Derivata - Vad är det?

Derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. En funktions derivata beskriver hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt.

Om exempelvis hastigheten för en bil beskrivs av funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) så motsvarar derivatan hur snabbt hastigheten förändras. Man kallar det  förändringshastigheten. Det vill säga, derivatan beskriver bilens accelerationen $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) vid en viss tidpunkt.

Genom att teckna matematiska modeller som beskriver verkliga skeende i världen kan man beräkna och analysera den. Vår samtid är nästan som besatt av att kunna mäta och analysera hur saker förändras. Ofta är syftet att genom vissa justeringar kunna maximera eller minimera olika skeenden. Intresset att försöka kunna förutse en utveckling eller kommande förändring alternativt studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra intresserar många. Av olika anledningar.

Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar. Derivatan är alltså en funktion, som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Eller med andra ord, en funktions derivata beskriver hur mycket funktionens värde förändras i en specifik punkt på grafen som tillhör funktionen.

Ett vanligt exempel för att beskriva derivatan är följande. 

Derivatans funktionsvärde i sin tur, kan även undersökas med hjälp av det vi kommer att kalla för andraderivatan. Och denna kommer då motsvarar förändringshastigheten av hastigheten, det vi kallar för accelereration, när vi gasar bilen, och retardation, när vi bromsar bilen. Mer om detta i kommande lektioner.

I ett första skede fokuserar vi på förstaderivatan. Och den är alltså ett mått på förändring av funktionen i exemplet ovan med avseende på hastighet.

Vi kommer i kommande lektioner mer ingående beskriva hur man kan använda, beräkna och definiera derivatan. Men redan nu vill vi nämna några olika betydelser av derivatan som är bra att ha med sig för att underlätta förståelsen. Nämligen att derivatan är detsamma som värdet på tangenternas riktningskoefficienter som återfinns i olika punkter på grafen som tillhör funktionen.  Den andra beskrivningen har vi redan nämnt, nämligen som en funktion som beskriver en annan funktions förändring. Vi sammanfattar här dessa betydelsen av derivatan.

Vi kommer utveckla dessa och även lägga till några ytterligare betydelser som underlättar arbetet med derivatan i kommande lektioner.

Vi kommer i stor utsträckning använda derivatan för att fördjupa vår förståelse för funktioner och hur de förändras i olika punkter. Vi kommer med hjälp av derivatan enkelt kunna avgöra för vilka värden funktion antar sina största och minsta värden, vilket vi nämnde tidigare är önskvärt i samhället, för tillämpningen av matematiken.

Derivata är nära kopplat till verkliga händelser och situationer och har många användningsområden inom både Ekonomi, Natur-och Samhällsvetenskap.

Det finns flera olika sätt att med matematiska symboler beteckna derivatan. Det vanligaste sättet är att markera funktionen man deriverar med en liten apostrof.

I exemplet vi presenterade tidigare, betecknade vi funktionen av sträckan $S$S med avseende på tiden $t$t för $S\left(t\right)$S(t). Derivatan till denna funktion skulle vi då kunna beteckna som $S’\left(t\right)$S’(t) . Vi utläser detta som ”s prim av t”. 

Här kommer några andra skrivsätt för derivatan till funktionen  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) som också är ganska vanliga.

Alla beteckningar här beskriver alltså samma sak, nämligen derivatan, vilket motsvarar förändringshastigheten i en viss tidpunkt. 

•  $y’$y’  uttalas ”y prim” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y 
• $y'(x)$ uttalas ”y prim av x” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y med avseende på variabeln $x$x
•  $\frac{dy}{dx}$dydx  uttalas ”d y d x” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y avseende på variabeln $x$x
•  $\frac{df}{dx}$dƒ dx   uttalas ”d f d x” och motsvarar derivatan av funktionen $f$ƒavseende på variabeln $x$x
• $Df(x)$ uttalas ”derivatan av  $f\left(x\right)$ƒ (x)” och motsvarar derivatan av funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) avseende på variabeln $x$x
• $Dy$ uttalas ”derivatan av  $y$y” och motsvarar derivatan av funktionen  $y$y 

Alla dessa sätt betecknar alltså samma sak, derivatan.

• Diskussion kring förändringen av en bils hastighet.
• Diskussion av förändringshastigheten i en punkt när en boll skjuts upp.