Multiplicera och dividera bråktal

När vi multiplicerar bråk multiplicerar vi täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Resultatet blir ett nytt bråk där täljaren är produkten av täljarna och nämnaren är produkten av nämnarna.

Vi behöver alltså inte skriva om bråken till samma nämnare innan vi multiplicerar dem!

När vi multiplicerar bråk blir resultatet alltid produkten av täljarna dividerat med produkten av nämnarna.

Nu när vi kan multiplicera bråk ska vi titta på hur vi dividerar dem. Division följer en liknande idé, men med en viktig skillnad – vi använder det inverterade talet.

Vid division med bråk placeras produkten av första bråkets täljare och andra bråkets nämnare i resultatets täljare. I resultatets nämnare placeras istället produkten av första bråkets nämnare med andra bråkets täljare.

Vi beräknar en uppgift med hjälp av regeln. Längre ner finns en förklaring på vad som egentligen händer.

När vi multiplicerar bråk blir resultatet produkten av täljarna dividerat med produkten av nämnarna. Kom ihåg: Vi behöver inte skriva om bråken till samma nämnare innan vi multiplicerar dem.

Efter en del träning kan vi genomföra multipliceringen direkt i huvudet utan att skriva på gemensamt bråkstreck. Men vi visar här för att vara extra tydliga.

Vi kan även illustrera multiplikationen med följande figurer.

De blå rutorna representerar $\frac{2}{3}$23 av en helhet. De röda rutorna illustrerar tre fjärdedelar, dvs $\frac{3}{4}$34 , av de blå rutorna.

Resultatet av multiplikationen motsvarar alltså hur många rutor i den ursprungliga figuren som är både blå och röda. Vi markerar dem med lila.

Här är det $6$6 rutor av totalt $12$12, dvs $\frac{6}{12}$612 .

Genom att "flytta" rutorna ser vi att det motsvarar $\frac{1}{2}$12 .

Figurernas areor, som är lika stora, innebär att

$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}$23 ·34 =12 ·11 det vill säga $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$612 =12 .

De lila rutorna motsvarar "delen vi har" och ges av produkten mellan täljarna. Hela figuren motsvarar figurens "totala antal rutor", dvs lila och vita sammanlagt. Det ges av produkten av nämnarna.

Och resultatet, det vill säga bråkens produkt, kan ses som en andel som anger hur antalet lila rutor förhåller sig till figurens totala antal rutor.

När vi som ovan har bråk med gemensamma faktorer kan vi spara en del tid och jobb på att förkorta direkt.

Vissa uppgifter blir nämligen onödigt krångliga att beräkna om vi inte förkortar direkt. Det ger alltid samma svar som om vi beräknar produkten av täljarna och nämnarna och sedan förkortar, men vi sparar tid och minskar risken för felräkning.

När vi förkortar gäller alltid att endast en faktor i täljaren förkortas mot en faktor i nämnaren. Men de behöver inte stå "rakt ovanför" varandra eftersom faktorer kan "byta plats" utan att värdet av produkten ändras.

Genom att först förkorta slipper vi stegen att multiplicera med stora tal för att sedan förkorta.

Vid bråkräkning är det bra att ha till vana att alltid svara på enklaste form, alltså förkortat, även om det inte specifikt anges i uppgiften.

Vi kan se multiplikation med ett heltal som en addition av ett antal likadana termer.

Det är alltså bara täljaren som multipliceras med heltalet. Inte nämnaren.

Det beror på att heltal alltid kan skrivas som ett bråktal med nämnaren $1$1. Exempelvis är $2=$2=$\frac{2}{1}$21 . Det innebär att

$2\cdot$2·$\frac{1}{3}=\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\cdot1}{1\cdot3}=\frac{2}{3}$13 =21 ·13 =2·11·3 =23

Vi kan se multiplikation som en addition av ett antal likadana termer. I exemplet ovan har vi två stycken tredjedelar.

Vi ser att $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{3}=\frac{2}{3}$13 +13 =1+13 =23

vilket alltså är det samma som två stycken tredjedelar, det vill säga $2\cdot$2·$\frac{1}{3}$13 .

Anledningen till att regeln för division av bråktal ser ut som den gör är att vi egentligen multiplicerar med det inverterade talet. Vad innebär detta?

Det inverterade talet, eller inversen, är alltså det tal som ger att produkten av de två talen blir lika med $1$1.

Så om vi exempelvis har bråktalet $\frac{3}{4}$34 så är det inverterade talet $\frac{4}{3}$43 . När vi förlänger ett bråktal med dess inverterade tal får vi $1$1. Exempelvis gäller att $\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{12}{12}=1$34 ·43 =1212 =1. Detta kan användas för att härleda den regel som används.

Därför kan division med bråk skrivas om till en produkt mellan bråket i täljaren och den inverterade nämnaren.

Det är utifrån ovanstående beräkning vi kan härleda regeln som leder till att följande beräkning räcker och är möjlig.

$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}}=$23 57 =$\frac{2\cdot7}{3\cdot5}=$2·73·5 =$\frac{14}{15}$1415