...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Att multiplicera och dividera rationella uttryck

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

När man multiplicerar och dividerar rationella uttryck, utgår man från samma räkneregler som vid multiplikation och division med bråktal.

Här kommer en kort sammanfattning av dem.

Regler bråkräkning Multiplikation

  $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ab ·cd =a·cb·d  

Regler bråkräkning Division

 $\frac{a}{b}$ab  $\big/$ $\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c  

Det är alltså dessa regler som även används för att multiplicera och dividera rationella uttryck. Den enda skillnaden är att vår täljare och nämnare är algebraiska uttryck, i stället för konstanter.

Känner du dig osäker på hur du räknar med bråk, så repetera det innan du börjar med detta avsnitt. Ett förtydligande kring divisionen följer längre ner i denna text. Det är även bra att ha goda kunskaper om hur man förenklar algebraiska uttryck.

Nu förenklar vi några rationella uttryck.

Multiplikation av rationella uttryck

Vid multiplikation av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för multiplikation med rationella tal, det vi även kallar bråk.

Exempel 1 

Förenkla följande uttryck

  $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}$4x2 ·x3  

Lösning

Först multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Det ger oss ett nytt rationellt uttryck.

 $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}=\frac{4x}{3x^2}$4x2 ·x3 =4x3x2  

Sedan förkortar vi med $x$x i täljaren och nämnaren så att uttrycket står på enklaste form.

 $\frac{4x}{3x^2}=\frac{4}{3x}$4x3x2 =43x  

Ormar som hjälp vid division

En del tycker att bilden med ormar som slingrar sig genom bråket, är till hjälp vid division av bråk eller rationella uttryck.

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Rent matematiskt förlänger vi bråket med den inverterade nämnaren, för att få nämnaren ett.

Förlänga med den inverterade nämnaren

Exempel 2 

 $\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }\cdot\frac{2}{1}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{2}{2}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }1}=$67  12   =67 ·21  12  ·21  =67 ·21  22  =67 ·21  1 = $\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}$67 ·21   

Inversen till ett tal är det tal som vid multiplikation ger produkten ett. Vid bråkräkning kommer det alltid motsvara det ”upp-och-nervända” bråket.

Division av rationella uttryck

Vid division av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för division med rationella tal, det vi även kallar bråk som vi visade här ovan.

Exempel 3  

Förenkla följande uttryck och ange i enklast form.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}$4x 

Lösning

Först multipliceras det första uttryckets täljare med det andra uttryckets nämnare och resultatet placeras i täljaren. Sedan multipliceras det första uttryckets nämnare med det andra uttryckets täljare och resultatet placeras i nämnaren.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}=\frac{4x}{6y}\cdot\frac{x}{4}=\frac{4x^2}{6\cdot4\cdot y}$4x =4x6y ·x4 =4x26·4·y  

Nu förkortar vi koefficienterna för att svara i enklaste form

 $\frac{x^2}{6y}$x26y  

 Vi tittar nu på ett exempel som är något svårare.

Exempel 3 

Förenkla följande uttryck

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)$(ab ba ) $\big/$ $\frac{a-b}{ab}$abab  

Lösning

Förläng uttrycket i täljaren så att de kan skrivas på gemensam nämnare.

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2-b^2}{ab}$(ab ba )=a2ab b2ab =a2b2ab  

Utför sedan divisionen enligt räkneregler och förkorta uttrycket.

 $\frac{a^2-b^2}{ab}$a2b2ab  $\big/$ $\frac{a-b}{ab}=$abab = 

 $\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=$a2b2ab ·abab =  

 $\frac{\left(a^2-b^2\right)\cdot ab}{ab\cdot\left(a-b\right)}=$(a2b2)·abab·(ab) =                      förkorta med $ab$ab 

 $\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)}=$a2b2(ab) =                                skriv om täljaren med konjugatregeln

 $\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}=$(a+b)(ab)(ab) =                        förkorta med  $a-b$ab 

 $\left(a+b\right)$(a+b)  

Nu är det bara att sätt i gång och träna. Övning ger färdighet.

