även vanligt att man i matematikundervisningen både slarvar och förväxlar dessa begrepp.

Begreppet punkt i matematiken introduceras ofta i samband med att man börjar analysera och jobba med grafer till funktioner i ett koordinatsystem.  Därför förväxlas lätt begreppen då man ofta frågar efter koordinaterna till punkten på grafen till funktionen. De som då efterfrågas är just en punkts läge i koordinatsystemet.

Inom geometri definieras punkter som ett objekt utan någon utsträckning. Men punktens läge kan definieras i ett koordinatsystem i koordinatform med en $x$x– och en $y$y-koordinat.

När vi talar om extrempunkter är det därför bara den oberoende variabelns värde vi efterfrågar, som väldigt ofta är $x$x -värdet. Det tillhörande funktionsvärdet, ofta angett som $y$y-värde, motsvarar extremvärdet för extrempunkten och dessa tillsammans representeras av koordinaterna till en punkt på grafen som tillhör funktionen.

Kanske känner du igen tankesättet från arbetet med andragradsfunktioner där funktionens nollställen alltid angavs enbart med $x$x-värden. Vi sa att nollställena grafisk motsvarar punkten där grafen skär $x$x-axeln, vilket då syftade på enbart $x$x-koordinaten.

Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av

• intervallets ändpunkter
• extrempunkterna i intervallet
• punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar

Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna ovan.

Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.

Till sist ett exempel med minsta värde i en punkt som inte är deriverbar.

Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd. Vi samlar dem här mer koncentrerat.

Vi sammanfattar här kort alla begrepp vi talat om ovan och kommer fördjupa vidare i kommande lektioner.

Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.

Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.

Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är  $-0-$−0− eller $+0+$+0+.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde eller Extremum
Samlingsnamn på maximum eller minimum.

Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global

Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden

Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden

De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.