Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Förenkla rationella uttryck
Innehåll
Rationella uttryck
Ett rationellt uttryck är ett algebraiskt uttryck, som skrivs som en kvot av två polynom. Med formler skriver vi det så här.
Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).
$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x) där $q(x)\ne0$q(x)≠0 .
Förenkla rationella uttryck Premium
Att förenkla ett rationellt uttryck innebär att skriva om det så kortfattat som möjligt. Alltså ”rensa” uttrycket så att det är så små heltal och få variabler och termer som möjligt kvar. T.ex. genom att samla ihop termer av samma slag eller genom det som kallas för förkortning.
Målet när du förkortar rationella uttryck är att hitta gemensamma faktorer i täljaren och nämnarens termer. Dessa vill du först bryta ut och sedan dividera med varandra. Då en faktor i täljaren och nämnaren är identisk, är deras värde vid division ett. Detta kan upplevas som att faktorerna ”försvinner”.
Tänk bara på att det inte finns något i matematiken som bara ”försvinner”. Egentligen är det olika matematiska operationer som bara gör att det upplevs så. T.ex. när termers summa blir noll, vilket upplevs som att de ”tar ut” varandra. Eller vid division av två identiska tal, vilket upplevs som att de ”försvinner”, om de är faktorer i täljaren och nämnaren i en kvot. Fast egentligen är det att multiplikation med talet ett, ger ett oförändrat resultat.
Exempel 1
Förenkla det rationella uttrycket $\frac{xy}{x}$xyx så långt som möjligt.
Lösning
Då vi har faktorn $x$x i alla termer i både täljaren och nämnaren kan vi förkorta uttrycket med $x$x .
$\frac{xy}{x}=$xyx = $y$y
Här följer en (över)tydlig redovisning på de matematiska stegen bakom förkortningen.
$\frac{xy}{x}=\frac{x\cdot y}{x\cdot1}=\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\cdot\frac{y}{1}=$xyx =x·yx·1 =xx ·y1 =11 ·y1 = $1\cdot$1·$\frac{y}{1}=\frac{y}{1}=$y1 =y1 = $y$y
Ett vanligt fel vid förenkling av rationella uttryck Premium
Att förkorta innebär att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck. Vi kan inte förkorta rationella uttryck genom att ta bort termer hur som helst. Observerar att man alltså inte får ”stryka” termerna $2x$2x i täljaren och nämnaren mot varandra!
Det är endast faktorer som kan förkortas ”bort” i kvoter. För den tränade kan steget med att bryta ut hoppas över. Men endast om man är tvärsäker på att talet eller uttrycket man förkortar med återfinns som en faktor i alla termer. Men för säkerhets skull rekommenderar vi att alltid faktorisera innan du förkortar, tills dess du har blivit en mästare på att förenkla rationella uttryck!
Exempel 2
Förenkla det rationella uttrycket $\frac{2x+4}{2x-8}$2x+42x−8 så långt som möjligt.
Lösning
Vi studerar täljaren och nämnaren och letar efter faktorer att bryta ut.
$\frac{2x+4}{2x-8}=$2x+42x−8 = Bryt ut $2$2 i täljaren och nämnaren
$\frac{2\left(x+2\right)}{2\left(x-4\right)}=$2(x+2)2(x−4) = Förkorta med $2$2
$\frac{x+2}{x-4}$x+2x−4
Vad är skillnaden på att förkorta, förlänga och förenkla? Premium
Ofta förväxlar man dess begrepp, då de alla används flitigt i arbeten med att skriva om uttryck i algebran.
Att förkorta är att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.
Att förlänga är att multiplicera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.
Att förenkla är att skriva om ett uttryck så kortfattat som möjligt. När det gäller rationella uttryck och andra kvoter, vill man ha så små koefficienter och få termer som möjligt.
Förenkla rationella uttryck med konjugatregeln och kvadreringsreglerna Premium
Man kan använda sig av konjugatregeln och/eller kvadreringsreglerna för att först faktorisera det rationella uttrycket så att det sedan kan förkortas. Detta är en mycket vanlig metod i denna kurs, som du bör behärska inna kursen slut. Vi repeterar reglerna.
Konjugatregeln
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Kvadreringsreglerna
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Ju mer man tränar på att faktorisera med dessa regler, desto lättare blir det att snabbt förenkla det rationella uttrycket.
Exempel 3
Förenkla $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3 så långt som möjligt.
Lösning
Vi studerar täljaren och ser att vi kan faktorisera med kvadreringsregeln.
$\frac{x^2+6x+9}{x+3}=$x2+6x+9x+3 =
Vi skriver om uttrycket för att att tydligare se sambandet med kvadreringsregeln.
