Förenkla rationella uttryck

Att förenkla ett rationellt uttryck innebär att skriva om det så kortfattat som möjligt. Med det menar vi att ”rensa” uttrycket så att det blir så små heltal och så få variabler och termer som möjligt kvar.  T.ex. genom att samla ihop termer av samma slag eller genom det som kallas för förkortning. Men självklart ska detta ske på så vis att uttryckets värde innan och efter förenklingen är detsamma.

Målet när vi förkortar rationella uttryck är att hitta gemensamma faktorer i täljaren och nämnarens termer. Dessa vill vi först bryta ut för att sedan dividera med varandra. På så sätt förenklar vi uttrycket, eftersom kvoten är lika med ett när en faktor i täljaren och nämnaren är identisk.

Detta kan upplevas som att faktorerna ”försvinner”, men observera; ingenting i matematiken försvinner! Det skrivs bara om på ett mer effektivt sätt.

Det är matematikens olika regler och tals egenskaper som kan få det att upplevas så. Ett sådant exempel kan vara när termers summa blir lika med noll. Kanske upplever någon att de försvinner, fast det egentligen antar värdet noll. Att vi inte skriver ut nollan beror på att en ensam nolla inte påverkar uttryckets värde. Enligt matematikens effektivitetsprincip skriver vi därför inte ut den.

Eller vid division mellan två identiska tal om de är faktorer i täljaren och nämnaren i en kvot, vilket kan upplevas som att de ”försvinner” när de ”stryks”. Fast egentligen är orsaken att multiplikation med talet $1$1 ger ett oförändrat resultat. Se hur i exemplet nedan.

Vi kan med övertydlighet skriva det så här.

 $\frac{8x^4}{2x^3}=\frac{4\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{2\cdot x\cdot x\cdot x}=$8x⁴2x³ =4·2·x·x·x·x2·x·x·x =  $\frac{4\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{1\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot1}=\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{1}=$4·2·x·x·x·x1·2·x·x·x·1 =41 ·22 ·xx ·xx ·xx ·x1 =   $4\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot x=4x$4·1·1·1·1·x=4x 

Tänk på att ingenting ”försvinner” när vi förenklar uttryck. Däremot är till exempel $\frac{x}{x}=$xx = $1$1 och allt som multipliceras med $1$1 förblir oförändrat.

Här följer igen en (över)tydlig redovisning av de matematiska stegen bakom förkortningen.

 $\frac{xy}{x}=\frac{x\cdot y}{x\cdot1}=\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\cdot\frac{y}{1}=$xyx =x·yx·1 =xx ·y1 =11 ·y1 = $1\cdot$1· $\frac{y}{1}=\frac{y}{1}=$y1 =y1 = $y$y 

Ett uttryck ger samma värde före och efter förenklingen om du gjort rätt. Du kan på så sätt kontrollera din förenkling genom att beräkna uttryckets värde för ett valt $x$x-värde innan och efter förenkling och jämföra. Har du gjort rätt ska de ge samma värde.

Om vi exempelvis väljer att beräkna värdet för uttrycket i exempel 1 innan och efter förenkling får vi följande.

Innan förenkling

Uttrycket $\frac{8x^4}{2x^3}$8x⁴2x³    antar värdet $8$8 då  $x=2$x=2 eftersom $\frac{8\cdot2^4}{2\cdot2^3}=\frac{8\cdot16}{2\cdot8}=$8·2⁴2·2³ =8·162·8 = $8$8 

Efter förenkling

Efter förenkling antar uttrycket $4x$4x samma värde då  $x=2$x=2 eftersom $4\cdot2=8$4·2=8

Du kan själv prova att stoppa in andra värden på $x$x i de två uttrycken och se att det alltid antar samma värde. Detta kan du utnyttja till exempel vid prov när du förenklar uttryck.

Att förkorta innebär att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck. Vi kan inte förkorta rationella uttryck genom att ta bort termer hur som helst. Observera att vi alltså inte får ”stryka” termerna $2x$2x i täljaren och nämnaren mot varandra! 

Det är endast faktorer som kan förkortas ”bort” i kvoter. För den tränade kan steget med att bryta ut hoppas över, dock endast om vi är tvärsäkra på att talet eller uttrycket vi förkortar med återfinns som en faktor i alla termer. För säkerhets skull rekommenderar vi att alltid faktorisera innan du förkortar, tills dess du har blivit en mästare på att förenkla rationella uttryck!

Ofta förväxlar vi dessa begrepp, då de alla används flitigt i arbeten med att skriva om uttryck i algebran. 

Vi kan använda oss av konjugatregeln och/eller kvadreringsreglerna för att först faktorisera det rationella uttrycket så att det sedan kan förkortas. Detta är en mycket vanlig metod i denna kurs, som du bör behärska innan kursens slut. Vi repeterar reglerna.

Ju mer vi tränar på att faktorisera med dessa regler, desto lättare blir det att snabbt förenkla det rationella uttrycket.

Givetvis kan du hoppa över vissa steg när du tränat.

Vi vill här passa på att be dig observera ett följdproblem med att slarva med användandet av likhetstecknet när vi förenklar uttryck.

I Exempel 4 fick vi att

 $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x²+6x+9x+3  $=\left(x+3\right)$=(x+3)   

Men observera följande följdproblem.

Vi vill härmed understryka vikten av att alltid notera definitions- och värdemängd vid uppstarten av arbetet med en uppgift. Detta för att undvika  förenklingar som ger missvisande definitionsmängder samt ekvationslösningar med falska rötter.

Med det sagt använder vi likheten vid förenkling av uttryck med viss försiktighet. 

Vi avslutar med ett exempel.

Det är många som känner att detta är komplicerat till en början, men kom ihåg: Träning ger färdighet!

• Förenkla $ \frac{12}{12} $
• Förenkla $ \frac{12}{16} $
• Förenkla $ \frac{x^3}{x^2} $
• Förenkla $ \frac{x^2-x}{x} $ Visas på två olika vis.
• Skriv $ \frac{2x^3-6x^2}{10x-30} $ på enklaste form
• Skriv $ \frac{a^2-9}{a+3} $ på enklaste form
• Skriv $ \frac{4x+4}{16x^2+32x+16} $ på enklaste form