Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Geometriska talföljder
Geometriska talföljdens summa
Innehåll
Den geometriska talföljdens summa
Formeln för den geometriska summan kan se något besvärlig ut, men när man väl benat ut vad alla variabler står för så brukar det gå ganska lätt att räkna med.
När du ska summera ett antal termer i en geometrisk summa, är det mycket effektivt att använda Geometriska summaformeln.
Summan för en geometrisk talföljd
$S_n=$Sn= $\frac{a_1(1-k^n)}{1-k}=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$a1(1−kn)1−k =a1(kn−1)k−1 , där $k\ne1$k≠1
$S_n$Sn är summan av de $n$n första talen i den geometriska talföljden
$a_1$a1 är det första talet i talföljden
$k$k är kvoten
När kan man använda den geometriska summaformeln?
En vanlig tillämpning av den geometriska talföljdens summa är att beräkna ett totalsaldo på ett konto efter ett antal lika stora insättningar där man även erhåller en viss räta på det redan insatta på kontot. Låt säga att du sparar tvåhundra kronor var månad på ditt konto. Efter tjugofyra månaders sparande och med en ränta på $0,5\%$0,5% får du en summa på kontot som följer.
$s_{24}=200+200\cdot1,005$s24=200+200·1,005 $+200\cdot1,005^2+200\cdot1,005^3+…$+200·1,0052+200·1,0053+… $+200\cdot1,005^{22}+200\cdot1,005^{23}$+200·1,00522+200·1,00523
Här är summan skriven på allmän form. Observera att den sista termen har ett gradtal som är ett mindre än antalet termer. Det beror på att det första termen $a$a kan ses som att den multipliceras med kvoten upphöjt till noll, eftersom att $a=a\cdot1=a\cdot k^0$a=a·1=a·k0. Det kan vara en bra att lägga på minnet när man ska ange hur många termer en summa består av. Alltså ofta en term mer, än den sista termens gradtal.
De tre punkterna i mitten motsvarar matematiskt, att mönstret framför punkterna fortsätter att upprepa sig. Summan beräknas enklast med den geometriska summaformeln, där $a_1=200$a1=200 , $k=1,005$k=1,005 och antalet termer som ska summeras $24$24 st månader.
$S_{24}=$S24= $\frac{a_1\left(k^n-1\right)}{k-1}=\frac{200\left(1,005^{24}-1\right)}{1,005-1}$a1(kn−1)k−1 =200(1,00524−1)1,005−1 $\approx5086$≈5086 kronor.
Hur kan man bestämma ytterligare ett tal i talföljden om man inte har $a_1$?
I en geometrisk talföljd får vi hela tiden följande tal, även kallat element, genom att multiplicera det föregående elementen med det som i detta sammanhang kallas för kvoten $k$k.
Om man vill hitta det $n$n:te talet i en geometrisk talföljd, är det väldigt tidskrävande att utgå från $a_1$a1 och sedan multiplicera gång på gång med kvoten. Dessutom kan det hända att du inte vet det första talet $a_1$a1. Effektivare är att använda denna formel.
$a_n = a_m \cdot k^{n-m} $ , där $ a_n $ är det $n$:te talet, $ a_m $ är det $m$:te talet och $k$ är kvoten.
För detta behöver antingen kvoten vara känd, alternativt får du bestämma den själv med hjälp av två på varandra följande tal.
Formel för att bestämma kvoten $k$k
$k=$k= $\frac{a_{n+1}}{a_n}$an+1an där $a_n$an är talet precis framför talet $a_{n+1}$an+1 i talföljden
Så om vi tex har talföljden $3,\, 6,\, 12,\,24, …$ så är kvoten $2$2 för kvoten av två på varandra följande tal är $2$2. Tänk på att det första talet av de två ska vara i nämnaren och det senare i täljaren. Man kan även ta fram kvoten genom att undersöka vilket tal som man multiplicerar med för att få nästa.
Exempel i videon
- Beräkna summan av de $10$ första talen i talföljden $ 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,… $.
