Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Multiplicera och dividera rationella uttryck
Innehåll
Att multiplicera och dividera rationella uttryck
När man multiplicerar och dividerar rationella uttryck, utgår man från samma räkneregler som vid multiplikation och division med bråktal.
Här kommer en kort sammanfattning av dem.
Regler bråkräkning Multiplikation
$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ab ·cd =a·cb·d
Regler bråkräkning Division
$\frac{a}{b}$ab $\big/$ $\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c
Det är alltså dessa regler som även används för att multiplicera och dividera rationella uttryck. Den enda skillnaden är att vår täljare och nämnare är algebraiska uttryck, i stället för konstanter.
Känner du dig osäker på hur du räknar med bråk, så repetera det innan du börjar med detta avsnitt. Ett förtydligande kring divisionen följer längre ner i denna text. Det är även bra att ha goda kunskaper om hur man förenklar algebraiska uttryck.
Nu förenklar vi några rationella uttryck.
Multiplikation av rationella uttryck
Vid multiplikation av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för multiplikation med rationella tal, det vi även kallar bråk.
Exempel 1
Förenkla följande uttryck
$\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}$4x2 ·x3
Lösning
Först multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Det ger oss ett nytt rationellt uttryck.
$\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}=\frac{4x}{3x^2}$4x2 ·x3 =4x3x2
Sedan förkortar vi med $x$x i täljaren och nämnaren så att uttrycket står på enklaste form.
$\frac{4x}{3x^2}=\frac{4}{3x}$4x3x2 =43x
Ormar som hjälp vid division
En del tycker att bilden med ormar som slingrar sig genom bråket, är till hjälp vid division av bråk eller rationella uttryck.
Rent matematiskt förlänger vi bråket med den inverterade nämnaren, för att få nämnaren ett.
Förlänga med den inverterade nämnaren
Exempel 2
Beräkna $\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}$67 12
Svara i bråkfrom.
Lösning
Talet är en bråkdivision. Vi beräknar den genom att förlänga med den inverterade nämnaren $\frac{2}{1}$21 .
$\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }\cdot\frac{2}{1}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{2}{2}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }1}=$67 12 =67 ·21 12 ·21 =67 ·21 22 =67 ·21 1 = $\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}=\frac{12}{7}$67 ·21 =127
Inversen till ett tal är det tal som vid multiplikation ger produkten ett. Vid bråkräkning kommer det alltid motsvara det ”upp-och-nervända” bråket.
Division av rationella uttryck
Vid division av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för division med rationella tal, det vi även kallar bråk som vi visade här ovan.
Exempel 3
Förenkla följande uttryck och ange i enklast form.
$\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}$4x
Lösning
Först multipliceras det första uttryckets täljare med det andra uttryckets nämnare och resultatet placeras i täljaren. Sedan multipliceras det första uttryckets nämnare med det andra uttryckets täljare och resultatet placeras i nämnaren.
$\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}=\frac{4x}{6y}\cdot\frac{x}{4}=\frac{4x^2}{6\cdot4\cdot y}$4x =4x6y ·x4 =4x26·4·y
Nu förkortar vi koefficienterna för att svara i enklaste form
$\frac{x^2}{6y}$x26y
Vi tittar nu på ett exempel som är något svårare.
Exempel 3
Förenkla följande uttryck
$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)$(ab −ba ) $\big/$ $\frac{a-b}{ab}$a−bab
Lösning
Förläng uttrycket i täljaren så att de kan skrivas på gemensam nämnare.
$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2-b^2}{ab}$(ab −ba )=a2ab −b2ab =a2−b2ab
Utför sedan divisionen enligt räkneregler och förkorta uttrycket.
$\frac{a^2-b^2}{ab}$a2−b2ab $\big/$ $\frac{a-b}{ab}=$a−bab =
$\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=$a2−b2ab ·aba−b =
$\frac{\left(a^2-b^2\right)\cdot ab}{ab\cdot\left(a-b\right)}=$(a2−b2)·abab·(a−b) = förkorta med $ab$ab
$\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)}=$a2−b2(a−b) = skriv om täljaren med konjugatregeln
$\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}=$(a+b)(a−b)(a−b) = förkorta med $a-b$a−b
$\left(a+b\right)$(a+b)
Nu är det bara att sätt i gång och träna. Övning ger färdighet.