$\frac{x^2+2\cdot3x+3^2}{x+3}=$x2+2·3x+32x+3 = Faktorisera med kvadreringsregeln i täljaren
$\frac{\left(x+3\right)^2}{x+3}=$(x+3)2x+3 = Vi skriver om för att tydligare se faktorerna i täljaren
$\frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{x+3}=$(x+3)(x+3)x+3 = Förkorta med $\left(x+3\right)$(x+3)
$\frac{\left(x+3\right)}{1}=$(x+3)1 = Beräkna kvoten
$\left(x+3\right)$(x+3)
Givetvis kan du hoppa över vissa steg när du tränat.
Förenkling med likheter Premium
Vi vill här passa på att be dig observera ett följdproblem med att slarva med användandet av likhetstecknet när förenklar uttryck.
I Exempel 3 fick vi att
$\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3 $=\left(x+3\right)$=(x+3)
Men observera följande följdproblem.
Exempel 4
Är $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x) då $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3 och $g\left(x\right)=x+3$g(x)=x+3 ?
Lösning
Från exempel 3 ser genom förenkling av uttrycket att
$\frac{x^2+6x+9}{x+3}=$x2+6x+9x+3 = $x+3$x+3
Men eftersom att funktionerna $f$ƒ och $g$g har olika definitionsmässig kan vi inte konstatera att $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x)
Den rationella funktionen $f$ƒ är inte definierat för $x=-3$x=−3 då nolldivision uppstår, medan funktionen $g$g är det då $g\left(-3\right)=\left(-3+3\right)=0$g(−3)=(−3+3)=0
Vi vill härmed understryka vikten av att alltid notera definitions- och värdemängd vid uppstarten av arbetet med en uppgift. Detta för att undgå att få förenklingar som ger missvisande definitionsmängder samt ekvationslösningar med falska rötter.
Med det sagt använder vi likheten vid förenkling av uttryck med försiktighet.
Vi avslutar med ett exempel.
Exempel 5
Förenkla $\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}$2a2−2b210a+10b så långt som möjligt.
Lösning
Vi studerar täljaren och nämnaren för att finna gemensamma faktorer.
$\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}$2a2−2b210a+10b Bryt ut $2$2 i täljaren och $10$10 i nämnaren
$\frac{2(a^2-b^2)}{10(a+b)}$2(a2−b2)10(a+b) Faktorisera med konjugatregeln i täljaren
$\frac{2(a+b)(a-b)}{10(a+b)}$2(a+b)(a−b)10(a+b) Förkorta med $(a+b)$(a+b)
$\frac{2(a-b)}{10}$2(a−b)10 Förkorta med $2$2
$\frac{a-b}{5}$a−b5
Exempel i videon Premium
- Förenkla $ \frac{12}{12} $
- Förenkla $ \frac{12}{16} $
- Förenkla $ \frac{x^3}{x^2} $
- Förenkla $ \frac{x^2-x}{x} $ Visas på två olika vis.
- Skriv $ \frac{2x^3-6x^2}{10x-30} $ på enklaste form
- Skriv $ \frac{a^2-9}{a+3} $ på enklaste form
- Skriv $ \frac{4x+4}{16x^2+32x+16} $ på enklaste form
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P PL M R 1 K Pelle skall förkorta det rationella uttrycket $\frac{xy+x}{xy}$xy+xxy och gör enligt bilden nedan, vad gör han fel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla uttrycket $\frac{x^3y^4}{3x^2y^2}$x3y43x2y2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förkorta uttrycket så långt som möjligt $\frac{x^36y}{2xyx^2}$x36y2xyx2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förkorta $\frac{x^2-16}{x-4}$x2−16x−4
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förkorta $\frac{3x^2+12x+12}{3x+6}$3x2+12x+123x+6
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R 1 K Studera förenklingen nedan och välj vilket alternativ du anser stämmer bäst.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (1)
-
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/1/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Vilket förenklat uttryck får du om du faktorisera uttrycket med hjälp av bland annat kvadreringsregeln och sedan förenkla uttrycket så lång som möjligt?
$\frac{12x+18+2x^2}{2x+6}$
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Carlos Karat
Uppgift med två likadana svar där en stämmer och andra inte.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Carlos,
Det skiljer sig med ett och/eller.
Det gör hela skillnaden.
Elin Nilsson
Uppskattar den (över)tydlig redovisningen!
Angelica Herfert
Hej,
I exempel 2 säger du att ”x bryts ut från nämnaren” men det borde väl vara i täljaren?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja det har blivit fel där, tack för att du sade till. Vi korrigerar detta så fort som möjligt
Perihan Yildiz Göker
på övning uppgift 2
x^3y^4/3x^2y^2
förstår inte hur det kan bli 3 i nämnaren, alltså xy^2/3
Simon Rybrand (Moderator)
Det finns ju inga konstanter i täljaren mer än $1$ så vi får kvar endast en $3:a$ i nämnaren.