- Beräkna summan av de $7$ första talen i talföljden $ 5, \,25, \,125, \,625, \,… $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
En viss geometrisk talföljds summa kan uttryckas som $s_8=\frac{12\cdot(1-2^8)}{1-2}$s8=12·(1−28)1−2 .
Vilket är det första talet i talföljden?Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...2. Premium
Vilken är summan för de $8$8 första talen i talföljden?
$1,\text{ }4,\text{ }16,\text{ }64,\text{ }…$1, 4, 16, 64, …
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...3. Premium
Beräkna summan av de tio första talen i en geometrisk talföljd, där det första talet är $4$4 och kvoten $2$2.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Beräkna summan av de sex första talen i den geometrisk talföljden $3,\text{ }9,\text{ }27,\text{ }…$3, 9, 27, …
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...c-uppgifter (4)
-
5. Premium
Beräkna $5+15+45+135+…+295\text{ }245$5+15+45+135+…+295 245.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...6. Premium
Beräkna summan av de sju första termerna i talföljden $1,$1, $\frac{1}{4},$14 , $\frac{1}{16}$116 …
Svara med två decimalers noggrannhet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometriska talföljderRättar...7. Premium
Lös ekvationen $x+2x+4x+8x+…+8192x=5461$x+2x+4x+8x+…+8192x=5461 .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar...8. Premium
Beräkna $\sum_{i=3}^{10}$ $3^{i-1} $
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Den geometriska talföljdens summa Geometriska talföljder Matematik 3 Matematik 5 Talföljder TalteoriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Vendela Ädelqvist
Jag får svaret 1364 efter att ha använt denna formel jag lärt mig och som nämns i era exempel: summa(n)= a1 x (k^n -1) / k-1. Men er förklaring och svar har skrivit ”1-k” i nämnaren och ”1-k^n” i täljaren. Vilket är rätt?
Sara Petrén Olauson
Hej! Det är samma formel, som kan skrivas på två olika sätt (se Annas förklaring nedan). $s_n=\frac{a_1(1-k^n)}{1-k}=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$
Oavsett blir svaret detsamma:
$s_{10}=\frac{4(1-2^10)}{1-2}=4092$
$s_{10}=\frac{4(2^10-1)}{2-1}=4092$
Hoppas att detta hjälper dig vidare!
Abraham Abrohom
Hej, vilken formel ska man använda sig av?
det verkar finnas två versioner av summa formeln och en är (k-1) och den andra är (1-k). I förklaringarna till uppgifterna använder ni er av (1-k), men vilken är korrekt och när ska man använda sig av den?
Per Eriksson
Hej!
Kan man någon gång få en fråga som ber om ränta även för det sista året? Eller är frågor som ska besvaras med en geometrisk summa alltid utan det sista årets t ex ränta? Har sätt i läroboken att det sista året alltid saknar ränta (vilket verkar vara som upplagt för att använda denna formel). Försöker göra mig redo för nationella proven och vara förberedd på det mesta 🙂
Tack på förhand!
Benjamin Larsson
Hej kan du se vad jag gör för fel i denna uppgift eller om det är fel i facit? Det skall bli 63736
http://www.bilddump.se/bilder/20161214170238-83.254.108.181.jpg
Benjamin Larsson
Tack! Har lite otur när jag tänker ibland ^_^
Benjamin Larsson
Hej!
Detta tillhör inte kursen men jag funderar på hur man beräknar kontinuerligt sparande med ränta på ränta effekten ifall man årligen ökar sina insättningar med antingen ett fast belopp eller en procentuell förändring.
Tim Fredell
Avgör om summan är geometrisk och i så fall beräkna den:
2368 – 1184 + … + 37
ser att det är en geometrisk talföljd och att k = -0.5 och får dessutom rätt svar när jag summerar elementen. Vet bara inte riktigt hur jag ska ställa upp det?
S7=2368(-0.5^7-1) / -0.5 -1 blir inte rätt iallafall
Janina Carvajal
Hej!
Detta är Janina’s pojkvän (jag hjälper henne med matten). En sak har jag tycks ha glömt och nu i efterhand förstår jag inte:
Första uppgiften, formeln blir S(nedsänkt 8) = (1*(1-4^8)/(1-4)
Varför beräknar man inte 4^8 som (-4)^8, dvs talet i täljaren blir positivt?
