Matematik 3b

Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Derivata och deriveringsregler
Derivatan och grafen
Primitiva funktioner och integraler
Linjär Optimering
Geometriska summor
Sammanfattning Ma3b
- Sammanfattning Matematik 3b
Genomgångar nationella prov
Nationellt prov Ma3b VT 2022
- NP Ma3b vt 2022 Delprov B och C
- NP Ma3b vt 2022 Delprov D
Nationellt prov Ma3b VT 2016
- NP Ma3b vt 2016 Delprov B och C
- NP Ma3b vt 2016 Delprov D
Nationellt prov Ma3b VT 2015
Nationellt prov Ma3b VT 2014
Nationellt prov Ma3b HT 2014
Nationellt prov Ma3b HT 2013
Nationellt prov Ma3b VT 2013
Nationellt prov Ma3b HT 2012

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Derivatan och grafen

Derivata

Extrempunkter, extremvärden och största och minsta värde

Name: Extrempunkter, extremvärde, största och minsta värde - Derivata (Matte 3b, 3c) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.43 (7 reviews)

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Extrempunkter och Extremvärden
Stationära punkter
Extrempunkter
Terrasspunkt
Extremvärden
Punkter och koordinater
Var återfinns det minsta och största värdet i en funktion?
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Exempel i videon
Kommentarer

När vi bestämmer det största och minsta värdet av en funktion är derivatan till stor hjälp.

Det element i definitionsmängden där funktionen i ett intervall antar ett största eller minsta funktionsvärde kallas för en extrempunkt.

Det tillhörande funktionsvärdet till en extrempunkt kallas för ett extremvärde.

Extrempunkter och Extremvärden

Som vi tidigare nämnt kan derivatan ge förutsättningar att göra beräkningar och analysera matematiska modeller som beskriver hur olika skeenden och saker förändras.

Inte sällan är syftet att kunna maximera eller minimera olika skeenden. Intresset av att kunna förutse en utveckling eller kommande förändring, alternativt studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra intresserar många. Av olika anledningar.

Vid dessa så kallade optimeringsproblem, som är en central del av denna kurs, söker man alltså ofta en extrempunkt eller ett visst extremvärde, eller extremum som det också kallas. Dessa värden återfinns där derivatan är lika med noll eller i intervallets ändpunkter.

Stationära punkter

I de punkter där en funktion antar ett största eller minsta värde i förhållande till närliggande punkter på grafen, sägs förändringen tillfälligt vara lika med noll.

Eller med andra ord, en punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar, det vill säga där förändringen i punkten är lika med noll, kallas för en stationär punkt.

Stationär punkt är ett samlingsnamn för extrempunkter och terrasspunkter. I alla dessa punkter $x=a$ antar derivatan värdet noll. Vi konstaterade ju nyss att förändringen, vilket just motsvarar derivatans värde i punkten, är lika med noll!

Extrempunkter i sin tur är detsamma som vi tidigare benämnt vertex i studier med parabler, alltså minimi- och maximipunkter.

Exempel 1

Ange alla punkter för funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x) i intervallet $-2\le x\le2$ −2≤x≤2

a) där derivatan är lika med noll

b) som är stationära punkter

Lösning

a) Derivatan är lika med noll i grafens vändpunkter. Dessa återfinns i $x=-1$ x=−1 och $x=1$ x=1.

b) De stationära punkterna är alla de punkter i intervallet där derivatan är lika med noll. Alltså samma extrempunkter som i a), det vill säga i $x=-1$ x=−1 och $x=1$ x=1.

Bra att notera är att punkter inte är detsamma som koordinater. En punkt kan anges i noll, en eller flera dimensioner. Vi utvecklar detta påstående i kommande stycke.

Extrempunkter

Extrempunkt är ett samlingsnamn för de punkter där funktionen har ett maximum eller minimum.

Maximipunkt

En punkt $a$ i en definitionsmängd kallas för en maximipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\ge f\left(x\right)$ för alla $x$ som tillhör definitionsmängden och intervallet.

När vi tittar på grafen till en funktion kommer maximipunkter återfinnas i de punkter där grafen når en ”högsta topp” och ”vänder” neråt.

I maximipunkter ändras derivatans värde från positiva för intilliggande värden som är mindre än extrempunkten, till negativ värden för derivatan.

Minimipunkt

En punkt $a$ i en definitionsmängd kallas för en minimipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\le f\left(x\right)$ för alla $x$ som tillhör definitionsmängden och intervallet.

