Derivata - Vad är det?

Genom att teckna matematiska modeller som beskriver verkliga skeenden i världen kan vi beräkna och analysera dem. Vår samtid är nästan som besatt av att kunna mäta och analysera hur saker förändras. Ofta är syftet att genom vissa justeringar kunna maximera eller minimera olika skeenden. Många vill kunna förutse en utveckling eller en kommande förändring, eller studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra.

Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar. Derivatan är alltså en funktion, som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Eller med andra ord, en funktions derivata beskriver hur mycket funktionens värde förändras i en specifik punkt på grafen som tillhör funktionen.

Ett vanligt exempel för att beskriva derivatan är följande. 

Derivatans funktionsvärde kan i sin tur undersökas med hjälp av det vi kommer att kalla för andraderivatan. Och den motsvarar då förändringshastigheten av hastigheten, det vi kallar för acceleration, när vi gasar bilen, och retardation, när vi bromsar bilen. Mer om detta i kommande lektioner.

I ett första skede fokuserar vi på förstaderivatan. Och den är alltså ett mått på förändring av funktionen i exemplet ovan med avseende på hastighet.

Vi kommer i kommande lektioner mer ingående beskriva hur vi kan använda, beräkna och definiera derivatan. Men redan nu vill vi nämna några olika betydelser av derivatan som är bra att ha med sig för att underlätta förståelsen. Nämligen att derivatan är detsamma som värdet på tangenternas riktningskoefficienter som återfinns i olika punkter på grafen som tillhör funktionen.  Den andra beskrivningen har vi redan nämnt, nämligen som en funktion som beskriver en annan funktions förändring. Vi sammanfattar här dessa betydelser av derivatan.

Vi kommer utveckla dessa och även lägga till några ytterligare betydelser som underlättar arbetet med derivatan i kommande lektioner.

Vi kommer i stor utsträckning använda derivatan för att fördjupa vår förståelse för funktioner och hur de förändras i olika punkter. Vi kommer med hjälp av derivatan enkelt kunna avgöra för vilka värden funktionen antar sina största och minsta värden, vilket vi nämnde tidigare är önskvärt i samhället, för tillämpningen av matematiken.

Derivata är nära kopplat till verkliga händelser och situationer och har många användningsområden inom både ekonomi, natur- och samhällsvetenskap.

Det finns flera olika sätt att med matematiska symboler beteckna derivatan. Det vanligaste sättet är att markera funktionen vi deriverar med en liten apostrof.

I exemplet vi presenterade tidigare, betecknade vi funktionen av sträckan $S$S med avseende på tiden $t$t för $S\left(t\right)$S(t). Derivatan till denna funktion skulle vi då kunna beteckna som $S’\left(t\right)$S’(t) . Vi utläser detta som ”s prim av t”. 

Här kommer några andra skrivsätt för derivatan till funktionen  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) som också är ganska vanliga.

Alla beteckningar här beskriver alltså samma sak, nämligen derivatan, vilket motsvarar förändringshastigheten i en viss punkt. 

•  $y’$y’  uttalas ”y prim” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y 
• $ y'(x) $ uttalas ”y prim av x” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y med avseende på variabeln $x$x
•  $\frac{dy}{dx}$dydx  uttalas ”d y d x” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y med avseende på variabeln $x$x
•  $\frac{df}{dx}$dƒ dx   uttalas ”d f d x” och motsvarar derivatan av funktionen $f$ƒ med avseende på variabeln $x$x
• $ Df(x) $ uttalas ”derivatan av  $f\left(x\right)$ƒ (x)” och motsvarar derivatan av funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) med avseende på variabeln $x$x
• $ Dy $ uttalas ”derivatan av  $y$y” och motsvarar derivatan av funktionen  $y$y 

Alla dessa sätt betecknar alltså samma sak, derivatan.

• Diskussion kring förändringen av en bils hastighet.
• Diskussion av förändringshastigheten i en punkt när en boll skjuts upp.