Exempel i videon
- Beräkna $\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}$67 ·12
- Förenkla $\frac{x^2y}{3}\cdot\frac{9}{xy^3}$x2y3 ·9xy3
- Beräkna $\frac{\text{ }\frac{6}{7}\text{ }}{\frac{1}{2}}$ 67 12
- Förenkla $ \frac{x^2y}{3} \big/ \frac{9}{xy^3} $
- Förenkla $(a+b)\cdot$(a+b)· $\frac{(a-b)}{2a^2-2b^2}$(a−b)2a2−2b2
- Förenkla $(z^2-2z+1)$(z2−2z+1) $ \big/ \frac{3z-3}{5} $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Det rationella uttrycket går att förkorta till ett heltal. Vilket?
$\frac{2x^3}{4y^2}$2x34y2 $\big/$ $\frac{6x^3}{24y^2}$6x324y2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla till enklaste form
$\left(-\frac{2z}{8}\right)\cdot\left(-\frac{4}{z^3}\right)$(−2z8 )·(−4z3 )
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla $2x^3\cdot$2x3·$\frac{4y}{x^2}$4yx2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P PL M R 1 K Sofia har försökt förenkla uttrycket $\frac{4x^2}{12}$4x212 $\big/$ $3$3. Så här ser hennes lösning ut.
Vilket alternativ tycker du stämmer bäst?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla följande uttryck
$\frac{5x^2}{2y^2}\cdot\frac{4y^2}{2x}$5x22y2 ·4y22x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
$\frac{x^2y}{3}$x2y3 $\big/$$\frac{3x^2}{5y}$3x25y
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NPE C A B P 1 PL M R K 1 Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{\frac{4a}{4b}-\frac{2b}{2a}}{b-a}$4a4b −2b2a b−a
Öva på att redovisa din förenkling steg för steg på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NPE C A B P 1 PL M R K 1 Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{\frac{2ab-a^2-b^2}{a+b}}{\frac{(a-b)}{(a+b)}}$2ab−a2−b2a+b (a−b)(a+b)
Öva på att redovisa din förenkling steg för steg på ett papper.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
evertgoran
Hej igen!
Tack för hjälpen Anna!
Jag förstod precis =)
En sista fråga,
på uppgift 7 får jag det till -1(a+b)/ab vilket blir då -a-b/ab MEN svarsalternativet som jag fanns att välja på var – a+b/ab
– hade jag fått fel på ett prov om jag lämnat svaret -a-b/ab?
Tack på förhand!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
det beror lite på din lärare och hur mycket ni pratat om hur man skriver matte på datorn. Det är en fråga om prioriteringsregler och när man skriver på datorn då är de i likhet med programmering eller på räknare viktigt att ge rätt input för att systemet ska kunna tolka det rätt.
När vi skriver i bråkform blir det tydligare.
-a-b/ab tolkar systemet, i enlighet med prioriteringsreglerna som
$-a-\frac{b}{ab}$
eftersom att subtraktion är lägre i prioritet än division. För att få det som i svars alternativet måste vi använda parenteser.
$-\frac{a+b}{ab}$, som är det svarsalternativ som du refererar till måste vi skriva
-(a+b)/(ab)
och om du nu vill skriva det som $\frac{-a-b}{ab}$, som är exakt samma sak så måste du skriva
(-a-b)/(ab) i stället.
Men jag tror att din egentliga fråga var om
$-\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{ab}$
och då är svaret JA. Men du måste varar noga med parenteserna för att det ska bli rätt när du skriver det ”mer linjärt”.
OK?
evertgoran
Hej!
På fråga 6, varför blir det inte $5y(x^2+y) / 3(3x^2)$ istället för $x^2 + 5y^2 / 9x^2$?
Borde inte $5y$ multipliceras med $x^2$ också, varför multipliceras $5y$ endast med $y$?
Tack på förhand!
Anna Admin (Moderator)
Hej,
vid multiplikation påverkas alla faktorer indirekt om två faktorer skrivs om en produkt. Man ska alltså inte multiplicera alla ”med varandra”.
Om vi tar exemplet att talet $8$ ska multipliceras med $3$ får vi att $3 \cdot 8=24$
Om vi nu skriver om talet åtta som en produkt, $8=2\cdot 4$ och utför multiplikationen ser vi att det bara är tvåan ELLER fyra vi ska multiplicera för att få rätt svar.
$3 \cdot 2\cdot4=6\cdot 4= 24$ eller $3 \cdot 2\cdot4=2 \cdot 12= 24$
Vi kan inte både göra tvåan och fyran tre gånger större för då får vi att
$3 \cdot 2\cdot4$ skulle vara lika med $6 \cdot 12=72 $ vilket är ett tal som är tre gånger så stort!