Där funktionens graf har minimipunkter når grafen en ”lägsta dal” och ”vänder” uppåt igen.

I minimipunkter ändras derivatans värde från negativa för intilliggande värden som är mindre än extrempunkten, till positiva för $x$ x-värden större än minimipunkten.

Terrasspunkt

Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkter.

Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen $+0+$ alternativ $-0-$ . Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

Extremvärden

När man talar om det minsta och största värdet för en funktion söker man det minsta och största $y$ y-värdet funktionen antal i ett visst intervall.

Ofta vill man begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.

Punkter och koordinater

Som vi nämnde ovan är en punkt och koordinaterna till en punkt på grafen inte samma sak. Men de förväxlas lätt och det är även vanligt att man i matematikundervisningen både slarvar och förväxlar dessa begrepp.

Begreppet punkt i matematiken introduceras ofta i samband med att man börjar analysera och jobba med grafer till funktioner i ett koordinatsystem. Därför förväxlas lätt begreppen då man ofta frågar efter koordinaterna till punkten på grafen till funktionen. De som då efterfrågas är just en punkts läge i koordinatsystemet.

Inom geometri definieras punkter som ett objekt utan någon utsträckning. Men punktens läge kan definieras i ett koordinatsystem i koordinatform med en $x$ x– och en $y$ y-koordinat.

När vi talar om extrempunkter är det därför bara den oberoende variabelns värde vi efterfrågar, som väldigt ofta är $x$ x -värdet. Det tillhörande funktionsvärdet, ofta angett som $y$ y-värde, motsvarar extremvärdet för extrempunkten och dessa tillsammans representeras av koordinaterna till en punkt på grafen som tillhör funktionen.

Exempel 2

Figuren nedan visar grafen till andragradsfunktionen $y=f\left(x\right)$ y=ƒ (x).

a) Ange andragradsfunktionens extrempunkt.

b) Ange andragradsfunktionens extremvärde.

c) Ange koordinaterna för punkten på grafen till andragradsfunktionen som motsvarar det minsta värdet.

Lösning

Vi markera grafens vändpunkt och bestämmer $x$ x– och $y$ y-värdet grafiskt. Vi kan sedan ange svaren på frågorna utifrån det.

a) Extrempunkten motsvarar $x$ x-värdet där funktionens derivata är lika med noll. Det hittar vi grafiskt där grafen vänder.

Det vill säga funktionens extrempunkt är $x=1$ x=1

b) Extremvärdet motsvarar extrempunktens tillhörande $y$ y -värde, vilket är $-2$ −2.

Har du inte grafen med funtkionuttrycken kan du alltid beräkna extremvärdet med hjälp av extrempunkten. Här motsvarar det $f\left(1\right)=-2$ ƒ (1)=−2 .

c) Koordinaterna för punkten på grafen till andragradsfunktionen som motsvarar det minsta värdet är $\left(1,\text{ }-2\right)$ (1, −2)

Kanske känner du igen tankesättet från arbetet med andragradsfunktioner där funktionens nollställen alltid angavs enbart med $x$ x-värden. Vi sa att nollställena grafisk motsvarar punkten där grafen skär $x$ x-axeln, vilket då syftade på enbart $x$ x-koordinaten.

Var återfinns det minsta och största värdet i en funktion?

Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av

intervallets ändpunkter
extrempunkterna i intervallet
punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar

Vi visar med ett exempel hur man anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna ovan.

Exempel 3

Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$ y=ƒ (x) i intervallet $-1\le$ −1≤ $x<5$ x<5

a) Ange största värdet för $f\left(x\right)$ ƒ (x) i intervallet.

b) Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ ƒ (x) i intervallet.

Lösning

a) Det största värden är de samma som det största $y$ y -värde/ $f\left(x\right)$ ƒ (x) antar i intervallet.

I detta intervall så har vi det största värdet där i den lokala extrempunkten $x=3$ x=3 och värdet är där $y=5$ y=5.

b) Eftersom $x=5$ x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar mista värde i området vid $x=5$ x=5 säger man att ett minsta värde saknas.

Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.

Exempel 4

Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$ y=ƒ (x) i intervallet $a\le$ a≤ $x<$ x< $g$ g .

a) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en lokalt extrempunkt.
b) Ange extrempunkternas karaktär.
c) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en global extrempunkt.
d) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en terrasspunkt.
e) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har ett lokalt extremvärde.
f) Ange i vilken punkt funktionen har sina globala extremvärden.