Exempel i videon

  • Beräkna  $\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}$67 ·12  
  • Förenkla  $\frac{x^2y}{3}\cdot\frac{9}{xy^3}$x2y3 ·9xy3  
  • Beräkna  $\frac{\text{ }\frac{6}{7}\text{ }}{\frac{1}{2}}$ 67  12   
  • Förenkla $ \frac{x^2y}{3} \big/ \frac{9}{xy^3} $
  • Förenkla  $(a+b)\cdot$(a+b)· $\frac{(a-b)}{2a^2-2b^2}$(ab)2a22b2  
  • Förenkla  $(z^2-2z+1)$(z22z+1) $ \big/ \frac{3z-3}{5} $

Kommentarer

Simon Svedberg

Hej!
Har lite krångel med svaret på sista uppgiften på detta avsnittet. Jag har kommit fram till rätt svar men vet ej hur jag ska skriva in det i rutan så att det tolkas rätt av programmet. Annars vill jag bara påpeka att du/ni är hjältar och att dessa genomgångarna har hjälpt mig mycket i mina högskolestudier 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Simon
    Vi kikar på om vi kan förenkla detta för dig/andra.
    Kul att du gillar tjänsten!

Alla Sapkina

Hej, jag har precis börjat läsa matte 3 och skulle behöva lite kickstart. hur räknar man ut det här?

2 1 3
—— + ——- = ——-
3x-6 6 x-2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har svårt att tolka dina uttryck här. Förtydliga med parenteser.

      Alla Sapkina

      (2/3x-6)+(1/6)=3/x-2

        Simon Rybrand (Moderator)

        Är det ekvationen $\frac{2}{3x-6}+\frac16=\frac{3}{x-2}$?

    Alla Sapkina

    Den fråga ställer en av mina elever som använder min konto.Jag ber att inte använda mitt namn i fall ställer du egna frågor utan kontakta mig direkt så kan jag hjälpa dig på bästa sättet.
    Det är en vanlig proportionell ekvation som man kan lösa genom att flytta 1/6 på höger led sen multiplicerar man med nämnaren dvs.uttryck som står i nämnaren det andra term då får vi fram:
    2/(3x-6)= 3/(x-2) – 1/6
    2/(3x-6)= 3*6/(x-2)*6 – 1(x-2)/(x-2)*6
    2/(3x-6)=18/(6x-12)- (x-2)/(6x-12) gemensamma nämnare kan vi skriva som en nämnare
    2/(3x-6)=(18- x+2)/(6x-12)
    2/(3x-6)=(20-x)/(6x-12) korsvis multiplikation
    2(6x-12)=(3x-6)(6x-12) här förenklar man ekvation då får vi fram en andragradsekvation som löser genom att tillämpa p,q formell.

Malou Lundqvist

Hej! Jag förstår inte du du får (z^2 -2z + 1) x5 att bli 5x(z-1)^2

Vart försvinner -2z?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där faktoriserar vi $z^2 -2z + 1$ med en kvadreringsregel.
    Kika gärna på den här genomgången om detta:
    Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna

emelielundmark__@hotmail.com

Hej, skulle du kunna förklara varför -2z /-2z3= 1/z2 ?
Tack:)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, anar att det är uttycket
    $ \frac{-2z}{-2z^3} = \frac{1}{z^2} $

    Här så dividerar du -2 med -2 vilket ger resultatet
    $ \frac{-2}{-2} = 1 $
    och
    $ \frac{z}{z^3} = \frac{z}{z⋅z⋅z} = $ (förkorta täljare och nämnare med $z$)
    $ \frac{1}{z⋅z}= \frac{1}{z^2} $

    Sammantaget blir det alltså
    $ \frac{1}{z^2} $

nti_ma3

hej,
jag förstår inte detta: -2z /-2z3= 1/z2
kan du förklara?
MVH


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Det rationella uttrycket går att förkorta till ett heltal. Vilket?

     $\frac{2x^3}{4y^2}$2x34y2 $\big/$ $\frac{6x^3}{24y^2}$6x324y2    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla till enklaste form

      $\left(-\frac{2z}{8}\right)\cdot\left(-\frac{4}{z^3}\right)$(2z8 )·(4z3 ) 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla  $2x^3\cdot$2x3·$\frac{4y}{x^2}$4yx2  

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Sofia har försökt förenkla uttrycket $\frac{4x^2}{12}$4x212  $\big/$ $3$3. Så här ser hennes lösning ut.

    Vilket alternativ tycker du stämmer bäst?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla följande uttryck

     $\frac{5x^2}{2y^2}\cdot\frac{4y^2}{2x}$5x22y2 ·4y22x  

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    Förenkla följande uttryck så långt som möjligt

     $\frac{x^2y}{3}$x2y3 $\big/$$\frac{3x^2}{5y}$3x25y  

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $\frac{\frac{4a}{4b}-\frac{2b}{2a}}{b-a}$4a4b 2b2a ba  

    Öva på att redovisa din förenkling steg för steg på ett papper.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $\frac{\frac{2ab-a^2-b^2}{a+b}}{\frac{(a-b)}{(a+b)}}$2aba2b2a+b (ab)(a+b)   

    Öva på att redovisa din förenkling steg för steg på ett papper.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se