Så därför
$\frac{\frac{x^2y}{3}}{\frac{3x^2}{5y}}=$ $\frac{\frac{x \cdot x \cdot y}{3}}{\frac{3 \cdot x \cdot x}{5 \cdot y}}=$ $\frac{x \cdot x \cdot y}{3} \cdot \frac{5 \cdot y }{3 \cdot x \cdot x}=$ $ \frac{x \cdot x \cdot y \cdot 5 \cdot y}{3\cdot 3 \cdot x \cdot x}=$ $ \frac{5 x^2 y^2}{9x^2}$
Hoppas det gick att hänga med på!
George Malmberg
Varför är bilder så otroligt läskiga, kan inte räkna ut uppgifter utan att få mardrömmar. Jag snackar bild på uppgift 4 och den från förra kapitlet.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej George,
det är inte vår mening att ge dig mardrömmar…
vi hoppas på att lära dig matematik:)
Jenny Arvidsson
Hej! Kan man få se en rätt lösning på uppgift 4? Får det till x/+-3 och undrar om jag tänkt rätt
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Jenny. Jag la till så hon borde gjort i förklaringen. Hoppas det blev tydligare.
Simon Svedberg
Hej!
Har lite krångel med svaret på sista uppgiften på detta avsnittet. Jag har kommit fram till rätt svar men vet ej hur jag ska skriva in det i rutan så att det tolkas rätt av programmet. Annars vill jag bara påpeka att du/ni är hjältar och att dessa genomgångarna har hjälpt mig mycket i mina högskolestudier 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Simon
Vi kikar på om vi kan förenkla detta för dig/andra.
Kul att du gillar tjänsten!
Alla Sapkina
Hej, jag har precis börjat läsa matte 3 och skulle behöva lite kickstart. hur räknar man ut det här?
2 1 3
—— + ——- = ——-
3x-6 6 x-2
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Har svårt att tolka dina uttryck här. Förtydliga med parenteser.
Alla Sapkina
(2/3x-6)+(1/6)=3/x-2
Simon Rybrand (Moderator)
Är det ekvationen $\frac{2}{3x-6}+\frac16=\frac{3}{x-2}$?
Alla Sapkina
Den fråga ställer en av mina elever som använder min konto.Jag ber att inte använda mitt namn i fall ställer du egna frågor utan kontakta mig direkt så kan jag hjälpa dig på bästa sättet.
Det är en vanlig proportionell ekvation som man kan lösa genom att flytta 1/6 på höger led sen multiplicerar man med nämnaren dvs.uttryck som står i nämnaren det andra term då får vi fram:
2/(3x-6)= 3/(x-2) – 1/6
2/(3x-6)= 3*6/(x-2)*6 – 1(x-2)/(x-2)*6
2/(3x-6)=18/(6x-12)- (x-2)/(6x-12) gemensamma nämnare kan vi skriva som en nämnare
2/(3x-6)=(18- x+2)/(6x-12)
2/(3x-6)=(20-x)/(6x-12) korsvis multiplikation
2(6x-12)=(3x-6)(6x-12) här förenklar man ekvation då får vi fram en andragradsekvation som löser genom att tillämpa p,q formell.
Malou Lundqvist
Hej! Jag förstår inte du du får (z^2 -2z + 1) x5 att bli 5x(z-1)^2
Vart försvinner -2z?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Där faktoriserar vi $z^2 -2z + 1$ med en kvadreringsregel.
Kika gärna på den här genomgången om detta:
Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna
emelielundmark__@hotmail.com
Hej, skulle du kunna förklara varför -2z /-2z3= 1/z2 ?
Tack:)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, anar att det är uttycket
$ \frac{-2z}{-2z^3} = \frac{1}{z^2} $
Här så dividerar du -2 med -2 vilket ger resultatet
$ \frac{-2}{-2} = 1 $
och
$ \frac{z}{z^3} = \frac{z}{z⋅z⋅z} = $ (förkorta täljare och nämnare med $z$)
$ \frac{1}{z⋅z}= \frac{1}{z^2} $
Sammantaget blir det alltså
$ \frac{1}{z^2} $
nti_ma3
hej,
jag förstår inte detta: -2z /-2z3= 1/z2
kan du förklara?
MVH
Endast Premium-användare kan kommentera.