Lösning

a) En stationär punkt, alltså en punkt där derivatan är lika med noll, och funktionen inte antar några större värden i området kring punkten kallas för en extrempunkt. Vi på minner om att extrempunkter till funktionen är definierade $x$ x -värden. I denna uppgift är det punkterna $x=b$ x=b, $x=d$ x=d, $x=e$ x=e och $x=f$ x=ƒ som är extrempunkter. De motsvarar punkterna B, D, E och F på grafen.

b) Att ange extrempunkternas karaktär innebär att bestämma om de är en maximi- eller minimipunkt.

Punkt $x=d$ x=d och $x=f$ x=ƒ är lokala minimipunkter medan punkt $x=b$ x=b och $x=e$ x=e är lokala maximipunkter.

c) En global extrempunkt är de maximi eller minimipunkter som har störst/minst värde av alla extrempunkter i intervallet. I vår uppgift är det $x=b$ x=b som är den globala maximipunkten och $x=d$ x=d som är den globala minimipunkten.

d) I en terrasspunkt är derivatans teckenväxling i området nära punkten $-0-$ −0− eller $+0+$ +0+. Vi har en sådan punkt i $x=c$ x=c , där teckenväxlingen ger att derivatan är negativ innan terrasspunkten, för att bli lika med noll i terrasspunkten och sedan negativ igen.

e) Ett lokalt extremvärde är det funktionsvärde där funktionen inte antar några mindre/större värden i närheten. Grafiskt motsvarar funktionsvärden $y$ y -värden för punkter på grafen. Och i vår uppgift finns lokala extremvärden i punkterna A, B, D, E och F på grafen. Det ser ut att även finnas ett extremvärde i G, men då $x=g$ x=g inte ingår i intervallet för funktionen saknar funktionen ett värde i den punkten.

I punkt A är extremvärdet $f\left(a\right)$ ƒ (a). I punkt B är extremvärdet $f\left(b\right)$ ƒ (b) och så vidare. Vi alltså lokala extremvärden för alla markerade punkter på grafen utom för C och G.

f) Det globala extremvärdet kallas även för största och minsta värdet.

Vi ser att vi har minsta värde $f\left(d\right)$ ƒ (d) i punkten D på grafen. Största värdet $f\left(g\right)$ ƒ (g) skulle finnas i punkten G på grafen, men då $x=g$ x=g inte ingår i intervallet $a\le$ a≤ $x<$ x< $g$ g anger vi att ett största värde för funktionen saknas.

Till sist ett exempel med minsta värde i en punkt som inte är deriverbar.

Exempel 5

Figuren nedan visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ ƒ (x)=|x| i intervallet $-3\le x$ −3≤x $\le3$ ≤3 .

Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Lösning

Det minsta värden är de samma som det minsta $y$ y -värde/ $f\left(x\right)$ ƒ (x) antar i intervallet.

Funktionen är inte deriverbar i $x=0$ x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.

Alla dessa olika beteckningar kan vara något för virrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd. Vi samlar dem här mer koncentrerat.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Vi sammanfattar här kort alla begrepp vi talat om ovan och kommer fördjupa vidare i kommande lektioner.

Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.

Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.

Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är $-0-$ −0− eller $+0+$ +0+.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde eller Extremum
Samlingsnamn på maximum eller minimum.

Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global

Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden

Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden

De viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$ x=a i definitionsmängden.

Exempel i videon

Nästa lektion: Växande och avtagande funktioner

Kommentarer

Aksel Nordin

2023-10-07

Jag är förvirrad nu. En minimipunkt är enligt beskrivningen en stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten. En stationär punkt är en punkt där derivatan = 0. I facit för fråga 9 utgör punkten A en lokal minimipunkt, men derivatan för punkt A är inte lika med noll. Jag förstår att punkt A har ett lokalt minimivärde, men jag förstår inte varför den utgör en minimipunkt.

Rasmus Karlsson

2023-04-10

Om det står att man skall ange en punkt så ska det väl inte anges ett värde? Då är det väl kordinaten som gäller?

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2023-04-21

Hej Rasmus,

läs avsnittet om Punkter och Koordinater i teoritexten här ovan. Där skriver vi om det vanliga missförståndet.

Punkter på en graf anges som en Koordinat då den motsvarar en position i planet, alltså i två dimesioner.

Når vi studerar extrempunkter är det bara i en dimension, och anger därmed bara som $x=a$ , det vill säga inte i koordinatform.

Extrempunkter motsvarar med andra ord enbart det x-värde som ger funktionen ett största eller minsta värde i ett intervall.