Julia Ojeda Ottosson
Hej! Har problem med två frågor, den ena är:
x^2+8x+16/2x+8
Den andra är:
1/4-4/2x+3/x
Tack på förhand!
Simon Rybrand (Moderator)
På den första skriver du om täljaren med kvadreringsreglerna och bryter ut 2 i nämnaren så att du får
$\frac{x^2+8x+16}{2x+8}=\frac{\left(x+4\right)^2}{2(x+4)}=\frac{x+4}{2}$
På den andra kan du skriva om termerna så att de har samma nämnare.
Julia Ojeda Ottosson
Okej tack! 🙂
Felicia Månsson
Hej! Varifrån kommer ”+1” i exempel 3? Varför blir svaret inte bara x?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Är det exempel 2 i videon du funderar på? Kolla kommentaren här precis ovanför i så fall, gör ett längre resonemang där.
Hanna Fox
Jag förstår inte hur (x^2+x)/x är lika med x+1. Kan du förklara?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Viktigt där är att du förstår hur du kan bryta ut x i täljaren så att du får:
$ \frac{x(x+1)}{x} $
(Kika gärna på faktorisering om du inte förstår det steget)
Sedan handlar det om att du nu kan dela med x både i täljaren och i nämnaren så att du får 1 framför parentesen i täljaren och 1 i nämnaren. Man skulle kunna skriva det så här:
$ \frac{x/x(x+1)}{x/x} = \frac{1(x+1)}{1}=\frac{x+1}{1}=x+1 $
Hoppas att detta hjälper dig på vägen mot att förstå detta!
Yosefd
Kan du förklara hur du tänker på exempel 5 varför blir 16x^2 + 32x +16
(4x) 2 + 2 * 4x *4 + 4^2 och hur blir det senare till (4x + 4)^2
Vad kan du rekommendera till en novis för att greppa detta?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Får att förstå den omskrivningen så behöver vi titta på den regel som kallas för kvadreringsregeln och som säger följande:
$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
Kan också skrivas som
$ (a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 $
Denna regel använder vi här ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Dvs vi går från $a^2+2ab+b^2$ till $(a+b)^2$.
För att kunna se detta så är det ibland enklare att först göra en omskrivning av uttrycket så att vi skriver
$ 16x^2=(4x)^2 $
$ 32x=2⋅4x⋅4 $
$ 16=4^2 $
och får då
$ (4x)^2+2⋅4x⋅4+4^2 $
Här kan vi nu tänka att $a=4x$ och $b=4$ från kvadreringsregeln och vi går då ”baklänges” och får
$ (4x)^2+2⋅4x⋅4+4^2 = (4x+4)^2 $
Jag rekommenderar att du kikar vidare på följande videos:
Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna.
Diego Ferris
Minuten 2:20 sägs att man ska beräkna enligt prioriterings regler ”2+8” Men två plus åta är en ”addition” och det ska beräknas sist enligt prioriterings regler.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för en bra fråga!
Här är det viktigt att förstå att innehållet i täljaren i en kvot först måste beräknas. Detta enligt prioriteringsreglerna som säger att innehåll i parenteser skall beräknas först och uttrycket i täljaren skall ses som en parentes.
Du kan alltså tänka att
$ \frac{2+8}{2} = \frac{(2+8)}{2} $
sara eneroth
Hej! Behöver hjälp med denna uppgift ; Förenkla uttrycket så långt som möjligt,
5(x-3)^2/
5x-15
Simon Rybrand (Moderator)
Antar att det är uttrycket
$\frac{5\left(x-3\right)^2}{5x-15} = \frac{5(x-3)^2}{5(x-3)} =$
$\frac{(x-3)}{1} ={x}-{3}$
Här kan du alltså först bryta ut 5 i nämnaren och sedan förkorta med $ 5(x-3) $
vitti
tja, förstår inte hur 6x^2 blir x-3? kan du förklara
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det är för att vi bryter ut $2x^2$ ur varje term i täljaren.
$2x^3-6x^2 = 2x^2⋅x-2x^2⋅3$
Nu bryter vi ut 2x^2 ur varje term
$2x^2(x-3)$
Ki Nyhlen
En detalj som kan förvirra i videon vid 02:55, ”alternativt kan vi bryta ut x i nämnaren först”. Antar att meningen är att det ska vara i täljaren?
Mvh
Ki
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det skall förstås stå och sägas att det är ur täljaren som vi bryter ut x. Detta skall korrigeras i videon.
Alex
Kan jag få en RIKTIG förklaring vad som händer på fråga 2 till 6?!
