Multiplicera och dividera rationella uttryck

Exempel 1 

Förenkla följande uttryck

  $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}$4x² ·x3  

Lösning

Först multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Det ger oss ett nytt rationellt uttryck.

 $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}=\frac{4x}{3x^2}$4x² ·x3 =4x3x²  

Sedan förkortar vi med $x$x i täljaren och nämnaren så att uttrycket står på enklaste form.

 $\frac{4x}{3x^2}=\frac{4}{3x}$4x3x² =43x  

Exempel 2 

Beräkna  $\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}$67  12    

Svara i bråkfrom.

Lösning

Talet är en bråkdivision. Vi beräknar den genom att förlänga med den inverterade nämnaren  $\frac{2}{1}$21 . 

$\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }\cdot\frac{2}{1}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{2}{2}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }1}=$67  12   =67 ·21  12  ·21  =67 ·21  22  =67 ·21  1 = $\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}=\frac{12}{7}$67 ·21 =127   

Exempel 3  

Förenkla följande uttryck och ange i enklast form.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}$4x 

Lösning

Först multipliceras det första uttryckets täljare med det andra uttryckets nämnare och resultatet placeras i täljaren. Sedan multipliceras det första uttryckets nämnare med det andra uttryckets täljare och resultatet placeras i nämnaren.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}=\frac{4x}{6y}\cdot\frac{x}{4}=\frac{4x^2}{6\cdot4\cdot y}$4x =4x6y ·x4 =4x²6·4·y  

Nu förkortar vi koefficienterna för att svara i enklaste form

 $\frac{x^2}{6y}$x²6y  

Exempel 3 

Förenkla följande uttryck

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)$(ab −ba ) $\big/$ $\frac{a-b}{ab}$a−bab  

Lösning

Förläng uttrycket i täljaren så att de kan skrivas på gemensam nämnare.

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2-b^2}{ab}$(ab −ba )=a²ab −b²ab =a²−b²ab  

Utför sedan divisionen enligt räkneregler och förkorta uttrycket.

 $\frac{a^2-b^2}{ab}$a²−b²ab  $\big/$ $\frac{a-b}{ab}=$a−bab = 

 $\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=$a²−b²ab ·aba−b =  

 $\frac{\left(a^2-b^2\right)\cdot ab}{ab\cdot\left(a-b\right)}=$(a²−b²)·abab·(a−b) =                      förkorta med $ab$ab 

 $\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)}=$a²−b²(a−b) =                                skriv om täljaren med konjugatregeln

 $\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}=$(a+b)(a−b)(a−b) =                        förkorta med  $a-b$a−b 

 $\left(a+b\right)$(a+b)