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/25
C
0/4
A
0/1

Totalpoäng

0/30

e-uppgifter (17)

1.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Ange det största värdet för funktionen vars graf visas nedan.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $4$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $4$ )

Rättad
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Ange det minsta värdet för funktionen vars graf visas nedan.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $1$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $1$ )

Rättad
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Ange koordinaterna för den punkt där funktionen vars graf visas nedan har ett globalt maximivärde.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\left(2,\ 4\right)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $\left(2,\ 4\right)$ )

Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Ange den extrempunkt som ger det globala minimivärdet för funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=-1$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $x=-1$ )

Rättad
Rättar...
5. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K
M

Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Ange lösningen till ekvationen $f'(x)=0$ ƒ ’(x)=0

Träna även på att skriva en motivering kring hur du tänkte för att komma fram till ditt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\begin{cases} x_1=3\\ x_2=-1 \end{cases}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $\begin{cases} x_1=3\\ x_2=-1 \end{cases}$ )
+1 e_R Godtagbart resnonemang som omfattar att derivatan är lika med noll i grafens vändpunkter. Tangnetens lutning i en punkt motsvarar derivatans värde i den punkten, dvs tangentens lutning är noll i punkter där $f'\left(x\right)=0$ .

Rättad
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $y$ y i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $f$ ƒ .

Ange bokstaven för den punkt där funktionen antar sin globala minimipunkt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: I punkten C
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( C )

Rättad
Rättar...
7. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $y$ y i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $f$ ƒ .

Ange bokstaven för den punkt där funktionen antar sitt globala maximum.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: I punkten F
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( F )

Rättad
Rättar...
8. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $y$ y i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $f$ ƒ .

Ange bokstäverna för de punkter där funktionen antar lokala extremvärden.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: I alla punkterna A, B, C, D, E och F
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( I alla punkterna A, B, C, D, E och F)

Rättad
Rättar...
9. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $y$ y i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $f$ ƒ .

Ange bokstäverna för de punkter som är lokala minimivärden.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Punkterna A, C, och E
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( Punkterna A, C, och E)

Rättad
Rättar...
10. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Figuren visar grafen till funktionen $y$ y i intervallet $a\le$ a≤ $x\le$ x≤ $f$ ƒ .

Ange bokstäverna för funktionens stationära punkter i intervallet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: I punkterna B, C, D och E
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( I alla punkterna B, C, D och E)

Rättad
Rättar...
11. Premium
(2/0/0)
E C A

B 2

P

PL

M

R

K

Funktionen $f(x)=12x-x^3$ ƒ (x)=12x−x³ har lokala extrempunkter i $x=2$ x=2 och $x=-2$ x=−2.

Ange funktionens största värde i intervallet $-3\le x\le4$ −3≤x≤4
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $16$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtabgar ansats tex visar förståelse för vilka $x$ -värden som ska undersökas.
+1 e_B Redovisad lösning med korrekt svar. ( $16$ )

Rättad
Rättar...
12. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K

Ange minsta värdet till funktionen $f(x)=-3x^2-6x$ ƒ (x)=−3x²−6x i intervallet $-5\le x\le0$ −5≤x≤0.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $-45$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtagbar ansats tex bestämmer funktionsvärdet i intervallgränserna eller extrempunkterna.
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $-45$ )

Rättad
Rättar...
13. Premium
(2/0/0)
E C A

B 2

P

PL

M

R

K
NP

För funktionen $f$ ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ ƒ (x)=x³−3x²+2 och att $f$ ƒ är definierad i intervallet $0\le$ 0≤ $x\le$ x≤ $4$ 4.

Bestäm funktionens minsta och största värde.

Svara på formen Minst $a$ a, Störst $b$ b.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Minsta värdet är $-2$ och största värdet $18$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtagbar ansats, visar insikt om vilka $x$ -värden som ska undersökas: $x=0$ , $x=2$ och $x=4$ (vid algebraisk lösning) eller $x=2$ och $x=4$ (vid grafisk lösning)
+1 e_B med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (Minsta värdet är $-2$ och största värdet är $18$ ) Kommentar: Om svaren anges i koordinatform alternativt både i korrekt form och koordinatform (t.ex. ”Största värdet är $18$ eller $(4,\text{ }18)$ ”) utdelas inte den andra E $_B$ -poängen.

Rättad
Se mer: Största och minsta värde
Rättar...
14. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Grafen nedan tillhör funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Är det sant att $f(6)$ ƒ (6) ger funktionens minsta värde i intervallen $0\le x\le6$ 0≤x≤6?

Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast Ja eller Nej.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Ja, det stämmer.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Anger korrekt svar. ( Ja )
+1 e_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar.

Rättad
Rättar...
15. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Funktionen $f(x)=12x-x^3$ ƒ (x)=12x−x³ har i intervallet $-3\le$ −3≤ $x\le4$ x≤4 lokala extrempunkter i $x=2$ x=2 och $x=-2$ x=−2.

Ange funktionens maximivärde.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f(2)=16$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtabgar ansats tex visar förståelse för vilka $x$ -värden som ska undersökas.
+1 e_R Godtagbart resonemang som utesluter andra möjliga extremvärden och som leder till korrekt svar. ( $16$ )

Rättad
Rättar...
16. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K

Ange det globala maximivärdet för funktionen $f(x)=x-2x^2+2$ ƒ (x)=x−2x²+2 i intervallet där $0\le x\le1$ 0≤x≤1.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\frac{17}{8}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtagbar ansat tex bestämmer ändpunkternas i intervalles funktionsvärden eller extrempunkterna.
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $\frac{17}{8}$ )

Rättad
Rättar...
17. Premium
(2/0/0)
E C A

B 2

P

PL

M

R

K

Ange minimivärdet till funktionen $f(x)=12x-x^3$ ƒ (x)=12x−x³ i intervallet $-3\le$ −3≤ $x\le4$ x≤4.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $f\left(-2\right)=f\left(4\right)=-16$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Godtabgar ansats tex visar förståelse för vilka $x$ -värden som ska undersökas.
+1 e_B Redovisad lösning med korrekt svar. ( $f\left(-2\right)=f\left(4\right)=-16$ )

Rättad
Rättar...

c-uppgifter (3)

18. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K

Vi får följande information kring andragradsfunktionen $f\left(x\right)=-2x^2+4x$ ƒ (x)=−2x²+4x

$f$ ƒ är definierad i intervallet $0\le x\le3$ 0≤x≤3

$x=1$ x=1 är en extrempunkt

Din uppgift är att bestämma funktionens största värde i intervallet.

Välj det alternativ som innehåller alla beräkningar du behöver göra för att vara säker på att du får största värdet. Träna även på att kunna motivera ditt svar.
- $f\left(1\right)$
- $f\left(0\right)$ och $f\left(3\right)$
- $f\left(0\right),\ f\left(1\right)$ och $f\left(3\right)$
- Det räcker inte att enbart göra beräkningarna i något av de tre andra alternativen för att få fram största värdet i intevallet.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_R Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
19. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K

Vi får följande information kring tredjegradsfunktionen $f$ ƒ

$f$ ƒ   är definierad i intervallet $-1\le x\le4$ −1≤x≤4

$x=-2$ x=−2 och   $x=2$ x=2 är en extrempunkter

Din uppgift är att bestämma funktionens globala maximivärde i intervallet.

Välj det alternativ som innehåller alla beräkningar du behöver göra för att vara säker på att du får maximivärdet. Träna även på att kunna motivera ditt svar.
- $f\left(-2\right)$ och $f\left(2\right)$
- $f\left(-1\right)$ och $f\left(4\right)$
- $f\left(-1\right),\ f\left(2\right)$ och $f\left(4\right)$
- $f\left(-1\right),\ \ f\left(4\right),\ \ f\left(-2\right)$ och $f\left(2\right)$
- Det räcker inte att enbart göra beräkningarna i något av de tre andra alternativen för att få fram största värdet i intevallet.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_R Korrekt val.
- Rättad
Rättar...
20. Premium
(0/2/1)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R 1

K
M

Ange största och minsta värde för funktionen $f(x)=(1-x)(x^2+4x+4)$ ƒ (x)=(1−x)(x²+4x+4) i intervallet $-4<$ −4< $x\le1$ x≤1.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Funktionen saknar ett största värde och har minsta värdet $0$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex bestämmer extrempunkterna.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt beräknade funktionsvärden för extrempunkter och ändpunkter.
+1 a_R Korrekt svar. (Funktionen saknar ett största värde och har minsta värdet $0$ . )

Rättad
Rättar...

Nästa lektion: Växande och avtagande funktioner

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 3b

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3b

/ Derivatan och grafen

Extrempunkter, extremvärden och största och minsta värde

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Exempel 1

Lösning

Maximipunkt

Minimipunkt

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Exempel 4

Lösning

Exempel 5

Lösning

Aksel Nordin

Rasmus Karlsson

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

19. Premium

20. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...