00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
B
/  Geometriska talföljder

Geometriska talföljdens summa

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Den geometriska talföljdens summa

Formeln för den geometriska summan kan se något besvärlig ut, men när man väl benat ut vad alla variabler står för så brukar det gå ganska lätt att räkna med.

Formeln för geometrisk summa

När du ska summera ett antal termer i en geometrisk summa, är det mycket effektivt att använda Geometriska summaformeln.

Summan för en geometrisk talföljd

 Sn=S_n=Sn=  a1(1kn)1k=a1(kn1)k1\frac{a_1(1-k^n)}{1-k}=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}a1(1kn)1k =a1(kn1)k1   , där k1k\ne1k1

SnS_nSn är summan av de nnn första talen i den geometriska taljföljden
a1a_1a1 är det första talet i talföljden
kkk är kvoten

När kan man använda den geometriska summaformeln?

En vanlig tillämpning av den geometriska talföljdens summa är att beräkna ett totalsaldo på ett konto efter ett antal lika stora insättningar där man även erhåller en viss räta på det redan insatta på kontot. Låt säga att du sparar tvåhundra kronor var månad på ditt konto. Efter tjugofyra månaders sparande och med en ränta på  0,5%0,5\%0,5% får du en summa på kontot som följer.

s24=200+2001,005s_{24}=200+200\cdot1,005s24=200+200·1,005  +2001,0052+2001,0053++200\cdot1,005^2+200\cdot1,005^3+…+200·1,0052+200·1,0053+ +2001,00522+2001,00523+200\cdot1,005^{22}+200\cdot1,005^{23}+200·1,00522+200·1,00523

Här är summan skriven på allmän form. Observera att den sista termen har ett gradtal som är ett mindre än antalet termer. Det beror på att det första termen  aaa kan ses som att den multipliceras med kvoten upphöjt till noll, eftersom att  a=a1=ak0a=a\cdot1=a\cdot k^0a=a·1=a·k0. Det kan vara en bra att lägga på minnet när man ska ange hur många termer en summa består av. Alltså ofta en term mer, än den sista termens gradtal.

De tre punkterna i mitten motsvarar matematiskt, att mönstret framför punkterna fortsätter att upprepa sig. Summan beräknas enklast med den geometriska summaformeln, där  a1=200a_1=200a1=200 , k=1,005k=1,005k=1,005 och antalet termer som ska summeras  242424 st månader.

 S24=S_{24}=S24= a1(kn1)k1=200(1,005241)1,0051\frac{a_1\left(k^n-1\right)}{k-1}=\frac{200\left(1,005^{24}-1\right)}{1,005-1}a1(kn1)k1 =200(1,005241)1,0051   5086\approx50865086  kronor.

Hur kan man bestämma ytterligare ett tal i talföljden om man inte har a1a_1?

I en geometrisk talföljd får vi hela tiden följande tal, även kallat element, genom att multiplicera det föregående elementen med det som i detta sammanhang kallas för kvoten kkk.


Om man vill hitta det nnn:te talet i en geometrisk talföljd, är det väldigt tidskrävande att utgå från  a1a_1a1 och sedan multiplicera gång på gång med kvoten. Dessutom kan det hända att du inte vet det första talet  a1a_1a1. Effektivare är att använda denna formel.

an=amknma_n = a_m \cdot k^{n-m} ,  där an a_n är det nn:te talet, am a_m är det mm:te talet och kk är kvoten.

För detta behöver antingen kvoten vara känd, alternativt får du bestämma den själv med hjälp av två på varandra följande tal.

Formel för att bestämma kvoten  kkk

 k=k=k= an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}an+1an        där  ana_nan är talet precis framför talet  an+1a_{n+1}an+1 i talföljden

Så om vi tex har talföljden 3,6,12,24,3,\, 6,\, 12,\,24, … så är kvoten 222 för kvoten av två på varandra följande tal är  222. Tänk på att det första talet av de två ska vara i nämnaren och det senare i täljaren. Man kan även ta fram kvoten genom att undersöka vilket tal som man multiplicerar med för att få nästa.

Exempel i videon

  • Beräkna summan av de 1010 första talen i talföljden 1,3,9,27,81,243, 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,… .
  • Beräkna summan av de 77 första talen i talföljden 5,25,125,625, 5, \,25, \,125, \,625, \,…