Simon Rybrand (Moderator)
Absolut kan vi hjälpa dig vidare, vilken av frågorna är det som du tycker är svårast så kan vi börja där och förklara?
Jill
Jag förstår inte exempel 3. Hur bryter vi ut 6x upphöjt i 2 med 10x?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, i täljaren i det uttrycket så bryter vi ut $2x^2$. Kanske att det blir tydligare om vi skriver det så här:
$ 2x^3-6x^2 = 2x^2⋅x-2x^2⋅3 = 2x^2(x-3) $
I varje term i täljaren finns alltså $2x^2$.
I nämnaren kan vi istället bryta ut 10 då
$ 10x-30=10⋅x-10⋅3=10(x-3)$
Slutligen kan vi förkorta uttrycket med (x-3) i både täljare och nämnare så att vi får
$ \frac{2x^2(x-3)}{10(x-3)} = \frac{2x^2}{10}=\frac{x^2}{5} $
I sista steget där så förkortar vi täljare och nämnare med 2.
Kajsa-Lotta Georgii Hellberg
Hej!
Om jag ska förenkla uttrycket f(x)-f(a)/x-a då f(x) = 1/x, hur ska jag då tänka? var stoppar jag in 1/x och hur löser jag då ut a? Hjälp!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du byter ut $f(x)$ mot $\frac1x$ i uttrycket. Du byter även ut $f(a)$ mot $\frac{1}{a}$ då $f(a)=\frac{1}{a}$
Mpers
Hej!
På första uppgiften svarade jag rätt. Men fick fel förenkling. Jag fick bara y kvar. I och med att jag strök alla x efter att jag ställde upp det såhär.
$ \frac{xy+x}{xy} = \frac{x (y+x)}{xy } = y $
Vart kommer 1an ifrån? Hur kan 1an komma fram när vi stryker alla x? Och varför blir det en etta av x?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det korrekta sättet att förenkla där är att
$ \frac{xy+x}{xy} = \frac{x(y+1)}{xy} = \frac{y+1}{y} $
Det som händer när ”x blir en etta” är att vi har faktoriserat täljaren i det rationella uttrycket. Kolla lite på hur man faktoriserar olika uttryck så tror jag att det går att förstå.
maalwe
I ex ovan kan du väll inte förkorta rätt av pga det är addition, hade det stått på samma sätt (som i början av videon) men med multiplikation så kan man ju förkorta x:en med varandra.
Simon Rybrand (Moderator)
Ja så är det, det är additionen som gör att man behöver vara lite försiktigt med att förkorta rakt av. Det behöver finnas ett x i varje så kallad term både i nämnare och täljare i det rationella uttrycket.
payam
hur kommer det sig att man kan bryta ut 2 x där uppe men bara 1 där nere? på den sista
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Payam,
Det som egentligen händer där är faktiskt bara att man bryter ut ett x men ur varje term ”där uppe” så här:
$ \frac{x+xy}{x} = \frac{1 \cdot x +x \cdot y}{1 \cdot x} = \frac{x(1 + y)}{x} $
Vi använder här ovan det som kallas för den distributiva lagen, dvs ab + ac = a(b+c) och bryter ut x ur täljaren.
Nu kan vi förkorta med x både i täljaren och i nämnaren:
$ \frac{x(1 + y)}{x} = 1 + y $
Du kan alltid testa detta med siffror som jag gör i videon här ovan för att få en känsla för vad du kan förkorta och inte förkorta. Det är väldigt vanligt att många tycker att just detta är svårt.
Simon Rybrand (Moderator)
Dessa uttryck uttalas som ”g av x” och med detta menas ett polynom där variabeln i detta polynom är x.
Ett bra sätt att förstå idén är att jämföra det med funktioner där man har en funktion tex f(x) = 2x + 1. Då menas funktionen y som beror av variabeln x. Se gärna videon som jag länkar till.
saif
G (x)
H (x)
va menas med det ? jag har inte förstått det ?
Kan du ge nån exampel så att jag får veta hur det funkar ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Ohlson_M, bra fråga som många missuppfattar!
Nej, det är så att om du dividerar x/x så får du inte 0 utan du kommer att få 1. Precis på samma sätt som när du dividerar 3/3 = 1 så blir x/x = 1 eller a/a = 1. Svaret är alltså korrekt i videon.
Mpers
Du säger ju i början att man kan göra så med x * y / x? Eller går det när det är multiplikation men inte addition?
Ohlson_M
I sista exemplet på ”en vanlig missuppfattning” står det att lösningen är 1 + y. Hur kan det komma sig? Vi stryker ju alla x och bör bara få ”y” kvar. Borde det således inte stå 1 * y ?
Endast Premium-användare kan kommentera.