4:an är trots allt ett negativt tal, inte positivt.
Lovisa Ekegren Scheffer
Hej! Tänkte bara fråga om skillnaden mellan rekursionsformeln och den slutna formeln då jag inte riktigt förstår när min bok tar upp det. Använder bara den slutna formeln som ni tar upp här, men antar att man måste kunna använda sig av den andra i vissa problem?
Hälsningar Lovisa
Ailin Gottfridsson
Avgör om summan är geometrisk och i så fall beräkna den.
Ailin Gottfridsson
Hej igen,
Hur får du fram 2368∗(−0.5)6=37 ?
Hur räknar ut n ? Finns det någon funktion?
Alfred Kumbi
Hej,
På fråga #2 visar alternativ 1 som rätt svar men det är alternativ 2 som egentligen är rätt alltså 21845.
Bästa hälsningar
Alfred
christopher
Hur löser man denna uppgift?
De tre första elementen i en geometrisk talföljd är $7x +1, 2x +2 och x – 1$
Bestäm de tre elementen!
Ska man bestämma själv värdet i respektive element?
Eller finns det något knep man gör här?
christopher
Löset det. (x-1)(7x+1)=(2x-2)(2x+2)
Sen räknade jag ut det med pq-formel
Fick 2 lösningar första satte jag in för att kolla så det var en talföljd sen satte jag in i a1,a2,a3 för att sedan bestämma elementen.
Athinas
Varför ska man sätta det likamed varandra? Hur tänker man då?
christopher
”Första fråga är svaret rätt men uträkningen fel”
Förklaring
Formeln för att beräkna geometriska talföljder är
$Sn=a1(1−k^n)/(1−k)$ där
$\text{n = antalet tal (i detta fall 8)}$
$\text{a1 = det första talet i talföljden (i detta fall 1)}$
$\text{k = kvoten (i detta fall 4)}$
Vi får därför summan
$S_8=1(1−4^5)/(1-4)=-1023/-3 = 341$
Men rätt svar ska väl vara:
$S8=1(1-4^8)/1-4=-65535/-3 = 21845 $
bollinas
på exemplet man ska räkna sedan får jag inte heller samma siffror hur jag än slår på miniräknaren! 1-4^8 blir på min räknare -6561. Medan du får det till -65535. Ganska står skillnad. Hur slår jag på miniräknaren för att det ska bli rätt??
bollinas
Ett upp och nervänt v. Och samma knapp som jag använt till upphöjt hela tiden och det har fungerat. Jag förstår inte vad jag gör för fel… suck och stön!
bollinas
Jag tror jag fick till det!=)
bollinas
I sista exemplet i videon får jag inte samma siffror som du hur jag än slår på miniräknaren!=)
-4^7=-16384. Du har fått det till 78124. Jag får inte siffrorna att gå i hop. Hur jag än vänder och vrider kan jag inte få samma summor som du. Slår jag fel på miniräknaren???
kamilah89
hej!
i det här videoklippet visade du att använda geometriska formeln för talföljdens summa så här s index n = a 1(l-k ^n) /1-k. och i första exemplet ” k var = 3″ .men på in bok står att om k <1 används formeln s index n = a 1(l-k ^n) /1-k.
annars skriver man" s index n = a 1(k ^n-1) /k-1".
hur ska jag veta vilka av de två reglerna måste jag använda när jag löser en uppgift?
tack på förhand!
AnnaMarcusson
Hur vet man att en talföljd är geometrisk? Kan man se det bara genom att titta på talen?
t.ex: 5, 8, 11, 14, 17 Varför är inte detta en geometrisk talföljd?
Tacksam för svar:)
AnnaMarcusson
Är det pga att kvoten inte är konstant? Är det så att kvoten mellan två intilliggande måste vara konstant?
maalwe
Angående frågan där uppe, varför blir inte svaret -21845? ett negativt upphöjt till 8 blir ju ett positivt tal. sen delat med -3? då kan ju inte talet bli positivt???!!
Endast Premium-användare kan kommentera.